2021-2022学年青海省海西州德令哈市民族学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年青海省海西州德令哈市民族学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 要使得式子有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列根式中属最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 在▱中，已知，，则它的周长是

A.  B.  C.  D.

4. 矩形，菱形，正方形都具有的性质是

A. 每一条对角线平分一组对角 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 有六根细木棒，它们的长度分别是，，，，，单位：，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7. 不能判定四边形为平行四边形的条件是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点有下列个结论：其中说法正确的有
   ；
   ；
   ；
   ，

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共12小题，共24分）

9. 比较大小： ______填“”、“”、“”．
10. 若实数，满足，则______，______．
11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则 ______ ， ______ ．
12. 命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是______ ，逆命题是______ 命题填“真”或“假”．
13. 如图，平行四边形中，，分别为，边上的一点．若再增加一个条件______ ，就可得．
14. 实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______．
15. 一个周长为的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为______．
16. 将一矩形纸条，按如图所示折叠，则______度．
    
     

17. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为______．
18. 如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则点的坐标为______．
     

19. 如图，有一个长为，宽为，高为的长方体木箱，一根长的木棍______放入填“能”或“不能”．
     

20. 观察下列各式：请你将发现的规律用含自然数的代数式表达出来______．

三、解答题（本大题共7小题，共72分）

21. 计算：
    ；
    ．
22. 正方形的边长为，它的面积与长为、宽为的长方形的面积相等，求的值．
23. 如图，、是平行四边形的对角线上的两点，求证：四边形是平行四边形．
24. 如图，已知，，，，，求图中阴影部分的面积．

25. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且．
    求菱形的周长；
    若，求的长．
     

26. 已知点，，，分别是正方形各边上的中点，四边形是什么四边形？请说明理由．
    
    
     

27. 以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和，连接、，交点为．
    
    当四边形为正方形时如图，和的数量关系是______；
    当四边形为矩形时如图，和具有怎样的数量关系？请加以证明；
    四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图中求出的度数．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据题意，得
，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于，列不等式求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：当代数式是整式时，字母可取全体实数；当代数式是分式时，分式的分母不能为；当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

2.【答案】

【解析】解：、是最简二次根式；
B、，可化简；
C、，可化简；
D、，可化简；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则不是．
最简二次根式是本节的一个重要概念，也是中考的常考点．最简二次根式应该是：根式里没分母或小数，分母里没根式．被开方数中不含开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
 

3.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
它的周长为：，
故选：．
根据平行四边形的性质可得，，进而可得周长．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等．角：平行四边形的对角相等．对角线：平行四边形的对角线互相平分．
 

4.【答案】

【解析】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选C．
矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．
本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解．
 

5.【答案】

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由勾股定理的逆定理分析得，只有中有，故选C．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
本题考查了直角三角形的判定．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的判定，需注意一组对边相等，另一组对边相互平行的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．根据平行四边形的判定定理进行判断．
【解答】
解： “ ， ”是四边形 的一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可以是等腰梯形，不可以判定四边形 是平行四边形．故本选项符合题意；
B. 根据“ ， ”可以判定 ，由“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形 为平行四边形．故本选项不符合题意；
C. “ ， ”是四边形 的一组对边平行且相等，可以判定四边形 是平行四边形．故本选项不符合题意；
D. “ ， ”是四边形 的两组对角相等，可以判定四边形 是平行四边形；故本选项不合题意；
故选 A ．   

8.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，，，
，
，
点为中点，
，故正确；
、、分别是、、的中点，
，，
，，
，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
即，故正确；
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
故选：．
由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得；由三角形中位线定理可证得，进而可得，证出得得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
又，
．
故答案为：．
先把化成，再进行比较即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，把化成是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，，
故答案为：，．
根据非负数的性质分别求出、即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
 

11.【答案】；

【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，解得．
根据同类二次根式的概念列出方程组求解即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

12.【答案】两个角相等三角形是等腰三角形；真

【解析】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．
故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形，真．
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假．
本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
 

13.【答案】或

【解析】解：，
四边形为平行四边形
故答案为：，即为要增加的条件，任选一个．
要使，需使四边形为平行四边形，已有，再加，或都可使其为平行四边形．
主要考查平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
 

14.【答案】

【解析】解：，，，
原式

．
故答案为：．
由数轴可得到，，，根据和绝对值的性质即可得到答案．
本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了绝对值的性质．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，点、分别是、的中点
．
同理可得：

，，
．
则三条中位线构成的三角形的周长为．
故答案为：．
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．即可求得结果．
本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
 

16.【答案】

【解析】解：该纸条是折叠的，
的同位角的补角；
矩形的上下对边是平行的，
的同位角．
根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质．
 

17.【答案】

【解析】解：如图：，．
四边形是矩形，，是对角线．
．
在中，，．
，．
故答案为：．
根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．
矩形的两对角线所夹的角为，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可．
 

18.【答案】或或

【解析】解：四边形为矩形，，，
，，
点是的中点，
，
若点是等腰顶角顶点时，点就是以点为圆心，以为半径的弧与的交点，
在中，，
则的坐标是．
若是等腰顶角顶点时，点就是以点为圆心，以为半径的弧与的交点，
过作于点，
在中，，
当在的左边时，，则的坐标是；
当在的右侧时，，则的坐标是．
综上所述，的坐标为：或或．
故答案为：或或．
分两种情况：若点是等腰顶角顶点时，由勾股定理求出求出，若是等腰顶角顶点时，由勾股定理求出；分别得出在的左边和在的右侧时点的坐标即可．
此题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
 

19.【答案】能

【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是，
根据题意，得，
，
因为，所以能放进去．
故答案是：能．
在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．
本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．
 

20.【答案】

【解析】解：；
    ；
．
故答案为：．
观察分析可得：；；则将此题规律用含自然数的等式表示出来
本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到．
 

21.【答案】解：

；



．

【解析】先算除法，负整数指数幂，再算加减，即可解答．
先算乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：长方形的面积，
正方形的面积为，
，
．

【解析】长方形的面积为，正方形的面积为，故，即可求．
本题考查了算术平方根，关键是根据题意列出．
 

23.【答案】证明：连接，交于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．

【解析】首先连接，交于点，由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得，，又由，可得，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

24.【答案】解：在中，，，，
，
取正值．
在中，，，
，
为直角三角形；


．
故图中阴影部分的面积是．

【解析】先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明为直角三角形；根据，利用三角形的面积公式计算即可求解．
本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形．
 

25.【答案】解：四边形是菱形，，
菱形的周长；
四边形是菱形，，
，，
，
 

【解析】由菱形的四边相等即可求出其周长；
利用勾股定理可求出的长，进而解答即可．
本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出的长是解题关键．
 

26.【答案】解：四边形是正方形，理由如下：
连接、，如图所示：

四边形是正方形，
，，
点，，，分别是正方形各边上的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
，，
，
四边形是菱形，
又，
，
四边形正方形．

【解析】本题考查了正方形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握正方形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
由三角形中位线定理和正方形的性质得出，，即可得出四边形正方形．
 

27.【答案】解：
．

证：为等边三角形
，
为等边三角形，
，
，
即
≌
；
解：

同易证：≌，
，
设为，则也为
于是有为，为，


．

【解析】，
理由如下：

四边形为正方形，
，
以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
．

证：为等边三角形
，
为等边三角形，
，
，
即
≌
；
解：

同易证：≌，
，
设为，则也为
于是有为，为，


．
，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明≌，由全等三角形的性质即可得到；
当四边形为矩形时，和仍旧相等，证明的思路同；
四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，不发生变化，是一定值，为．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．