2022年四川省成都市中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2022年四川省成都市中考数学模拟试卷（二）

一．选择题（本题共8小题，共32分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为，将粒芝麻的质量用科学记数法表示约为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的正五棱柱的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 一个不透明的袋子中装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出个球，则下列叙述正确的是

A. 摸到黑球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件
C. 到黑球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到黑球比摸到白球的可能性大

6. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是

A.
B.
C.
D.
 

7. 把直线向上平移个单位后所得直线的表达式为

A.  B.  C.  D.

8. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是

A. 图象经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 当时，随的增大而减小 D. 两个分支关于原点成轴对称

二．填空题（本题共10小题，共40分）

9. 分解因式______．
10. 如图，在中，，是的高，若，，则______．
    
    
    
    
     

11. 若关于的分式方程的解为，则的值为______．
12. 如图，是的直径，点在延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数等于______．

13. 如图，在直角三角形中，，为斜边上一点，，，且四边形是正方形，则图中阴影部分面积的和是______．
     

14. 已知，，那么的值是______．
15. 定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”，一次函数叫做二次函数的“本源函数”为常数，且若一次函数的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．
16. 如图，在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形面积如果不小于，则称为“离心三角形”，而如果面积恰好等于，则称为“环绕三角形”，是网格图形中已知的两个格点，点是另一格点，且满足是“离心三角形”，则是“环绕三角形”的概率是______．
17. 如图所示，圆内接四边形中，对角线是直径，，，，，则______．

18. 直线常数和双曲线的图象有且只有一个交点，一次函数与轴交于点，点是线段上的动点，点在反比例函数图象上，且满足设与线段的交点为，若，则的值为______．

三．解答题（本题共8小题，共78分）

19. 解不等式组；
    解方程组：．
20. 为了了解同学们寒假期间每天健身的时间分，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知组所在扇形的圆心角为．

请根据如图图表，解答下列问题：
填空：这次被调查的同学共有______人，______，______，______；
求扇形统计图中扇形的圆心角度数；
该校共有学生人，请估计每天健身时间不少于小时的人数．

21. 如图，某同学站在土坡处观测教学楼的顶部的仰角为：，土坡坡角，，求教学楼的高度精确到，参考数据：，，，，，

22. 如图，是直径，，连接，过点作射线的垂线，垂足为点，交的延长线于点．
    求证：；
    若，求的长．

23. 如图，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点，反比例函数经过点和点，．
    求反比例函数和直线的解析式；
    点为轴上一动点，且为钝角，求点的纵坐标的取值范围；
    点在直线上且在第二象限反比例函数图象的上方运动，过点作轴，轴的垂线分别交反比例函数的图象于点，，直线分别交轴，轴于点，，设点的横坐标为，求的值．

24. 某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进台空调和台电风扇，
    需要资金元，若购进台空调哈台电风扇，需要资金元．
    求空调和电风扇的采购价各是多少元？
    该老板计划购进这两种电器共台，而可用于购买这两种电器的资金不超过元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利元，销售一台这样的电风扇可获利元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于元，试问老板有哪几种进货方案？
    在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？
25. 如图所示，直线与轴、轴分别相交于点，点，点在经过点，的二次函数的图象上．
    求抛物线的解析式；
    点为线段上不与端点重合的一动点，过点作轴交抛物线于点，求取得最大值时点的坐标；
    如图，连接并延长，交轴于点，为第三象限抛物线上一点，连接，点为轴上一点，且，直线与交于点，点在线段上，且，连接交于点，已知，求点的坐标．

26. 如图，已知四边形是正方形，点为边上一点不与端点重合，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，延长交于点，连接，求证：≌；
    如图，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，，如果，，，求的长；
    如图，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上时顶点除外，如果，请直接写出此时的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
故的相反数是：．
故选：．
直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线，两侧有分别有一条纵向的实线．
故选：．
主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据正五棱柱的特点作答．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】

【解析】解：、，本选项错误；
B、，本选项正确；
C、，本选项错误；
D、，本选项错误，
故选：．
A、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
B、先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式除单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
C、先计算除法运算，再计算乘法运算得到结果，即可作出判断；
D、利用平方根的定义化简得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的除法，完全平方公式，分式的乘除法，以及二次根式的化简，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：不透明的袋子中装有个黑球，个白球，共个球，
摸到黑球的概率是，摸到白球的概率是，
摸到黑球的可能性比白球大；
故选：．
先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到黑球和白球的概率，然后进行比较即可得出答案．
此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】

