2022年广东省广州市从化区中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省广州市从化区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 截至年月日，由中国空间技术研究院研制的“天问一号”探测器飞行里程已超过公里，将数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮每人投个的情况，投进篮筐的个数为：，，，，，，，这组数据的中位数和极差分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 方程的解为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，在格点上，则正切值是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在▱中，平分，交于点，平分交于点，，，则长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点的横坐标为，则一次函数的图象大致是

A.
B.
C.
D.
 

10. 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
    ，，；
    ，，．
    利用以上规律计算：等于

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 函数中自变量的取值范围是______．
13. 在中，已知、分别为边、的中点，若的周长为，则的周长为______．
14. 若圆锥底面圆的直径和母线长均为，则它的侧面展开图的面积等于______．
15. 已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．
16. 如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，线段上存在一点，当的值取得最小值，且时，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

18. 已知：如图，为上一点，，，．
    求证：．
    
     

19. 已知．
    化简；
    当，求的值．
20. 根据公安部交管局下发的通知，自年月日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：

统计表中的值为______ ；
在这人中男性所占百分率是______ ；
若从年龄在“”的人中随机抽取人参加交通安全知识学习，求恰好抽到一男一女的概率请用列表或画树状图的方法

21. 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店年月的销量为万件，年月的销量为万件．
    求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
    假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则年月“冰墩墩”的销量有没有超过万件？请利用计算说明．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
    
    求过点的反比例函数的解析式；
    连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
23. 已知，如图，在中，，平分．
    按要求尺规作图：作的垂直平分线保留作图痕迹；
    若的垂直平分线与相交于点，以为圆心作圆，使得圆经过两点．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．
24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数，且为常数的图象记为．
    当点在图象上时，求的值．
    当图象的对称轴与直线之间的部分的函数值随增大而减小时直线与对称轴不重合，求的取值范围；
    以点为对称中心，以为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为，直接写出的值．
25. 已知，是的直径，，．
    求弦的长；
    若点是下方上的动点不与点，重合，以为边，作正方形，如图所示，若是的中点，是的中点，求证：线段的长为定值；
    如图，点是动点，且，连接，，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒个单位的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数为．
故选：．
倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用算术平方根的定义结合幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别化简求出答案．
【解答】
解： 、 ，故此选项错误，不合题意；
B 、 ，故此选项错误，不合题意；
C 、 ，故此选项错误，不合题意；
D 、 ，故此选项正确，符合题意；
故选 D ．   

3.【答案】

【解析】解：选项A、、都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：把数据重新排序后为，，，，，，，
中位数为，极差为．
故选：．
此题首先把所给数据重新排序，然后利用中位数和极差定义即可求出结果．
此题主要考查了中位数和极差定义，解题关键是把所给数据重新按照由小到大的顺序排序．
 

6.【答案】

【解析】解：去分母得：，
，
，
经检验是分式方程的解，
原方程的解为．
故选A．
首先去分母，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
本题主要考查了分式方程的解法，基本方法是去分母．
 

7.【答案】

【解析】解：取格点，，连接，如图，
，
，
由勾股定理得：，，
，
故选：．
取格点，，连接，可得，再由勾股定理求得线段、的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．
本题主要考查了解直角三角形．利用网格的特点巧妙构造直角三角形是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线 平行线 等腰三角形”转化线段．
根据平行四边形的性质可得 ，由角平分线可得 ，所以 ，所以 ，同理可得 ，则根据 即可求解．
【解答】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ．
．
平分 ，
．
．
．
同理可得 ．
．
故选： ．   

9.【答案】

【解析】解：由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
的图象在第二、三、四象限，
故选：．
根据二次函数的图象可以判断、、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
 

10.【答案】

【解析】解：由知，
由知，


，
故选：．
从已知可得，为正整数时，，，从而可得答案．
本题考查有理数的运算，解题的关键是读懂题意，从已知中找到规律．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：
解得．
因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以，可求的范围．
此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

13.【答案】

【解析】解：由于是的中位线，
，

故答案为：；
根据中位线的性质即可求出答案．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用中位线的性质，本题属于基础题型．
 

14.【答案】

【解析】解：圆锥底面圆的直径为，
圆锥底面圆的周长为，
则圆锥展开后所得扇形的弧长为，
它的侧面展开图的面积，
故答案为：．
求出圆锥底面圆的周长，根据扇形的面积公式计算．
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：二次函数的顶点为，
该函数图象开口向下，与轴有两个交点，当时，，
一元二次方程有两个相等的实数根，
一元二次方程有两个相等的实数根，
，
故答案为：．
根据二次函数的顶点为，可知当时，，当时，的都有两个值，再根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，从而可以得到的值．
本题考查抛物线与轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数和一元二次方程的关系解答．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，
当点，，，共线时，值最小，
此时，如图，连接，

