2022年湖南省长沙市中考数学终极押题密卷3(word版含答案)

这是一份2022年湖南省长沙市中考数学终极押题密卷3(word版含答案)，共32页。
A．±3B．﹣3C．3D．9
2．（3分）（2021•商河县校级模拟）下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
3．（3分）（2022•长沙模拟）北京冬奥会的开幕式精彩纷呈，吸引了全球人的目光，是收视率最高的一届冬奥会开幕式．据不完全统计，仅中国大陆地区就有大约3.16亿观众收看了北京冬奥会的开幕式，与平昌冬奥会开幕式的全球观看人数相当．将3.16亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.16×102B．3.16×105C．3.16×108D．3.16×1010
4．（3分）（2022•长沙一模）如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）（2013•常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2+1＝0C．x2＝2x﹣1D．x2﹣4x﹣5＝0
6．（3分）（2021•开福区模拟）2015年7月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．则下列关于这列数据表述正确的是（ ）
A．众数是30B．中位数是31C．平均数是33D．极差是35
7．（3分）（2022•长沙模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2B．23C．43D．8
8．（3分）（2022•长沙一模）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
9．（3分）（2017•天桥区三模）若kb＞0，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）（2021•开福区模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝3，E是BC上一个动点（不与点B、C重合），EF∥AB，交BD于点G，设BE＝x，△GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022•长沙模拟）不等式组6-2x≥02x＜x+4的解集是 ．
12．（3分）（2022•长沙一模）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是 ．
13．（3分）（2012•沙坪坝区模拟）120°的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在的圆的半径为 ．
14．（3分）（2021•开福区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠AOB的度数为 ．
15．（3分）（2022•长沙模拟）已知圆锥的底面圆半径为2，其母线长为6，则圆锥的侧面积等于 ．
16．（3分）（2022•长沙一模）在直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1；第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2022的坐标为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2019•安徽二模）计算：8-（2019﹣π）0﹣4cs45°+（-13）﹣2．
18．（6分）（2021•盐城模拟）先化简：（a+7a-1-2a+1）÷a2+3aa2-1，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
19．（6分）（2022•长沙模拟）下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．试结合小华设计的尺规作图过程，说明AD为什么是△ABC的高．
20．（8分）（2022•长沙一模）为贯彻全民健身国家战略、实施健康中国行动，长沙市设立了多个智慧社区健身中心，相比于传统商业健身房，智慧社区健身中心有距离近、价格优惠、场馆智能等优势．为了解消费者对于身边智慧社区健身中心的满意程度，随机抽取若干名到智慧社区健身中心的消费者进行调研，根据调研情况制作了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
（1）此次随机调研了 人，并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，满意程度为“非常满意”所占百分比为 ，满意程度为“基本满意”所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）若目前到智慧社区健身中心健身的人有600人，请你估计对于智慧社区健身中心持满意观点（满意及以上）的人数．
21．（8分）（2022•开福区校级模拟）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B＝60°，BC＝8，求▱ABCD的面积．
22．（9分）（2021•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
23．（9分）（2022•长沙模拟）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求AD的长．
24．（10分）（2022•长沙一模）在y关于x的函数中，对于实数a，b（b＞a），当a≤x≤b时，函数y有最大值ymax，满足ymax＝2（b﹣a），则称函数为“倍增函数”．
（1）当a＝1，b＝3时，判断下列函数是否为“倍增函数”？如果是，请在对应_____内画“√”，如果不是，请在对应_____内画“×”；
①y＝2x ；
②y＝﹣2x+2 ；
③y=12x+52 ．
（2）当b＝2a+1时，反比例函数y=8ax为“倍增函数”，求实数a的值；
（3）已知二次函数y＝x2﹣bx+a2+2a﹣1是“倍增函数”，且y有最大值4，求实数a的值．
25．（10分）（2022•古田县一模）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上．连接AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F．⊙O过点M、C、P．
（1）求证：△AFN∽△ADP；
（2）若AB＝CM，求证：△AMP为等腰直角三角形；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M，又与AD相切于点H，且AB＝4，求⊙O的直径．
2022年长沙中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2006•包头）9的算术平方根是（ ）
A．±3B．﹣3C．3D．9
【考点】算术平方根．
【专题】常规题型．
【分析】根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，算术平方根是正数的正的平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