【解析】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故D选项正确，
，故C选项正确，
，故B选项正确，
，，而与大小关系不确定，
与大小关系不确定，故A选项错误，
故选：．
根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题主要考查了尺规作图中作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
 

7.【答案】

【解析】解：，
将直线沿着轴向上平移个单位所得直线的解析式为，
故选：．
根据平移的规律可直接求得答案．
本题主要考查函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
 

8.【答案】

【解析】解：、当时，，即图象经过点，不过点，故说法不正确；
B、，则反比例函数的图象两个分支分布在第一、三象限，故说法不正确；
C、在每一象限内，随着的增大而减小，故说法正确．
D、反比例函数的的图象由两条曲线组成，且关于原点对称，故说法不正确；
故选：．
根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再运用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止．
 

10.【答案】

【解析】解：是的高，，，
，
，，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：．
根据等腰三角形三线合一，可得，根据勾股定理，即可求出．
本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：关于的分式方程的解为，
，
，
，
检验：当时，，符合题意．
故答案为：．
将代入方程即可．
本题考查分式方程的解，将解代入方程得到的方程是求解本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：连接，如图，

与相切于点，
．
，
．
．
故答案为：．
连接，利用切线的性质定理和圆周角定理解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，圆周角定理，三角形的内角和定理，连接是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：过点作交于．
，
．
，，
≌．
．
阴影部分面积的和．
过点作交于通过证明≌，得出，从而求得，即阴影部分面积的和．
通过作辅助线将组合图形的面积转化为求的面积．
14.【答案】

【解析】解：原式，
由题意可得：
，
，
原式，
故答案为：．
先将原式提取公因式变形，然后利用平方差公式和二次根式的加减法运算法则计算和的值，最后利用整体思想代入计算．
本题考查二次根式的混合运算，掌握提取公因式的技巧以及平方差公式的结构，利用整体思想解题是关键．
 

15.【答案】

【解析】解：的“滋生函数”是，
，即，
解得，
的“本源函数”是，
故答案为：．
根据“滋生函数”的定义可得，从而可得关于，的二元一次方程组，求出，的值，进而求解．
本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”与“本源函数”的关系，找出等量关系．
 

16.【答案】

【解析】解：满足是“离心三角形”的点有个，
而是“环绕三角形”的点有，
所以是“环绕三角形”的概率．
故答案为．
利用三角形面积公式，的面积不小于的点有个，而为的点有个，然后根据概率公式可计算出是“环绕三角形”的概率．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件所占有的结果数除以与总的等可能的结果数．也考查了三角形面积公式．
 

17.【答案】或

【解析】解：延长交于点，连接，如图所示：

，，
直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
解得：或．
故答案为：或．
延长交于点，连接，求出垂直平分，根据全等三角形的判定可得出≌，求出，求出，根据圆周角定理求出，再根据相似三角形的判定得∽，从而可求的值．
本题主要考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关的性质是解答的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：由消去得到，，
直线常数和双曲线的图象有且只有一个交点，
，即，
，
解方程组得到，，
，
令，得．
解得，
，
过点作于交于，设交于．

由题意，，，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，，，
，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：，
，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，
．
故答案为：．
先求出、点坐标，过点作于交于，利用全等三角形的性质证明，，即可得，再证明∽，求得，解便可得出结果．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

19.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
此不等式组无解；
解法一：，得，
，得，
把代入，得，
此方程组的解：；
解法二：由，得，
把代入，得．
解得，
把代入，得，
此方程组的解：；

【解析】求不等式组中每个不等式的解集，利用同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，求出解集；
根据代入法解二元一次方程组的一般步骤和加减法解二元一次方程组的一般步骤解方程组．
本题考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，掌握求不等式组的步骤、代入法解二元一次方程组的一般步骤和加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：人，，因此，
组所在扇形的圆心角为，
组的人数人，
人，
故答案为：，，，；
扇形统计图中扇形的圆心角度数为，
答：扇形统计图中扇形的圆心角度数为；
每天健身时间不少于  小时的人数是人，
答：该校名学生中每天健身时间不少于小时的大约有人．
组的频数为，占总体的，可求出调查人数，再根据组频数为，可求出组所占的圆心角的度数，确定的值，根据组所在扇形的圆心角为，
求出组所占的百分比，进而求出组的人数，最后求出组人数；
求出组所占的百分比，即可求出所在的圆心角的度数；
从频数统计表中可知每天健身时间不少于  小时的人数占调查人数的，因此估计总体人的是每天健身时间不少于  小时的人数．
考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，作，垂足为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
，
答：教学楼的高度约为．

