2022年广东省江门市蓬江区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省江门市蓬江区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列结论正确的是

A. 互为相反数的两个数的商为
B. 在数轴上与表示数的点相距个单位长度的点对应的数是或
C. 当，则
D. 带有负号的数一定是负数

2. 如果，则

A. 、同号
B. 、异号
C. 、为任意有理数
D. 、同号或、中至少一个为零

3. 如图是雷达探测到的个目标，若目标用表示，目标用表示，那么表示的是目标

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

4. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解为则原方程组的解

A.  B.  C.  D.

5. 利用一副三角板上已知度数的角，不能画出的角是

A.  B.  C.  D.

6. 中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”，“牛”，“羊”，“马”，“鸡”，“狗”，将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是

A. 羊 B. 马 C. 鸡 D. 狗

7. 一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

8. 如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是

A.
B.
C.
D.
 

9. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第幅图形中“”的个数为，第幅图形中“”的个数为，第幅图形中“”的个数为，，以此类推，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：
    抛物线过原点；
    ；
    ；
    抛物线的顶点坐标为；
    当时，随增大而增大．
    其中结论正确的是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共7小题，共28 分）

11. 若直角三角形的两边分别为分米和分米，则斜边上的中线长为______．
12. 已知能被--之间的两个整数整除，则这两个整数是______ ．
13. 如图，把的一角折叠，若，则的度数为______．
    
     

14. 分解因式：______．
15. 中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是_______________．
16. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是______写出一个即可．
17. 如图在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，，，则点的坐标是______．

三．解答题（本题共10小题，共76分）

18. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
19. 当为何值时，关于的方程的解为负数？
20. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图部分如图所示．
    
    大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表

请根据调查的信息分析：
活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______；
估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背首含首以上的人数；
选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．

21. 如图，，是中点，是中点，如果三角形的面积是平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米？
     

22. 如图，在平面直角坐标系中，、分别是正半轴、轴正半轴上的一点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在第二象限．
    探究、之间的数量关系并证明．
    若平分，与交于点，且，，求点的坐标．
23. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
    例：求的算术平方根．
    解：，的算术平方根是．
    你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
    ；
    ；
    ．
24. 先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
    对于三个数、、的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定表示这三个数的平均数，表示这三个数中的最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，，；，．
    请填空：______；若，则______；
    若，求的取值范围．
    若，求的值．
25. 已知：平行四边形的对角线交点为，点、分别在边、上，分别沿、折叠四边形，、两点恰好都落在点处，且四边形为菱形如图．
    求证：四边形是矩形；
    在四边形中，求的值．

26. 请用两种方法证明：中，若，则
27. 如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，交轴于点将直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交拋物线于另一点．
    求直线的解析式；
    点是第一象限内抛物线上一点，当的面积最大时，求出此时点的坐标；
    如图，将沿射线方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的为，平移时间为秒，当为等腰三角形时，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项，的相反数是，没有意义，故该选项不符合题意；
选项，在数轴上与表示数的点相距个单位长度的点对应的数是或，故该选项符合题意；
选项，当，则，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
故选：．
根据相反数判断选项；根据绝对值判断选项；根据的绝对值是判断选项；根据特殊值判断选项．
本题考查了数轴，绝对值，相反数，有理数的除法，正数和负数，掌握在数轴上与表示数的点的右侧个单位长度的点对应的数是，左侧个单位长度的点对应的数是是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的化简与计算，熟练掌握绝对值的化简法则并分类讨论是解题的关键．分三种类型分别分析即可： 、 同号； 、 异号； 、 中至少一个为零．
【解答】
解：当 、 同号时，有两种情况：
， ，此时 ， ，故 成立；
， ，此时 ， ，故 成立；
当 、 同号时， 成立；
当 、 异号时，则： ，故 不成立；
当 、 中至少一个为零时， 成立．
综上，如果 ，则 、 同号或 、 中至少一个为零．
故选： ．   

3.【答案】

【解析】解：目标用表示，目标用表示，
第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
表示为的目标是：．
故答案为：．
根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可．
本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：把代入得：，即，
把代入得：，即，
方程组为
解得：
故选：．
把甲的解代入方程组第二个方程求出的值，把乙的解代入方程组第一个方程求出的值，确定出原方程组的解即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查角的计算的知识 用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案．
【解答】
解： 的角， ；
B. 的角， ；
C. 的角， ；
D. 的角，无法用三角板中角的度数拼出．
故选 D ．   