2．（3分）（2021•商河县校级模拟）下列把2034000记成科学记数法正确的是（ ）
A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2022•长沙模拟）北京冬奥会的开幕式精彩纷呈，吸引了全球人的目光，是收视率最高的一届冬奥会开幕式．据不完全统计，仅中国大陆地区就有大约3.16亿观众收看了北京冬奥会的开幕式，与平昌冬奥会开幕式的全球观看人数相当．将3.16亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.16×102B．3.16×105C．3.16×108D．3.16×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3.16亿＝316000000＝3.16×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2022•长沙一模）如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选C．
5．（3分）（2013•常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2+1＝0C．x2＝2x﹣1D．x2﹣4x﹣5＝0
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】找出各项方程中a，b及c的值，进而计算出根的判别式的值，找出根的判别式的值小于0时的方程即可．
【解答】解：A、这里a＝1，b＝2，c＝1，
∵Δ＝4﹣4＝0，
∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
B、这里a＝1，b＝0，c＝1，
∵Δ＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，本选项符合题意；
C、这里a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∵Δ＝4﹣4＝0，
∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
D、这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5，
∵Δ＝16+20＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
6．（3分）（2021•开福区模拟）2015年7月份，某市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．则下列关于这列数据表述正确的是（ ）
A．众数是30B．中位数是31C．平均数是33D．极差是35
【考点】极差；加权平均数；中位数；众数．
【分析】根据极差、众数、平均数和中位数的定义对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、31出现了3次，出现的次数最多，则众数是31，故本选项错误；
B、把这些数从小到大排列为30，31，31，31，33，33，35，最中间的数是31，则中位数是31，故本选项正确；
C、这组数据的平均数是（30+31+31+31+33+33+35）÷7＝32，故本选项错误；
D、极差是：35﹣30＝5，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了极差、众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
7．（3分）（2022•长沙模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2B．23C．43D．8
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据矩形的性质得出OD＝OA，进而得出△AOD是等边三角形，利用勾股定理得出AB，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝OB＝AO＝OC，∠DAB＝90°，
∵∠AOD＝60°，AD＝2，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝2，
∴DB＝4，
在Rt△ADB中，AB=DB2-AD2=42-22=23，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD=23×2=43，
故选：C．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出OD＝OA解答．
8．（3分）（2022•长沙一模）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【考点】作图—基本作图；全等三角形的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
9．（3分）（2017•天桥区三模）若kb＞0，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】模型思想．
【分析】根据kb＞0，可知k＞0，b＞0或k＜0，b＜0，然后分情况讨论直线的位置关系．
【解答】解：由题意可知：可知k＞0，b＞0或k＜0，b＜0，
当k＞0，b＞0时，
直线经过一、二、三象限，
当k＜0，b＜0
直线经过二、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的图象性质，解题的关键是正确理解k与b的对直线位置的影响，本题属于基础题型．
10．（3分）（2021•开福区模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝3，E是BC上一个动点（不与点B、C重合），EF∥AB，交BD于点G，设BE＝x，△GED的面积与菱形ABCD的面积之比为y，则y与x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；图形的相似．
【分析】连接BF，求出平行四边形ABEF与平行四边形ABCD的面积关系，再求得△BEF与△BEF的面积关系，进而得△BDE与平行四边形ABCD的面积的关系，再证明△GBE∽△GDF，得出GE：GF，进而得△BEG与△BEF的面积关系，最后得y与x的关系式，根据函数关系式确定函数图象．
【解答】解：连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝3，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE＝x，
∴S△BEF=12S平行四边形ABEF=12×x3S平行四边形ABCD=x6S平行四边形ABCD，
∵AD∥BC，
∴△GBE∽△GDF，
∴GEGF=BEDF=x3-x，
∴S△BEG=xx+3-xS△BEF=x3S△BEF=x218S平行四边形ABCD，
∵AD∥BC，
∴S△BED=S△BEF=x6S平行四边形ABCD，
