上海市七宝中学2022届高三高考冲刺模拟2数学试题

上海市七宝中学2022届高三高考冲刺模拟2数学试题

第I卷（选择题）

1．函数是R上的增函数，则是的（ ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知，若，则直线的倾斜角为

A． B． C． D．

3．若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：

①；   

②；

③双曲线与双曲线一定没有公共点；   

④；

其中所有正确的结论序号是（       ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④

4．已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（       ）

A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个

第II卷（非选择题）

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5．已知集合，，则_____________.

6．若复数满足，则的虚部为______.

7．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则_____.

8．满足的实数的取值范围是______．

9．函数的反函数为_________.

10．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为________．

11．无穷等比数列的前项和为，若，且，则无穷等比数列的各项和为___________.

12．如图，正三棱柱中，，，若、分别是棱、上的点，则三棱锥的体积是________.

13．设直线和圆相交于点、，则弦的垂直平分线方程是____．

14．设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则___________

15．设函数，数列的首项，且，，若数列不是单调递增数列，则的取值范围是___________

16．给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是________

17．在四棱锥中，底面为梯形，，，，，四棱锥的体积为4.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角.（结果用反三角函数表示）

18．已知向量和向量，且.

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.

19．已知定义在区间上的两个函数和，其中，.

(1)求函数的最小值；

(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.

20．已知、为椭圆（）和双曲线的公共顶点，、分为双曲线和椭圆上不同于、的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、.

（1）求证：点、、三点共线；

（2）求的值；

（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.

21．已知是数列的前项和，对任意，都有；

（1）若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；

（2）若，求证：数列是等比数列，并求此时数列的通项公式；

（3）设，若，求实数的取值范围.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

根据已知条件结合充分必要条件的定义分别证明其充分性与必要性可得答案.

【详解】

解：先证充分性：由，可得，，

又因为是R上的增函数，故，，

相加可得：，故充分性成立；

再证必要性：若，则的逆否命题是：

若，则

假设，则，，

又因为是R上的增函数，故，，

相加可得：成立，故必要性成立，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充要条件的定义与函数的单调性，属于基础题型.

2．D

【解析】

【详解】

试题分析：关于对称,直线

的斜率,其倾斜角为,故选D.

考点：1.三角函数的对称性；2.直线的斜率与倾斜角.

3．B

【解析】

【分析】

对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断；对于②，举反例可说明；对于③，根据可推得，继而推得，可判断双曲线与双曲线一定没有公共点；对于④，举反例可判断.

【详解】

对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，

∴，即，故①正确；

对于②：若，，，，则，故②错误；

对于③：∵，∴，∴ ，即，

即，双曲线与双曲线一定没有公共点，故③正确；

对于④：∵，∴，

∵且，∴ ，

若，，，，则，故④错误.

故选：B

4．A

【解析】

【分析】

首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果.

【详解】

设，先证，

由知，为的重心，

又，，

，，

，，，

同理，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题.

5．

【解析】

【分析】

求出集合、，然后利用交集的定义求出集合.

【详解】

，，

故答案为.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.

6．.

【解析】

根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.

【详解】

由题.故虚部为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了复数的除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.

7．

【解析】

【分析】

利用二倍角公式求出，然后利用余弦定理求出的值.

【详解】

由二倍角的余弦公式可得.

由余弦定理得，因此，.

故答案为.

【点睛】

本题考查二倍角余弦公式的应用，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查运算求解能力，属于中等题.

8．

【解析】

【详解】

试题分析：，即，∴．

考点：行列式

9．

【解析】

【分析】

直接求出x的表达式，注意x．y的取值范围，即可得出答案．

【详解】

由，

可得﹣1≤y≤1，且

所以函数的反函数为

故答案为

【点睛】

本题考查反函数的应用，注意反函数的定义域，是基础题．

10．

【解析】

【详解】

由题意得：母线与轴的夹角为

考点：圆锥轴截面

【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 ，圆柱的表面积 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的表面积 ，球体的表面积 ，圆锥轴截面为等腰三角形.

11．

【解析】

【分析】

先求出等比数列的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果.

【详解】

设等比数列的公比为，

由，得，即，

，解得，

因此，无穷等比数列的各项和为.

故答案为：.

12．

【解析】

【分析】

用三棱柱的体积减去四棱锥的体积和四棱锥的体积即可得出三棱锥的体积.

【详解】

取的中点，连接，则.

平面平面，平面平面，平面，

平面.

是等边三角形，，，

平面，且、分别为、的中点.

.

.

故答案为.

【点睛】

本题考查三棱锥的体积的计算，常用的方法有等体积法、间接法、割补法，解题时可充分选择合适的方法来进行计算，考查计算能力，属于中等题.