【解析】在中，根据锐角三角函数可求出、，进而求出，即，在中，根据锐角三角函数可求出，进而求出答案．
本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的意义是正确解答的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
是直径，，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
又，
；
解：，，
，
，
，
，
．

【解析】连接，证明，再根据三线合一即可证明；
先求出，由的正切求出，从而得到的值，在中即可求出答案．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系等圆的有关知识和三角函数，第问解题的关键是求出的长．
 

23.【答案】解：如图，过点作轴于点，连结，
点坐标为，
，
，
，
根据勾股定理得：，
，
点在反比例函数上，
，
反比例函数的解析式为，
在上，
，
，
，
点，点在的图象上，
，
解得：，
直线的解析式为：；
如图，连结，，
令时，，
直线与轴的交点坐标为，
当时，，
，
化简得：，
解得：，，
当时，，，三点共线，此时无法为钝角，
，
当且时，构成的为钝角；
点在直线上且在第二象限反比例函数图象的上方运动，
点在点上方，
令，，
，且，
轴，轴，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
点在反比例函数的图象上，
令得：，
，
点在反比例函数的图象上，
令，解得，
，
设直线的解析式为，
将，点的坐标代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
当时，，
，，
原式

．

【解析】过点作轴于点，连结，构造直角三角形求出点的坐标，代入反比例函数的解析式即可得到的值，进而求出点坐标，根据待定系数法求直线的解析式即可；
求为直角时的值即可得到为钝角时点的纵坐标的取值范围；
求出点的坐标，进而得到，点的坐标，利用待定系数法求出的函数解析式，求出点，的坐标，得到，，代入代数式化简即可得出答案．
本题考查了反比例函数的综合题，利用构造直角三角形来确定形成钝角的临界条件是解题的关键．
 

24.【答案】解：设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为元和元
依题意，得，
解得
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为元和元；

设该业主计划购进空调台，则购进电风扇台，
依题意得：，
解得：，
为整数，
为，，，
故有三种进货方案，分别是：
方案一：购进空调台，电风扇台；
方案二：购进空调台，电风扇台；
方案三：购进空调台，电风扇台．

设这两种电器销售完后，所获得的利润为，
则，
由于随的增大而增大．
故当时，有最大值，，
即选择第种进货方案获利最大，最大利润为元．

【解析】设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为元和元，根据购进台空调和台电风扇，需要资金元，若购进台空调和台电风扇，需要资金元可以列出方程组，解方程组即可求出结果；
设该业主计划购进空调台，则购进电风扇台，根据购买这两种电器的资金不超过元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利元，销售一台这样的电风扇可获利元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于元可以列出不等式组，解不等式组即可求出哪几种进货方案．
设这两种电器销售完后，所获得的利润为，则根据已知条件可以列出与的函数关系式，利用函数的性质和的结果即可求出哪种方案获利最大，最大利润是多少．
此题分别考查了二元一次方程组、不等式组、一次函数的性质等知识，综合性比较强，能力要求比较高，平时要求学生多注意这些烦恼的训练．
 

25.【答案】解：由题意得：，，
，
，
；
如图，

作于，
设，，
，
，
∽，
，
，
，
，
当，
，
；
如图，

作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
，，
直线的解析式为：，
由得，，
，
．

【解析】求得、两点坐标，将、、三点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果；
作于，设出点和点坐标，表示出的长，由∽表示出，从而表示出，进而根据二次函数性质求得结果；
作于，作于，根据条件推出平分，根据，求得长，进而得出直线，的解析式，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数解析式和二次函数解析式，二次函数图象及其性质，角平分线性质，面积法相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是发现特殊性，寻找角之间数量关系．
 

26.【答案】证明：由对称可知，，
，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌．

解：如图，延长交于点，

由对称可知，点是的中点，，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
点是的中点，
，
，
由得，，，
∽，
，
，
，
，
是的中位线，
；

解：以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，

如图，当点在上时，延长交于点，
，，
是的垂直平分线，
，
四边形为菱形，
，
，

四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；

如图，当点在上时，延长交于点，则，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
≌，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
综上所述，的长为或．

【解析】由对称可知，结合得到，由正方形的性质得到、，从而证明≌；
延长交于点，由对称可知点是的中点、，由可得，可得到，从而有是的中位线，得到点是的中点，从而求得，再由勾股定理求得的长；由得，得到∽，进而借助相似三角形的性质求得的长，然后由中位线的性质求得的长；
以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，然后分点在上和点在上讨论，延长交于点，然后借助的思路求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型．