∴S△GED＝S△BED﹣S△BEG=x6S平行四边形ABCD-x218S平行四边形ABCD=(-118x2+16x)S平行四边形ABCD，
∴S△GEDS平行四边形ABCD=-118x2+16x，
即y=-118x2+16x（0＜x＜3），
∵-118＜0，
∴y=-118x2+16x（0＜x＜3）是开口向下的抛物线，
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质，三角形的面积，二次函数的图象与性质，关键是理清各个图形之间的面积关系．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022•长沙模拟）不等式组6-2x≥02x＜x+4的解集是 x≤3 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：6-2x≥0①2x＜x+4②
由①得，x≤3，
由②得，x＜4，
故原不等式组的解集为：x≤3．
故答案为x≤3．
【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
12．（3分）（2022•长沙一模）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是 7 ．
【考点】用样本估计总体．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量．
【解答】解：由题意可得，
红球的概率为70100=70%，
则这个口袋中红球的个数：10×70%＝7（个）．
故答案为：7．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
13．（3分）（2012•沙坪坝区模拟）120°的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在的圆的半径为 3 ．
【考点】弧长的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据弧长的计算公式l=nπR180，将n及l的值代入即可得出半径R的值．
【解答】解：由题意得，n＝120°，l＝2π，
故可得：2π=nπR180，
解得：R＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．
14．（3分）（2021•开福区模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠AOB的度数为 120° ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】根据题意和同弧所对的圆周角和圆心角的关系，即可求得∠AOB的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查圆周角定理、圆周角、弧、弦关系，解答本题的关键是明确题意，利用圆周角定理解答．
15．（3分）（2022•长沙模拟）已知圆锥的底面圆半径为2，其母线长为6，则圆锥的侧面积等于 12π ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】先求出圆锥的底面圆周长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式计算．
【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为2，其母线长为6，
∴圆锥的侧面积＝πrl＝π×2×6＝12π，
故答案为：12π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
16．（3分）（2022•长沙一模）在直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1；第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2022的坐标为 （22022，0） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
【专题】开放型；数据分析观念．
【分析】每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴上，故A2022在x轴正半轴上，且OA2022＝22022，由此求解即可．
【解答】解：（1）∵A点坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∴第一次旋转后，点A1在第一象限，OA1＝2；
第二次旋转后，点A2在第二象限，OA2=22；
第三次旋转后，点A3在x轴负半轴，OA3＝23；
第四次旋转后，点A4在第三象限，OA4=24；
第五次旋转后，点A5在第四象限，OA5=25；
第六次旋转后，点A6在x轴正半轴，OA6=26；
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴上，
∵2022÷6＝337，
∴循环了337次，点A2022在x轴正半轴上，且OA2022=22022，
∴A2022(22022，0)．
【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，旋转变换，涉及等边三角形、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够根据题意找到An规律．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2019•安徽二模）计算：8-（2019﹣π）0﹣4cs45°+（-13）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
【解答】解：原式＝22-1﹣22+9
＝8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）（2021•盐城模拟）先化简：（a+7a-1-2a+1）÷a2+3aa2-1，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=(a+7)(a+1)-2(a-1)(a+1)(a-1)•(a+1)(a-1)a(a+3)
=a2+6a+9a(a+3)
=(a+3)2a(a+3)
=a+3a，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式=-12．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）（2022•长沙模拟）下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．试结合小华设计的尺规作图过程，说明AD为什么是△ABC的高．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据三角形的高的定义画出图形即可．
【解答】解：∵AM＝AN，PM＝PN，
∴A点和P点在MN的垂直平分线上，
∴即AP垂直平分MN，
∴AD⊥BC，
即AD是△ABC的高．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的高等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
