2022年湖南省长沙市雨花区会考数学调研试卷（含解析）

2022年湖南省长沙市雨花区会考数学调研试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
    

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 扇形

2. 若等式成立，则内的运算符号是

A.  B.  C.  D.

3. 北京冬奥会与冬残奥会的成功举办，为普及冬奥知识、弘扬奥林匹克精神、推广冬季项目运动创造了条件，实现了“带动亿人参与冰雪运动”的伟大目标，深刻影响和改变着世界冰雪运动的格局．“亿”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图是由个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的一个小正方体，则下列说法正确的是

A. 主视图一定变化
B. 左视图一定变化
C. 俯视图一定变化
D. 三种视图都不变化
 

6. 已知的周长为，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第个三角形的周长为

A.  B.  C.  D.

7. 甲、乙两生产线生产某款发光二极管，前天产生残次品的数量如下表：

对两条生产线产生残次品数量作如下分析，其中关于残次品数量的统计量说法正确的是

A. 平均数不同 B. 众数不同 C. 中位数不同 D. 方差不同

8. 如图，四边形内有一点，，，若，则的大小是

A.
B.
C.
D.

9. 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴交点为，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是

A.
B. 关于的方程有两个不相等的实数根
C.
D. 当时，
 

10. ，，，，五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若，，，，五位同学报出来的数恰好分别是，，，，，则同学心里想的那个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 面积为的正方形的边长为______．
12. 已知，则______．
13. 八边形的内角和比七边形的内角和多______度．
14. 某班名学生，有名女生名男生请假，数学老师在课堂上用摇号软件抽签回答问题，恰好抽到请假女生的概率是______．
15. 如图，在中，于，若，且，则______．
     

16. 函数的图象与轴只有一个交点，则的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 化简：．
19. 在正方形网格图中，正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．在下列边长为的正方形网格图中，、为格点，按要求画出格点多边形．
    面积为的格点三角形；
    有一个内角为直角，面积为的格点四边形．

20. 为了解我区推进生命化课堂“四有”星级评价成效，就“你在有限时、有质疑、有协同、有展评中做得最好的是哪一项？”这个问题随机调查了一部分老师，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
    这次被调查的老师共有多少名？
    把条形统计图补充完整；
    通过“四有”星级测评，这次被调查的老师课堂星级指数达到以上的有人．请你据此估算，全区名老师课堂星级指数达到以上的有多少人？

21. 今年三月，新冠肺炎疫情再次波及长沙，某社区超市将原来每瓶售价为元的免洗消毒液经过两次降价后每次降价的百分率相同，以每瓶元出售支持社区防疫．
    求每次降价的百分率；
    商家库存的瓶免洗消毒液每瓶进价为元，仓储、人工等成本大约共元，计划通过以上两次降价方式全部售出后确保不亏损，那么第一次降价至少售出多少瓶后，方可进行第二次降价？
22. 如图，已知，，将向右平移个单位，得到，顶点恰好在反比例函数图象上．
    求反比例函数的表达式；
    将继续向右平移个单位，得到，求的两边分别与反比例函数图象的交点、的坐标．
23. 如图所示，为解决交通肠梗阻问题，某地计划打通一条东西方向的隧道无人机从点升空至其正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．
    求无人机的升空高度结果保留根号；
    求隧道的长度结果精确到．
    参考数据：，，，

24. 定义其中，均为非零常数，如．
    若，，
    求，的值；
    若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围；
    若在与都有意义的前提下，对任意实数，都成立，则，应满足什么条件？
25. 如图，在中，，是延长线上的动点，以为直径的交的延长线于点，的垂直平分线交的延长线于点．
    求证：总与相切；
    在图中，若，，，求；
    如图，当直线恰好过点时，直线与交于另一点，判断此时四边形的形状，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.扇形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】

【解析】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C符合题意；
无意义，故选项D不符合题意；
故选：．
将各个选项中的运算符号代入式子计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、原式，原计算正确，故此选项符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：若去掉上层的一个小正方体，
主视图一定变化，上层由原来的两个小正方形变为一个小正方形，
俯视图不变，即底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形；
左视图不变，即底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
同理可得，，，
的周长的周长，即第二个三角形的周长为，
则第三个三角形的周长为，

则第个三角形的周长为，
故选：．
根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：根据表格知，甲生产线的前天生产残次品的数量为、、、、、，
乙生产线的前天生产残次品的数量为、、、、、，
所以甲生产线残次品的平均数为，中位数为，众数为，方差为，
乙生产线残次品的平均数为，中位数为，众数为，方差为，
这两组数据的方差不同．
故选：．
先根据表格得出将甲、乙两生产线天生产的残次品数量从小到大重新排列，再根据算术平均数、中位数和众数、方差的定义分别求解，从而得出答案．
此题主要考查了平均数以及方差、中位数和众数的求法，正确把握相关定义是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
即，
故选：．
根据已知条件易证四边形是菱形，根据菱形的性质可得，进一步可得，根据等腰三角形的性质，即可求出．
本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形的内角和等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：选项正确．因为当时，，根据图象可知，不符合题意；
选项正确．因为抛物线与轴有两个交点，，
所以关于的方程有两个不相等的实数根．不符合题意；
选项错误．因为根据图象可知：
，，，所以符合题意；
选项正确．因为根据图象可知：
当时，不符合题意．
故选：．
A.根据当时对应的的值即可判断；
B.根据判别式的取值范围即可判断；
C.根据抛物线开口方向和对称轴的位置即可判断；
D.根据抛物线与轴的交点坐标即可判断．
本题考查了二次函数与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解决本题的关键是掌握以上知识．
 

