数学人教A版 (2019)2.2 基本不等式精品ppt课件

课题名

基本不等式

课型

新授课

教学目标

1.从重要不等式入手，通过替代得到基本不等式；达到数据分析核心素养一级达标水平；

2.能证明基本不等式；达到逻辑推理核心素养二级达标水平；

3.能运用基本不等式证明有关不等式和求一些函数式的最值，.

教学重难点

重点：基本不等式

难点：运用基本不等式证明不等式和求函数式最值

为了突破难点，在素养篇特意安排问题1和问题3:

1.已知x，y都是正数，求证：

  (１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２√P；

  (２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值1/4S2．

3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？

在思维篇特意安排问题2

2. (1) 已知x>0，则y=x2+3x+4/x的最小值为            ；

   (2) 已知x>1，则y=x+1/x−1的最小值为            ；

   (3) 已知0<x<1，则y=x(3-2x)的最大值为            .

教学环节

教学过程

课堂导入

在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式：  a2+b2≥2ab      ①

不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立.

课

程

学

习

一、概念形成

1.重要不等式

a2+b2≥2ab  (a、b ∈R，当a=b时取等号)

练习：

1.求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca    (a、b、c ∈R) 

2.基本不等式

√ab≤a+b/2 (当a=b时取等号)    . 

其中，a+b/2叫做正数a，b的算术平均数，

            √ab叫做正数a，b的几何平均数．

基本不等式表明：

    两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数  

如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=       , 半径为       .

练习：

2.设a>0，b>0，证明下列不等式：

(1) (a+1/a)(b+1/b)≥4

(2) (a+b)(1/a+1/b)≥4

3.已知x>0，求 x + 1/x 的最小值.

    前提条件：

       在问题“已知x>0，求 x + 1/x 的最小值”的解决过程中不难发现：最小值是一个常数2，并且只能在x=1时取到. 换一句话说：如果x<0,或x>2等等，x + 1/x 的最小值就不是2或者不存在.

由此我们归纳，依a+b≥2√ab  求两个数和或积的最值，

必须要满足条件：(1)                      ；

                      (2)                      ；                           

                      (3)                       . 

练习：

4 .试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.

二、核心素养提升：

问题1.

1.已知x，y都是正数，求证：

   (１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２√P；

   (２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值1/4S2．

. 

问题2.

   2.已知a，b都是正数，求证：

   (１)   2/1/a+1/b≤√ab；              

(２)a+b/2≤√a^2+b^2/2．

问题3.

    3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？

三、思想方法训练

1.转化与化归 

问题1.已知a，b，c都是正数，求证：

        (１)  (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc；

        (２)   (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9．

问题2.(1) 已知x>0，则y=x2+3x+4/x的最小值为            ；

      (2) 已知x>1，则y=x+1/x−1的最小值为            ；

      (3) 已知0<x<1，则y=x(3-2x)的最大值为            .

2.极端思想 

问题3.已知a>0，b>0，若不等式4/a+1/b≥m/a+4b恒成立，求m的

          最大值.

3．分类讨论+逆向思维

问题4.已知a+b=2，b>0，求1/2|a|+|a|/b的最小值.

课堂

小结

一、本节课新知识回顾（由师生共同完成）

二、本节课核心素养方法回顾

三、本节课用到的数学思想方法回顾

板书设计

教学反思