20．（8分）（2022•长沙一模）为贯彻全民健身国家战略、实施健康中国行动，长沙市设立了多个智慧社区健身中心，相比于传统商业健身房，智慧社区健身中心有距离近、价格优惠、场馆智能等优势．为了解消费者对于身边智慧社区健身中心的满意程度，随机抽取若干名到智慧社区健身中心的消费者进行调研，根据调研情况制作了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
（1）此次随机调研了 200 人，并将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，满意程度为“非常满意”所占百分比为 30% ，满意程度为“基本满意”所对应的扇形圆心角的度数为 36° ；
（3）若目前到智慧社区健身中心健身的人有600人，请你估计对于智慧社区健身中心持满意观点（满意及以上）的人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】（1）根据“满意”的人数和所占的百分比求出总人数，进而求出“非常满意”的人数，再将条形统计图补充完整即可；
（2）用“非常满意”人数除以总人数即可得出满意程度为“非常满意”所占百分比，再用360°乘以“基本满意”部分所占的百分比即可求出该部分的扇形的圆心角的度数；
（3）用样本估算总体即可．
【解答】解：（1）此次随机调研了：80÷40%＝200（人），
“非常满意”的人数为：200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
将条形统计图补充完整如下：
故答案为：200；
（2）在扇形统计图中，满意程度为“非常满意”所占百分比为：60200×100%=30%，满意程度为“基本满意”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×20200=36°，
故答案为：30%；36°；
（3）600×（30%+40%）＝420（人），
答：估计对于智慧社区健身中心持满意观点（满意及以上）的人数为420人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（8分）（2022•开福区校级模拟）如图，在▱ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B＝60°，BC＝8，求▱ABCD的面积．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由已知条件得出AM∥CN，AM＝CN，证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA＝90°，即可得出四边形AMCN是矩形；
（2）根据∠B＝60°，BC＝8，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而得出▱ABCD的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM＝BM，AM∥CN，AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC＝BC，AM＝BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形．
（2）∵∠B＝60°，BC＝8，∠BMC＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∴Rt△BCM中，BM=12BC＝4，CM＝43，
∵AC＝BC，CM⊥AB，
∴AB＝2BM＝8，
∴▱ABCD的面积为AB×CM＝8×43=323．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键．
22．（9分）（2021•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）根据（1）的结论，即可得出w与x间的函数解析式．
（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，根据实际意义可以确定a的范围，结合（2）的结论，利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）①0≤x≤300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（0，0），（300，24000），
b=0300k+b=24000，
解得k=80b=0，
∴y＝80x，
②x＞300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（300，24000），（500，30000），
300k+b=24000500k+b=30000，
解得k=30b=15000，
∴y＝30x+15000，
∴y=80x(0≤x≤300)30x+15000(x＞300)；
（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；
当x＞300时，w＝30x+15000+50（600﹣x），
即w＝﹣20x+45000；
∴w=30x+30000(0≤x≤300)-20x+45000(x＞300)；
（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，
x＞300x≤2(600-x)，
∴300＜x≤400，
由（2）知w＝﹣20x+45000，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
即甲400m2，乙200m2时，
Wmin＝﹣20×400+45000＝37000．
答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
23．（9分）（2022•长沙模拟）如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求AD的长．
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OD，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质，证明AE∥OD即可解答；
（2）连接DB，CD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而得到∠B＝∠EDA，再利用圆内接四边形对角互补证明∠ECD＝∠B，进而可得∠ECD＝∠EDA，最后证明△ECD∽△EDA，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∴∠ODE+∠AED＝180°，
∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接DB，CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴∠B＝∠EDA，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD+∠B＝180°，