10.【答案】

【解析】解：设同学心里想的那个数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，
所以有，
解得：．
故选：．
设报的人心里想的数是，则可以分别表示报，，，的人心里想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
 

11.【答案】

【解析】解：面积为的正方形的边长为；
故答案为：．
根据算术平方根解答即可．
本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数只有一个算术平方根．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意得，


，
故答案为：．
根据进行求解即可．
此题考查了运用平方差公式解决问题的能力，关键是能准确理解并运用平方差公式．
 

13.【答案】

【解析】解：八边形的内角和为，
七边形的内角和为，
，
故答案为：．
利用多边形的内角和公式分别计算八边形和七边形的内角和，作差即可．
本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式．
 

14.【答案】

【解析】解：某班名学生，有名女生请假，
恰好抽到请假女生的概率是．
故答案为：．
用请假女生的人数除以学生总数，列出算式计算即可求解．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理，圆周角定理和勾股定理等知识．
先由 可知 ， ，再根据圆周角定理求出 的度数，由直角三角形的性质求出 的长，根据勾股定理求出 的长，进而可得出结论．
【解答】
解： ，
， ，
，
，
，
，
．   

16.【答案】或或

【解析】解：当时，函数解析式为，此函数为一次函数，函数图象与轴有一个交点；
当时，当时，抛物线与轴只有一个交点，解得，，
综上所述，的值为或或．
故答案为：或或．
讨论：当时，函数为一次函数，函数图象与轴有一个交点；当时，函数为二次函数，利用根的判别式的意义得到，解方程得到对应的的值．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
 

17.【答案】解：



．

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：原式

．

【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一；
如图中，四边形即为所求答案不唯一．
 

【解析】利用数形结合的思想画出图形即可；
根据题意，利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：根据题意可得，
人．
这次被调查的老师共有名；
根据题意可得，
有协同的人数为为人，
补全统计图如图：
根据题意可得，
人，
全区名老师课堂星级指数达到以上的有人．

【解析】根据扇形统计图中有限时占，条形统计图中有限时人，即可计算出共有多少人；
根据中的结论可计算出有协同的人数，即可补全统计图；
根据用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，找出条形统计图和扇形统计图中已知数据进行求解是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：设每次降价的百分率为，
则，
解得或舍，
答：每次降价的百分率为．
由知第一次降价后的售价为元，设第一次降价销售瓶，
根据题意得：，
解得：，
答：第一次降价至少售出瓶后，方可进行第二次降价．

【解析】设该商品每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值可得出该商品每次降价的百分率为；
设第一次降价后售出件，则第二次降价后售出件，利用总利润销售收入进货总价，结合两次降价销售的总利润不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：将向右平移个单位，得到，而，，
，，，
又点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
将继续向右平移个单位，得到，
，，，
当时，，
点，
设直线的关系式为，则
，
解得，
直线的关系式为，
由得，或舍去，
当时，，
点，
答：，

【解析】根据平移所引起的坐标变化得出点的坐标，代入反比例函数关系式可得的值，进而确定关系式；
根据平移所引起的坐标变化得出点，，的坐标，点的横坐标为，代入关系式可确定其纵坐标；求出直线的关系式，直线与反比例函数在第一象限内的交点即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，以及平移，掌握待定系数法求函数关系式的方法和平移引起坐标的变化规律是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：由题意知，，
在中，，
，
答：无人机的高度是米；
过点作于点，则四边形是矩形，

，，
在中，，
，
，
米，
答：隧道的长度约为米．

【解析】利用正切函数即可求出的长；
过点作于点，则四边形是矩形，得到，，在中利用正切函数即可求得，进而即可求得米．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
 

24.【答案】解：，，
，，
解得：，；

由得，
，
解不等式组得，
不等式组恰好有个整数解，
，
解得：；

，
化简得：
，
对任意实数，都成立，
．

【解析】根据已知新定义得出，，再求出方程组的解即可；
把，代入算式，得出不等式组，求出不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解得出答案即可；
根据化简后得出，再求出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，解分式方程等知识点，能求出、的值是解的关键，能得出等式是解的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，

是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
而，
，
，
是的半径，
总与相切；
解：如图，连接，连接，
为的直径，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
由知，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
，
，
，
解得；
解：四边形为平行四边形．理由如下：

如图，连接，则为的直径，
，
是线段的垂直平分线，
，，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形．

【解析】如图，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
如图，连接，连接，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到；
如图，连接，则为的直径，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了圆的综合题，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．