2022年陕西省宝鸡市陈仓区中考数学一模试卷（含解析）

2022年陕西省宝鸡市陈仓区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图的几何体是由一平面将一圆柱体截去一部分后所得，则该几何体的俯视图是

A.
B.
C.
D.

3. 如图，已知平行线，，一个直角三角板的直角顶点在直线上，另一个顶点在直线上，若，则的大小为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，中，，是的中线，是的中点，连接，若，，则

A.  B.  C.  D.

6. 若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则和的交点坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，矩形中，，，过点、分别作相距为的平行线段、，分别交、于点、，则的值是

A.
B.
C.
D.

8. 二次函数的自变量与函数的对应值如表．

则下列结论中正确的是

1. 
   B.
   C. 时或
   D. 方程的两个根分别是，

二．填空题（本题共5小题，共15分）

9. 在、、、、中，无理数有______个．
10. 如图，五边形是的内接正五边形，则的度数是______．
    
     

11. 一件商品进价是元，按进价提高标价，再打折出售，那么每件商品的售价为______元．含的式子表示
12. 已知反比例函数的图象上两点，若，则的取值范围是______．
13. 如图，中，，，，是边上的一个动点，以为直径画，分别交、于点、，连接，则线段长度的最小值为______．
     

三．解答题（本题共13小题，共102分）

14. 计算：
15. 解不等式组：．
16. 化简：．
17. 如图，已知，点为边上一点，请用尺规作图在边上作一点，使得保留作图痕迹，不写作法．
     

18. 如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，，求证：．

19. 某校毕业班准备观看电影长津湖，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，班长小王问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：人以上的团体票有两种优惠方案可选择，方案一：全体人员可打折；方案二：若打折，有人可以免票，班长小王思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道小王班有多少人吗？
20. 有、、、四个训练场地，抽签决定各班训练位置，规则如下：将正面分别写有字母、、、的四张卡片除了正面字母不同外，其余均相同背面朝上，洗匀，先由一位“体育委员”随机抽取一张卡片，即为他抽取的训练地点，然后将卡片放回、洗匀，再由下一位“体育委员”抽取．已知小明和小亮都是“体育委员”．
    小明抽到的训练地点是“场地”的概率为______；
    请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一训练场地的概率．
21. 小颖和小明想利用所学知识来测量学校的旗杆高度．如图，小颖站在旗杆旁的水平地面上处，小明在之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动．当平面镜移动到点时，小颖刚好在平面镜内看到旗杆顶端，此时测得米，小颖眼睛距地面的高度米，然后小明在距离小颖米的点处用测角仪测得旗杆顶端处的仰角为，测角仪米，已知、、、在同一水平线上，、、都垂直，请根据以上信息，求出旗杆的高．
22. 从年月神舟五号载人飞船进入太空，刭年月神舟十三号成功发射．年时光，中国航天人合力将中国太空梦化为现实，并不断取得突破性进展．为此，某中学开展以“航天梦中国梦”为主题的演讲比赛．赛后，某兴趣小组分别从八年级和九年级参赛选手中各随机抽取名，将他们的比赛成绩统计如图：
    
    根据图中信息，解答下列问题：
    九年级五名被抽取的选手中，比赛成绩的众数为______分；
    八年级五名被抽取的选手中，比赛成绩的中位数为______分；
    分别计算两个年级被抽取的选手的平均成绩．并估计哪个年级的平均成绩较高？
23. 张琪和爸爸到曲江池遗址公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，张琪继续前行分钟后也原路返回，两人恰好同时到家张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路点米，米与运动时问分之间的函数关系如图所示
    求爸爸返问时离家的路程米与运动时间分之间的函数关系式；
    张琪开始返回时与爸爸相距多少米？

24. 如图，已知的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，交于，连接，，，且．
    求证：；
    若，，求的长．
     

25. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点直线为抛物线的对称轴，且直线交轴于点，抛物线的顶点为．
    求该抛物线的函数表达式；
    连接，在直线上是否存在点，使得与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    
    
     

问题提出
26. 如图，在等腰中，，是边上一点，以为腰作等腰，连接，则与的数量关系是______，位置关系是______；

问题探究
如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且，若，，求的长；
问题解决
如图是某公园的一个面积为的圆形广场示意图，点为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域，连接、，其中等边为球类运动区域，为散步区域，设的长为，的面积为．
求与之间的函数关系式；
按照设计要求，发现当点为的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域的面积．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从上面看从上面看是一个圆，
故选：．
根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
直角三角板的直角顶点在直线上，
，
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

4.【答案】

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．
 

5.【答案】

【解析】解：，是的中线，
，
．
在中，，，，
．
又是的中点，，
．
故选：．
利用等腰三角形的三线合一可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求出的长．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：直线经过点，经过点，且与关于轴对称，
点关于直线对称点为，
直线经过点，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为：，
当时，，
和的交点坐标为，
故选：．
根据对称的性质得出点关于轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线关系式，求出与轴交点坐标即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出与的交点坐标为与与轴的交点是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：过点作于，如图所示：
则，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
设，则，，
在中，，
，
，
．
故选：．
过点作于，则，由证得≌，得出，证四边形是菱形，设，由勾股定理得出方程，解方程即可求出，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理，平行四边形的判定、菱形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和菱形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：抛物线过点，，
抛物线的对称轴为直线，
顶点为，
抛物线开口向下，则，故A错误；
，
，故B错误；
抛物线开口向下，且过点，，
时，，故C错误；
抛物线的对称轴是直线，
点与关于直线对称，
抛物线过点，，
方程的两个根分别是，，故D正确，
故选：．
观察表格，可以得出抛物线的对称轴位置，开口方向，增减性、对称性以及与轴的交点，再利用二次函数的性质分别判断即可求得答案．
本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
 