6.【答案】

【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“猪”相对的字是“羊”；
“马”相对的字是“鸡”；
“牛”相对的字是“狗”．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握立方体的种展开图的特征．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意可得，
甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为：小时，
故选：．
根据题意可以列出相应的代数式，从而可以解答本题．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
 

8.【答案】

【解析】解：因圆柱的展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
 

9.【答案】

【解析】解：，，，，，；



，
故选：．
首先根据图形中“”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与 轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 由抛物线的对称轴结合抛物线与 轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论 正确； 由抛物线对称轴为 以及抛物线过原点，即可得出 、 ，即 ，结论 正确； 根据抛物线的对称性结合当 时 ，即可得出 ，结论 错误； 将 代入二次函数解析式中结合 ，即可求出抛物线的顶点坐标，结论 正确； 观察函数图象可知，当 时， 随 增大而减小，结论 错误．综上即可得出结论．
【解答】
解： 抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的另一交点坐标为 ，结论 正确；
抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线过原点，
， ，
， ，
，结论 正确；
当 时，
，结论 错误；
当 时， ，
抛物线的顶点坐标为 ，结论 正确；
观察函数图象可知：当 时， 随 增大而减小，结论 错误．
综上所述，正确的结论有： ．
故选 C ．   

11.【答案】分米或分米

【解析】解：当分米和分米均为直角边时，斜边，则斜边上的中线分米；
当分米为直角边，分米为斜边时，则斜边上的中线分米．
故答案为：分米或分米．
先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求其斜边上的中线，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，同时考查了勾股定理．
 

12.【答案】，

【解析】解：，
，
．
能被至之间的和两个整数整除．
故答案是：、．
首先利用平方差公式将分解因式，可得：，即可求得：，则问题得解．
此题考查了因式分解的应用．解题的关键是利用平方差公式求得：．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为 也考查了折叠的性质．作出辅助线，把图形补充完整是解题的关键 根据折叠的性质得到 ， ，利用平角的定义有 ，则 ，而 ，可计算出 ，然后根据三角形内角和定理即可得到 的度数．
【解答】
解：如图，

的一角折叠，
， ，
而 ，
，
，
，
．
故答案为 ．

14.【答案】

【解析】解：原式


．
故答案为：．
先将转化为，然后再用分组分解法和十字相乘法进行因式分解即可．
本题考查了因式分解的分组分解法和十字相乘法等．借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
掌握型的式子的因式分解是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题，辅助线的作法是关键 作辅助线，构建 ，根据三角形三边关系得： ，即 ，所以 ．
【解答】
解：延长 至 ，使 ，连接 ，则 ，
是 的中线，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
在 中， ，
即 ，
，
故答案为 ．   

16.【答案】答案不唯一

【解析】解：，
当，时，密码可以是或等等都可以，答案不唯一．
，当，时，密码可以是、、的任意组合即可．
本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．
 

17.【答案】

【解析】解：由题意该点按“上右下下右上”的方向每次一循环移动的规律移动，且每移动一个循环向右移动个单位长度可得，
，
点的横坐标为，点的纵坐标是，
故答案为：．
由题意得该点按次一循环的规律移动，用除以，再确定商和余数即可．
此题考查了点的坐标方面规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意确定出点移动的规律．
 

18.【答案】解：，，，
，，
原式

．
故答案为．

【解析】先数轴上的位置确定，，的符号，再确定，的符号，然后代入原式进行化简即可．
本题考查了二次根式的化简及绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身．本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉二次根式的性质：．
 

19.【答案】解：解得
由方程的解为负数，得，并且，．
解得且．
当且时，关于的方程的解为负数．

【解析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解．
 

20.【答案】首；
大赛后一个月该校学生一周诗词诵背首含首以上的有：人，
答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背首含首以上的有人；
活动启动之初的中位数是首，众数是首，
大赛比赛后一个月时的中位数是首，众数是首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．

