人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课时训练

人教版初中数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷

考试范围：第二十八章； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列等式成立的是

A.  B.
C.  D.

2. 已知为锐角，且，那么等于

A.  B.  C.  D.

3. 计算：

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，，现给出下列结论：；；；，其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

5. 在中，若，则下列最确切的结论是     

A. 是直角三角形 B. 是等腰三角形
C. 是等腰直角三角形 D. 是锐角三角形

6. 如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，，则点坐标是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是测得教学楼的顶部处的仰角为则教学楼的高度是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直在同一条直线上，设，那么拉线的长度为   

A.  B.  C.  D.

9. 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，某轮船由东向西航行，在处测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行海里到达处，此时测得灯塔在它的北偏西方向上，则

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

11. 如图，在等腰直角三角形中，，，是上一点，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

12. 图是年世界数学大会的会徽，其主体图案如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在中，，则______．
14. 计算：________．
15. 如图：是的边上一点，且点的坐标为，则_________．
    
     

16. 在锐角中，，，则．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：
18. 在中，如果各边长都扩大到原来的倍，那么的正弦值、余弦值和正切值有变化吗？说明理由．
19. 计算：；
    化简求值：其中与，构成三角形的三边，且为整数．
20. 如图，在中，为锐角，，，，求的长．

21. 如图，某号台风中心位于地，台风中心以的速度向西北方向移动，在半径为的范围内将受其影响．城市在地正西方向，与地相距处，试问：地是否会遭受此台风的影响？若受影响，将被影响多久？
22. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．

求的度数；

已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

23. 在中，，，，求的长．

如图，在中，，以为直径的交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
当，时，求图中阴影部分的面积．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，此选项计算错误；
B.，此选项错误；
C.，此选项正确；
D.无意义，此选项错误；
故选：．
根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】
解： 为锐角， ，
．
故选 D ．   

3.【答案】

【解析】解：


故选：．
根据实数的运算，即可解答．
本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟记实数的运算．
 

4.【答案】

【解析】解：在中，，，
，
，正确；，故此选项错误；
，正确；，正确．
故选：．
直接利用直角三角形的性质结合特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了直角三角形的性质和特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了等腰直角三角形的判断，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，根据 ，结合特殊角的三角函数值，可得 ，即可求得答案．
【解答】
解： ，
，
是等腰直角三角形．
故选 C ．   

6.【答案】

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
，，
，，
点的坐标为．
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，根据，可求出，再根据勾股定理可求出，由此即可得出点的坐标．
本题考查了解直角三角形以及点的坐标，解题的关键是：求出，的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形通过解直角三角形来找出点的坐标是关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形，仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：过 作 ，则四边形 为矩形，

在 处测得教学楼顶端 的仰角为 ，
，
，
，
，
故选 C ．   

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用有关知识，
根据同角的余角相等得 ，由 ，即可求出 的长度．
【解答】
解： ， ，
，
在 中， ，
，
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】解：在和中，，，，
，，
；
故选：．
在和中，由三角函数得出，，得出即可．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题；由三角函数得出和是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意得，，
，
，
海里，
故选：．
根据题意求出，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的判定定理解答．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，

等腰直角三角形中，，，
，，且
，
，
，
，

，

故选：．
过点作于点，由等腰直角三角形的性质可得，，可得，由题意可得，即可求，的值，由勾股定理可求的长．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，，，
，，
由题意得：
，
，
故选：．
在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
在中，，，
设，，则，
．
故答案为：．
本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角或余角的三角函数关系式求三角函数值．
 

14.【答案】

【解析】解：原式，
，
．
故答案为：．
把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握，，角的三角函数值．
 

15.【答案】

【解析】略
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数定义以及三角形内角和定理 根据锐角三角函数定义求出 ，再根据三角形内角和求解即可．
【解答】
解：在锐角 中，
，
，
，
故答案为： ．   

17.【答案】解：原式．

【解析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：无变化．
理由：设的三边长分别为，，，则，，
的各边长都扩大到原来的倍后，
的对应角为，所以．
所以，，．
即当的各边长都扩大到原来的倍后，的正弦值、余弦值和正切值都不变．

【解析】见答案．
 

19.【答案】解：


；





，
与，构成三角形的三边，
，
为整数，
，或，
，，
当时，原式

．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：作于点，

．
，，
．
在中，．
，
在中，．
．

【解析】作，在中求得、，再在中根据、求得，继而根据可得答案．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．
 

21.【答案】解：作，，
，
，
，
受到影响，
，
，
，
受到影响时间为小时．
答：受到影响，受影响时间为小时．

【解析】作，易求得的长度，根据和的大小可以判断市受影响，受影响时间为台风中心在距离时，求得的长即可解题．
本题考查了勾股定理的运用，考查了考生作出正确图形能力，本题中求得的长是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可得，，
．

作交的延长线于．
，
，
在中，，
，
海监船继续向正东方向航行是安全的．

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
在中，求出、的度数即可解决问题；
作交的延长线于求出的值即可判定．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，如图，
在中，
，，
，，
，
；
在中，
，，
，
．

【解析】过点作，垂足为，如图，在中，由已知条件，，根据含角的直角三角形性质可得，由余弦函数可得，即可算出的长，在中，由勾股定理可得的长度，由即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，根据题意添加辅助线构造直角三角形，应用三角函数及勾股定理进行求解是解决本题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作，垂足为，

，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积扇形的面积的面积


，
阴影部分的面积为．

【解析】连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答；
过点作，垂足为，利用的结论可得，，从而可得是等边三角形，是的中位线，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，从而求出，，的长，进而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形面积的计算，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．