13．

【解析】

【详解】

由得，所以圆的圆心为，

根据圆的相关性质，可知所求的直线过圆心，由直线垂直可得所求直线的斜率为，

根据直线的点斜式方程化简可得结果为．

14．2

【解析】

【分析】

由向量的加法法则，把转化为，从而易得结论．

【详解】

∵点D，E分别为边AC，BC的中点，∴，，

∴．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查求向量的模，向量关键是利用向量加法法则，把转化为．

15．｛1｝

【解析】

【分析】

由函数在上单调递增，通过分析的大小关系得出数列的增减性．

【详解】

若，则，因此，，数列不递增，满足题意．

若，∵在上是增函数，若，则，即，假设，则，即，由数学归纳法思想知，，数列递增．

∴只能有，即，，，不合题意，

综上的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查数列的单调性．解题关键是由函数的单调性讨论数列的单调性，由的大小关系得出数列是递增数列，从而只有，由此可得结论．

16．

【解析】

【分析】

联立直线与曲线方程可求交点的横坐标x1，x2，要使曲线族在直线y＝2x上所截得的弦长的最大，则只要|x2﹣x1|最大即可，即t最大即可，根据函数的性质即可求出．

【详解】

将y＝2x代入曲线方程得x1＝0，．

令，

则3t﹣1＝（8﹣2t）sinθ+（t+1）cosθ，

∴，

∴弦长．

故弦长的最大值是8，

故答案为8．

【点睛】

本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及弦长公式，属于中档题

17．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件可证，再结合，即可得证结论；

（2）取的中点，连结，，证明平面，作出PC与平面ABCD所成角，通过解直角三角形，即可求出结论.

【详解】

（1）∵，∴，，

又，所以，

∵，，面，

∴平面；

（2）如图，作的中点，连结，，

∵，

∴，，.

由（1）平面，故，

又，，面，

所以平面，即为四棱锥的高，

为与平面所成，.

由四棱锥的体积为4，可得：

，

解得，

在中，，

在中，，，

所以与平面所成角为.

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的证明，考查求线面角，求线面角要体现“作、证、算”三步骤，考查逻辑思维能力和空间想象能力，考查计算能力，属于常考题.

18．（1）最小正周期为，最大值为2；（2）2.

【解析】

【分析】

由整理可得：；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用求得，利用正弦定理求得结果.

【详解】

由得：

则：

（1）最小正周期为：

当时，

（2）由得：，则

由正弦定理可知：，即

【点睛】

本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先将的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，可求出函数的最小值；

（2）根据函数的单调性求出函数的最小值和的最大值，然后使，建立关系式，解之即可求出答案.

(1)

由，则二次函数的对称轴为，

则当时，在上单调递减，在上单调递增，所以

；

当时，在上单调递减， ，

所以；

(2)

，当时，，又在区间

上单调递增，所以.

若对任意，恒成立

则，故或

解得：.

20．（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由，得到，由此可证明出点、、三点共线；

（2）设点、，求出，，由，可得出，从而可求出的值；

（3）由，可得，再由，得出，，由此能求出的值.

【详解】

（1）、为椭圆和双曲线的公共顶点，

、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，

且，即，即，

因此，点、、三点共线；

（2）设点、，

则，

同理可得，

，，则，因此，；

（3），，

，，又，解得，

又，，则，则.

，，

同理可得，

且，，，

同理可得，

因此，.

【点睛】

本题考查椭圆与双曲线的综合问题，考查整体代换与方程思想，在计算时应充分利用点在曲线上这一条件得出等式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.

21．（1）证明见解析，；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）将代入，得，令，求出，然后令，由得出，两式作差可得出数列的递推公式，然后利用定义证明出数列是等差数列，确定该数列的首项，即可求出；

（2）令求出，然后令，由得出，两式相减得出数列的递推公式，然后利用定义证明出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出；

（3）结合（1）（2）中的结论，讨论、、、、，结合条件，利用数列的单调性，即可得出实数的取值范围.

【详解】

（1）将代入，得，即.

当时，则有，得；

当时， 由得出，

上述两式相减得，

整理得，等式两边同时除以得，即，

所以，数列是以首项为为首项，以为公差的等差数列，

则，因此，；

（2）对任意，都有.

当时，，解得；

当时，由得出，

两式相减得，

化简得，

，

所以，数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，因此，；

（3），且.

当时，，当时，，不满足条件；

则，可得，

可得，

显然时，数列单调递增，不满足条件，.

当时，则有显然成立；

当时，若，则数列的最大项为，

，即恒成立；

当时，数列的最大项为，

则满足条件；

当时，，数列的最大项为，不满足条件；

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查数列的递推公式，等差数列和等比数列的定义，同时也考查了数列不等式问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.