【解析】解：本次调查的学生有：名，
背诵首的有：人，
，
这组数据的中位数是：首，
故答案为：首；
见答案．
见答案．
根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
根据表格中的数据可以解答本题；
根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：，
的面积为：平方厘米，
的面积为：平方厘米，
，
的面积为：平方厘米，
，
的面积为：平方厘米，
，
的面积为：平方厘米，
阴影部分的面积为：
，
平方厘米，
答：图中阴影部分的面积为平方厘米．

【解析】根据，是中点，是中点，分别计算出、、的面积，即可解答．
本题考查了三角形的面积，解决本题的关键是确定各个三角形面积之间的关系．
 

22.【答案】解：、之间的数量关系为：．
过点作，分别交轴，轴于
点、两点，如图所示：

，
，
，
又，，
，
在和中，

≌，
，
又点在第二象限，，，
．
作的延长线交轴于点，设点的坐标为，
如图所示：

平分，
，
在和中，

≌，
，
又，，
，
在和中，

≌
，
又，，
，
点的坐标为．

【解析】由图分析计算出，又因，，可证明≌，最后全等三角形的性质和点在第二象限可推出、之间的数量关系；
由，公用，证明≌，其性质得，再证明≌得，最后根据线段的和差求出，即可求出点的坐标为．
本题综合考查了在平面直角坐标系中点的点的坐标与图形的关系，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质和角、线段等量代换等知识点，重点掌握三角全等的判定方法，难点是作辅助线构建全等三角形．
 

23.【答案】解：原式

；
原式






；
原式


．

【解析】将被开方数写成完全平方公式的形式，根据化简即可；
先化简，再化简原式即可得出答案；
分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．
本题考查了算术平方根，完全平方公式，阅读型，掌握，是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，最小的数是，
，
若，，，中，最大的数是，
；
故答案为：，；

，
，
则．

，
，
，
．
三个数，，最小的数是，三个数，，中，时，最大的数是；
三个数，，的平均数是，根据题意得出，解不等式组即可求得；
由得，解之可得．
此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力．
 

25.【答案】证明：连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
即，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．

解：四边形是菱形，
，
又由题意知，
由知四边形是矩形，
，即，
则，
在中，有：：，
又，
则．
说明：其他解法酌情给分

【解析】根据矩形的判定定理，先证，再证，则可证．
根据已知条件和的结论，先求得：，易求解的值．
本题考查矩形的判定定理及相关性质，直角三角形的性质等，难度偏难．
 

26.【答案】证明：方法一：
如图，用四个大小相同的直角三角形拼成正方形，每个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，

，，
四边形为正方形，
，，
，
，
同理可得：
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
；
方法二：
如图，放置两个大小相同的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为，连接，构造直角梯形，

，
梯形为直角梯形，
，
，，
，
，
，
，
．

【解析】方法一：用四个大小相同的直角三角形拼成正方形，其中每个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为，通过证明可得中间也是一个正方形，大正方形的面积可表示为，也可表示为，利用面积相等即可证明；
方法二：两个大小相同的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为，连接，构造直角梯形，利用梯形面积公式可得梯形面积为，也可表示为，利用面积相等即可证明．
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般采用拼图的方法，然后再利用面积相等证明．
 

27.【答案】解：由题意知，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，交轴于点，
令，解得，令，解得：，；
，，
，，
直线以点为旋转中心，顺时针旋转，交轴于点，交拋物线于另一点
即


∽


点的坐标为：
直线的解析式为：，
即直线的解析式为：；
如图，

过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作交于点，
由知，，令点，则点，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
如图

连接，过点作轴交轴于点，
，，
点的坐标为，
由可得
，，
当时，，解得：
当时，则，解得：或不符合题意，舍去
当时，则，解得：；
所求的值为：或或或．

【解析】抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，交轴于点，可求出，，，再根据∽可得出，从而求出，即得直线的解析式，即直线的解析式为：；
由题意，令点，则点，于是，可知当时，取得最大值，将代入抛物线可得点的坐标为；
由题意连接，过点作轴交轴于点，令，，，则点的坐标为，得从而得，，，为等腰三角形时有三种情况，当时，解得：当时，解得：或不符合题意，舍去当时，解得：，得出结论．
此题考查了直线解析式的求法，还考查了三角形的面积的最值问题及等腰三角形的性质，要注意将三角形分成三种情况求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．