∵∠ACD+∠ECD＝180°，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDA，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ECED=EDEA，
∴24=4AE，
∴AE＝8，
∴AD=AE2+DE2=82+42=45．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，角平分线的性质，切线的判定与性质，根据题目的已知条件添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（10分）（2022•长沙一模）在y关于x的函数中，对于实数a，b（b＞a），当a≤x≤b时，函数y有最大值ymax，满足ymax＝2（b﹣a），则称函数为“倍增函数”．
（1）当a＝1，b＝3时，判断下列函数是否为“倍增函数”？如果是，请在对应_____内画“√”，如果不是，请在对应_____内画“×”；
①y＝2x × ；
②y＝﹣2x+2 × ；
③y=12x+52 √ ．
（2）当b＝2a+1时，反比例函数y=8ax为“倍增函数”，求实数a的值；
（3）已知二次函数y＝x2﹣bx+a2+2a﹣1是“倍增函数”，且y有最大值4，求实数a的值．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【分析】（1）①当x＝3时函数y＝2x有最大值6；②当x＝1时函数y＝﹣2x+2有最大值0；③当x＝3时函数y=12x+52有最大值4；
（2）由题意可得ymax＝2a+2，分两种情况讨论：当a＞0时，当x＝a时函数有最大值8，即2a+2＝8，可求a＝3；当a＜0时，当x＝b时函数有最大值8a2a+1，则8a2a+1=2a+2，此时a无解；
（3）由题意可得b﹣a＝2，分两种情况讨论：a≤0，当x＝a时，函数有最大值为a2﹣ba+a2+2a﹣1＝4，解得a=5（舍）或a=-5；a≥0，当x＝b时，函数有最大值为a2+2a﹣1＝4，解得a=6-1或a=-6-1（舍）．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝3，
∴ymax＝2（b﹣a）＝4，
①当1≤x≤3时，对y＝2x，当x＝3时函数有最大值6，
∴y＝2x 不是“倍增函数”；
②当1≤x≤3时，对y＝﹣2x+2，当x＝1时函数有最大值0，
∴y＝﹣2x+2不是“倍增函数”；
③当1≤x≤3时，对y=12x+52，当x＝3时函数有最大值4，
∴y=12x+52 是“倍增函数”；
故答案为：×，×，√；
（2）∵b＝2a+1，a＜b，
∴a＜2a+1，
∴a＞﹣1，
∴ymax＝2（b﹣a）＝2a+2，
∵反比例函数y=8ax为“倍增函数”，
∴当a≤x≤b时，函数y有最大值2a+2，
当a＞0时，对函数y=8ax，当x＝a时函数有最大值8，
∴2a+2＝8，
∴a＝3；
当a＜0时，对函数y=8ax，当x＝b时函数有最大值8ab=8a2a+1，
∴8a2a+1=2a+2，
∴2a2﹣a+1＝0，
∵Δ＜0，
∴a无解；
综上所述：a＝3；
（3）∵ymax＝2（b﹣a），y有最大值4，
∴b﹣a＝2，
∵二次函数y＝x2﹣bx+a2+2a﹣1是“倍增函数”，
当a+b2≤b2，即a≤0，
当x＝a时，函数有最大值为a2﹣ba+a2+2a﹣1，
∴a2﹣ba+a2+2a﹣1＝4，
∴a2＝5，
解得a=5（舍）或a=-5，
当a+b2≥b2，即a≥0，
当x＝b时，函数有最大值为b2﹣b2+a2+2a﹣1＝a2+2a﹣1，
∴a2+2a﹣1＝4，
解得a=6-1或a=-6-1（舍）；
综上所述：a的值为-5或6-1．
【点评】本题考查函数的新定义，理解定义，能将所求的问题转化为反比例函数与二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．
25．（10分）（2022•古田县一模）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上．连接AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F．⊙O过点M、C、P．
（1）求证：△AFN∽△ADP；
（2）若AB＝CM，求证：△AMP为等腰直角三角形；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M，又与AD相切于点H，且AB＝4，求⊙O的直径．
【考点】圆的综合题．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】（1）根据折叠的性质及相似三角形的判定可得结论；
（2）由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得出AM＝PM，由HL证明Rt△ABM≌Rt△MPC，再由全等三角形的性质可得结论；
（3）连接HO并延长交BC于J，根据折叠的性质知：MN垂直平分AP，可得：AM＝PM，AM为⊙O的切线，可得：∠AMP＝∠CMP+∠AMB＝90°，又∠BAM+∠AMB＝90°，可得：∠CMP＝∠BAM，∠B＝∠C＝90°，可证：△ABM≌△MCP，MC＝AB，BM＝CP，由AD为⊙O的切线，可得：OJ⊥AD，故：JH∥CP，△MOJ∽△MPC，设PD的长为x，则PC＝AB﹣x，OJ=12PC，OH＝AB﹣OJ可求出⊙O的半径，在Rt△MCP中，运用勾股定理可将PD的长求出，即可得出CP的长，然后根据勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：∠AFN＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°＝∠AFN，
∵∠DAP＝∠DAP，
∴△AFN∽△ADP；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质可得：AM＝MP，
∵AB＝CM，
∴Rt△ABM≌Rt△MPC（HL），
∴∠AMB＝∠PMC，
∵∠BAM+∠BMA＝90°，
∴∠PMC+∠BMA＝90°，
∴∠AMP＝90°，
∴△AMP是等腰直角三角形；
（3）解：∵AM是⊙O的切线，
∴∠AMP＝90°，
∴∠CMP+∠AMB＝90°，
∵∠BAM+∠AMB＝90°，
∴∠CMP＝∠BAM，
由折叠的性质得：MN垂直平分AP，
∴MA＝MP，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABM≌△MCP（AAS），
∴MC＝AB＝4，
设PD＝x，则CP＝4﹣x，
∴BM＝PC＝4﹣x，
连接HO并延长交BC于J，如图2所示：
∵AD是⊙O的切线，
∴∠JHD＝90°，
∴HDCJ为矩形，
∴OJ∥CP，
∴△MOJ∽△MPC，
∴OJ：CP＝MO：MP＝1：2，
∴OJ=12（4﹣x），
OH=12MP＝4﹣OJ=12（4+x），
∵MC2＝MP2﹣CP2，
∴（4+x）2﹣（4﹣x）2＝16，
解得：x＝1，即PD＝1，
∴PC＝3，
∴MP=CP2+CM2=32+42=5，即⊙O的直径为5．
【点评】此题考查的是折叠的性质，相似三角形的判定与性质、圆的有关性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．