9.【答案】

【解析】解：在、、、、中，无理数有、、，共个．
故答案为：．
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
 

10.【答案】

【解析】解：五边形是的内接正五边形，
五边形的中心角的度数为，
，
故答案为：．
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可求得中心角，然后利用等腰三角形的性质求得底角即可．
本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得：
这件商品获利元．
故答案为：．
根据题意直接列出代数式，化简即可解决问题．
该题主要考查了列代数式在现实生活中的实际应用问题；解题的关键是准确把握命题中隐含的数量关系，正确列出代数式．
 

12.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象上两点，，，
反比例函数图象在第一、三象限，
，
解得，，
故答案为：．
根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，，，
，
由题意当时，的半径最小，
，是定值，
此时的值最小，

过的中点作交于、，连接、、，则是等边三角形，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，由题意当时，的半径最小，因为，是定值，所以此时的值最小．
本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是理解时，的值最小，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：


．

【解析】首先计算零指数幂、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组解集为：．

【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题主要考查对解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】解：原式


．

【解析】先将括号内分式通分、除式的分母因式分解，再计算减法，最后除法转化为乘法后约分即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，五种基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．

【解析】根据，，可得，根据可得，利用证明≌，可得结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：设小王班有人，根据题意得：
，
解得，
答：小王班有人．

【解析】设小王班有人，根据要付的钱是一样的可列，即可解得答案．
此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
 

20.【答案】

【解析】解：小明抽到的训练地点是“场地”的概率为；
故答案为：；

列表如下：

由表中可以看出，抽取的两张卡片可能出现的结果共有种且它们出现的可能性相等，其中小明与小亮抽到同一训练场地的有种结果，
所以小明与小亮抽到同一训练场地的概率为．
直接利用概率公式计算可得；
列表得出所有等可能的情况数，再找出小明与小亮抽到同一训练场地的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：如图，过作于，

，，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
由题意得，，，
∽，
，即，
解得：，
米，
，米，
，
解得：，
旗杆的高为米．

【解析】过作于，得到四边形是矩形，求得米，，设米，根据相似三角形的性质得到，由三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
 

22.【答案】 

【解析】解：因为九年级五名被抽取的选手中，分的人数最多，
所以众数为分．
故答案为：；
八年级五名被抽取的选手中，比赛成绩从小到大排列为，，，，，，故中位数为分．
故答案为：；
八年级平均成绩：分，
九年级平均成绩：分，
，
九年级的平均成绩较高．
根据众数的定义即可求解；
根据中位数的定义即可求解；
根据平均数的计算法则进行计算，再比较大小即可求解．
本题考查了中位数、众数、平均数等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：设爸爸返回的解析式为，把代入得
，解得
爸爸返回时离家的路程米与运动时间分之间的函数关系式为：；

设线段表示的函数关系式为，把代入得，
线段表示的函数关系式为，
当时，，
张琪开始返回时与爸爸相距米．

【解析】设爸爸返回的解析式为，把代入即可解答；
求出线段的解析式，根据题意列方程解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
设的半径，
，，，
，
在直角三角形中，
，
解得：，
．

【解析】连接，根据切线的性质得到，由得到，由得到，这样即可证明，再根据平行线的性质证出，从而得证．
根据正弦的定义求出，设半径为，在直角三角形中根据，列方程求出的值，将的值代入即可．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点，代入中得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
存在．理由：
令，则，
解得：，，
点坐标为，
，
坐标，对称轴为，
，
，，，
假设在直线上存在一点，设使得与相似，，
∽时，

由得，
解得：，
或，
，；
当∽时，

由得，
解得：，
或，
，
综上，存在，，，四点使得与相似．

【解析】把点，代入函数解析式，用待定系数法求出，即可；
根据中解析式，先求出点，坐标和抛物线对称轴，设假设存在点，则点坐标为，然后分∽和∽两种情况，由相似三角形的性质求出点的坐标．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形相似的性质的应用，求出函数解析式是解题关键．
 

26.【答案】相等  垂直

【解析】解：等腰中，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
故答案为：相等，垂直；
过点作交于点，如图：

是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
，，
≌，
，
，
在等腰中，；
在上截取，连接，过点作于点，过作于，如图：

是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
的面积为，
的半径为，即，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
、是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
设，则，，
而，
中，，
，
化简变形得：，



；
为的中点时，如图：

是等边三角形，
，
为的中点，
，
，
是的直径，
，
点与点重合，
，
．
证明≌可得结论；
过点作交于点，证明≌，求出即可得答案；
在上截取，连接，过点作于点，过作于，由的面积为，求出的半径，可得，再利用≌，设，则，，在中，由勾股定理得，即可得；
证明、重合，由等边知，从而，根据等边三角形面积等于边长的平方即可得答案．
本题考查圆的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质及应用、勾股定理等知识，解题的关键是求与的函数关系式．