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2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷理科）数学-教师用卷

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这是一份2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷理科）数学-教师用卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷理科）数学

题号	一	二	三	总分
得分

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

设全集，集合满足，则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系，补集的运算，属于基础题．

【解答】

解：因为全集，，
所以，
所以，选项正确．

已知，且，其中，为实数，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查共轭复数和复数相等，属于基础题．
根据题干表示，再出列出复数相等的等式，即可求解，．

【解答】

解：由题设，，，代入有，
故，．

已知向量，满足，，，则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积运算．

【解答】

解：由题设，，得，代入，，
有，故

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，，，，依此类推，其中则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查社会生活中的数列的比较大小，考查运算推导能力，属于基础题．
利用递推关系进行大小的比较．

【解答】

解：由已知，，，故同理可得，
又因为，故，于是得，排除．
，故，排除，而，排除．

设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题．

【解答】

解：易知抛物线的焦点为，于是有，故，注意到抛物线通径，
通径为抛物线最短的焦点弦，分析知必为半焦点弦，于是有轴，

于是有．

执行右边的程序框图，输出的

A.
B.
C.
D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查程序框图，属于基础题．

【解答】

解：第一次循环：，，，
第二次循环：，，，
第三次循环，，，，
故输出

在正方体中，，分别为，的中点，则

A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题．

【解答】

解：对于选项：在正方体中，因为分别为，的中点，易知
，从而平面，又因为平面，所以平面平面，
所以选项正确
对于选项：因为平面平面，由上述过程易知平面平面
不成立
对于选项的直线与直线必相交，故平面面有公共
点，从而的错误
对于选项：连接，，，易知平面平面，
又因为平面与平面有公共点，故平面与平面
不平行，所以选项错误．

已知等比数列的前项和为，，则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列前项和中的基本量计算，属于基础题．
根据题干列出等式求得与，进而求出．

【解答】

解：设等比数列首项，公比．
由题意，，即，即
解得，，，所以．

已知球的半径为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查圆锥体积，最值计算．

【解答】

解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是
边长为的正方形，底面所在圆面的半径为，则，
所以该四棱锥的高，所以体积
，设，
，，当，，单调递增，
当，，单调递减，所以当时，取最大，此时，

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且记该棋手连胜两盘的概率为，则

A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛，最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛，最大

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式的计算，属于中档题．
根据题意计算出，，，然后作差比较大小．

【解答】

解：设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为
，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为由题意
，
，
，
所以，，
所以最大．

对曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质及直线与圆相切的性质，属于中档题．

【解答】

解：由题意，点在双曲线右支记切点为点，连接，则，，
又，则过点作交直线于点，连接，
则，又点为中点，则，．
由，得，
所以，．
故，由双曲线定义，，
则，即，所以．

已知函数，的定义域均为，且，，若的图像关于直线对称，，则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的对称性，周期性，属于拔高题．

【解答】

解：若的图像关于直线对称，则，因为
，所以，故，为偶函数由
，，得由，得，
代入，得，关于点中心对称，所以
由，，得，所
以，故，周期为由，得
，又，所以
．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．

【解答】

解：设“甲、乙都入选”为事件，则．

过四点，，，中的三点的一个圆的方程为．

【答案】

或或或

【解析】

【分析】

本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．
圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径，每种情况逐一求解即可．

【解答】

解：设点，，，．
若圆过、、三圆圆心在直线，设圆心坐标为，
则，，所以圆的方程为
若圆过、、三点，同设圆心坐标为，
则，，所以圆的方程为
若圆过、、三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程
为，联立得，所以圆的方程为
若圆过、、三点，则线段的中垂线方程为，
线段中垂线方程为，联立得
所以圆的方程．

记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查由余弦函数值求参．

【解答】

解：，且，故，
，
又，故的最小值为．

已知和分别是函数且的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查利用导数的极值求解参数，考查转化能力与运算求解能力，属于较难题．
求导，转化为至少要有两个零点和，构造函数，分类讨论，判断单调性，进而求解范围．

【解答】

解：至少要有两个零点和，
构造函数，对其求导，，
若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，
在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意，
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，即

故，所以．

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）

记的内角、、的对边分别为、、，已知．
证明：
若，，求的周长．

【答案】

解：证明：已知
可化简为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，即证，
由可知，，
，，
，，的周长为．

【解析】本题考查正余弦定理，属中档题目．
利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证；
由余弦定理求出即可得出三角形的周长．

如图，四面体中，，，为中点．
证明：平面平面
设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．

【答案】

解：，且为公共边与全等，．
又为中点且，，同理．
又，且均含于平面，平面．
又平面，平面平面．
在中，，，，．
在中，，，，，为中点，，．
又，，即．
直线、直线、直线两两互相垂直．
由点在上且与全等，，
由于为中点
当的面积最小时
在中，，，
如图，以点为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系．
、、、、
、、

设平面的法向量为
可得设
设与所成的角为，与平面所成角的为

所以与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查面面垂直的判定，及线面角的求解，属于中档题．

某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积心位：和材积量，得到如下数据：

样本数号											总和
根部横截面积
材积量

并计算得，，．
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：
求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数精确到
现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．

【答案】

解：设这种树木平均一课的根部横截面积为，平均一个的材积量为，
则，．
；
设从根部面积总和为，总材积量为，则，故

【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题．

已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点
求的方程
设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．

【答案】

解：设的方程为，将，两点代入得
，解得，，故E的方程为．
由，可得直线
若过的直线的斜率不存在，直线为代入，可得，
，将代入，可得，由，
得易求得此时直线过点；
若过的直线的斜率存在，设，，。
联立，得，
故有，且
联立，可得，，
可求得此时
将代入整理得
将式代入，得，
显然成立．
综上，可得直线过定点．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；
分类讨论过点的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出，坐标，表示出直线方程，判断直线过定点即可．

已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程：
若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．

【答案】

解：当时，，，，又时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
令，有，
在区间，各恰有一个零点，也即在区间，各恰有一个零点，
则，
Ⅰ若时，则
令，，分别在和单调递减和单调递增，易知当时，取得最小值，
所以，
当时，，于是在递增，与在上有一个零点矛盾．
Ⅱ若时，令则

所以在递增，又，，
即，，且当时，，单调递减
当时，，单调递增，，

，，
且在上递增，在上递减，在上递增．
又，故，，于是
，，
综上，．