则垂直平分，
，，
，
，，，
，此时与重合，设，则，
，
，
，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到，连接，可知是等边三角形，得，当点，，，共线时，值最小，再利用含角的直角三角形的性质求出的长即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，将转化为是解题的关键．
 

17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式解集表示在数轴如下：

则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，，
≌，
．

【解析】由、平行，可知，再根据已知条件，即可得到≌，即得结论．
本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单．
 

19.【答案】解：

；
，
则原式．

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简；
根据二次根式的乘法法则求出，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
在这人中男性所占百分率是：，
故答案为：；
年龄在“”的人中有名男性，名女性，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，
恰好抽到一男一女的概率为．
先根据表格中的数据可得统计表中的值，再根据表格数据可得在这人中男性的人数即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设月平均增长率为，
根据题意，得，
解得， 不合题意，舍去．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．

假设保持相同的月平均增长率，那么年月“冰墩墩”的销量为：万件．
答：年月“冰墩墩”的销量为万件．

【解析】设月平均增长率为，利用年月的销量年月的销量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
利用年月的销量年月的销量月平均增长率，即可求出年月“冰墩墩”的销量．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
 

22.【答案】解：过点作轴，过作轴，垂足分别为，，如图，

，
，，

四边形是菱形，
，轴，
，
，
．
过点的反比例函数解析式为，
把点坐标代入得，，
所以，反比例函数解析式为；
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得，，
，
．
设所在直线解析式为，
把，分别代入，
得：
解得，
直线的解析式为．

【解析】由的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
证明，利用相似三角形的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图：

分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、，作直线，
则直线即为的垂直平分线；
如图：

平分，
，
在的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
过作于，如图：

平分，，，
，
在中，
，
设的半径为，则，
，
在中，，
，
解得，
的半径为．

【解析】根据尺规作图--垂直平分线作法即可作出的垂直平分线；
由可知，只需证明即可，而根据平分，在垂直平分线上即可得证；
过作于，求出，，在中，用勾股定理列方程可求的半径．
本题考查圆的综合应用，涉及尺规作图，勾股定理的应用，线段垂直平分线及角平分线性质等知识，解题的关键是掌握作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

24.【答案】解：点在图象上，
，即，
解得：，，
的值为；
抛物线的对称轴是直线，
当时，抛物线开口向上，
当时，直线与直线之间的部分的函数值随增大而减小，
；
当时，抛物线开口向下，
直线与直线之间的部分的函数值随增大而减小，
，
时，直线与直线之间的部分的函数值随增大而减小；
综上，当或时，直线与直线之间的部分的函数值随增大而减小；

取正方形四个顶点分别为，

B、的纵坐标为：，
C、的纵坐标为：，
与正方形某边有两个交点，只可能与或相交出两个交点，
当时，、的纵坐标为：，可得：
，
整理得：，
设方程的两根为、，则，，
两个交点之间的距离为，
，
，
解得：，
当与边相交时，、边纵坐标为，
，且，
无解，
当时，、纵坐标为，
，且，
解得：，
当与边相交时，、纵坐标为，
，且，
无解，
综上所述，或．

【解析】把原点代入即可求解；
分和两种情况讨论，根据抛物的对称轴以及二次函数的性质即可求解；
如图，与正方形某边有两个交点，只可能与或相交处两个交点，分和两种情况讨论，根据一元二次方程的根与系数的关系求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、根与系数的关系、正方形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数的图象和性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
连接、、、，如图：

是等腰直角三角形，四边形是正方形，
，，
，
又，
≌，
，


，
而是的直径，
，
，
，
、、共线，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
是的中点，
，即是直角三角形，
是的中点，
，即为定值；
以为圆心，为半径作圆，在上取点，使，连接，过作于，连接交于，如图：

一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒个单位的速度沿线段匀速运动到点，
运动时间，
，，，
，
又，
∽，
，
，
最小，即是最小，
此时、、共线，即与重合，最小值即是的长度，
在中，，，
，
，
，
中，，
点的运动时间的最小值为．

【解析】是的直径，可得到是等腰直角三角形，从而得道答案；
连接、、、，首先利用≌，，证明、、共线，再证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；
“阿氏圆”的应用问题，以为圆心，为半径作圆，在上取点，使，连接，过作于，连接交于，先证明，最小，即是最小，此时、、共线，再计算的长度即可．
本题考查圆、等腰直角三角形、正方形等综合知识，解题的关键是构造∽，把求最小的问题转化为求的长度．