2022年江苏省连云港市灌云县中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省连云港市灌云县中考数学一模试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 用科学记数法表示，正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 一组数据，，，，这组数据的中位数是
B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C. 小明的三次数学成绩是分，分，分，则小明这三次成绩的平均数是分
D. 某日最高气温是，最低气温是，则该日气温的极差是

5. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 不存在

6. 如图，的内接四边形中，，则

A.
B.
C.
D.

7. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点在以为圆心，为半径的上，是的中点，已知长的最大值为，则的值为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 的平方根是______．
10. 使分式有意义的的取值范围是______．
11. 因式分解：______．
12. 若，则______．
13. 已知关于的方程的一个根是，则的值为______．
14. 已知圆锥的底面圆半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______．
15. 将二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为______．
16. 如图，以面积为的的斜边为直径作，的平分线交于点，若，则______．
    
    
    
     

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：．

四．解答题（本题共9小题，共92分）

18. 解不等式组：．
19. 解方程：．
20. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到组体温检测、组便民代购、组环境消杀．
    小红的爸爸被分到组的概率是______；
    某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程
21. 为了解学生对于垃圾分类知识的掌握情况，某校组织了一次竞赛测试．为进一步了解竞赛测试的情况，从中抽取部分学生的成绩，并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“”这组的数据如下：，，，，，，，，，．
    竞赛成绩分组统计表

请根据以上信息，解答下列问题：
______，______；
“”这组数据的众数是______分，中位数是______分；
若学生竞赛成绩达到分以上不含分获奖，请你估计全校名学生中获奖的人数．

22. 如图，在四边形中，，，延长到，使，连接，．
    求证：是等腰直角三角形；
    若，求四边形的面积．
23. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为米，与地面垂直的路灯的高度是米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是试求大楼的高度．
    参考数据：，，，，，

24. 我市某工厂设计了一款成本为元件的工艺品，现投放市场进行试销，其每天的销售量件与销售单价元件之间满足的函数关系如图所示．
    求与之间的函数关系式；
    当该工艺品的销售单价定为多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？
    根据工厂的实际，每天销售该工艺品的利润不得低于元，请结合二次函数的大致图象，求出该工艺品销售单价的范围．
25. 如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
    
    
     

26. 已知：抛物线经过，，三点．
    求抛物线的解析式；
    如图，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值；
    如图，是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为在图中探究：是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是。
故选：。
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案。
此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义。
 

2.【答案】

【解析】解：，原计算正确，故此选项符合题意；
B.，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，合并同类项法则逐一判断即可．
本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式以及积的乘方，熟记相关运算法则和公式是解答本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：、一组数据，，，，这组数据的中位数是，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是分，分，分，则小明这三次成绩的平均数是分，故此选项错误；
D、某日最高气温是，最低气温是，该日气温的极差是，故此选项错误；
故选：．
直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：该几何体的三视图如下：

三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，
故选：．
根据该几何体的三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．
 

6.【答案】

【解析】解：的内接四边形，，
，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理得出答案．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是正确解答的前提．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意得：，
，
，，，
，
，
故选：．
直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；正确列出比例式是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，

由对称性得：，
是的中点，
，
长的最大值为，
长的最大值为，
如图，当过圆心时，最长，过作轴于，
，
，
在直线上，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
舍或，
，
点在反比例函数的图象上，
；
故选：．
作辅助线，先确定长的最大时，点的位置，当过圆心时，最长，设，则，，根据勾股定理计算的值，可得的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．
 

9.【答案】

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
直接根据平方根的定义即可求解．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

10.【答案】

【解析】解：分式有意义，则，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．
 

11.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】

【解析】解：由，得，
．
故答案为：．
由，得，代入所求的式子化简即可．
解题关键是用到了整体代入的思想．
 

13.【答案】或

【解析】解：方程的一个根是，
，
解得：或．
故答案为：或．
将已知的根代入原方程，即可求得的值．
本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．求出圆锥的底面圆的周长，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】
解： 圆锥的底面圆半径是 ，
圆锥的底面圆的周长 ，
则圆锥的侧面积 ．
故答案为 ．   

15.【答案】

【解析】解：，
将二次函数的图象向左平移个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为，即．
故答案为．
根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，连接、，过点作于点，过点作于点，则，，，
由设，，
，，
，
，
，
，平分，
，
，，
，
，
，，
，
，
，，，
，，
，，
，
故答案为：．
连接、，过点作于点，过点作于点，则，，先由设，，进而得到，，然后结合勾股定理求得，从而得到，然后由和平分得到，进而得到，，再得到，从而有，得到，然后由的面积为求得的值，从而得到、、的长，然后由勾股定理求得和的长，最后求得的值．
本题考查了垂径定理、勾股定理、角平分线的定义、含角的直角三角形三边关系，解题的关键是准确作出辅助线构造直角三角形，然后通过三角形的三边关系得到含角的直角三角形．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得，
，
，
解不等式，得，
，
，
所以不等式组的解集是．

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】解：方程两边同乘，得
，
整理得，
解得．
检验：当时，，
所以是增根，应舍去．
原方程无解．

【解析】观察可得方程最简公分母为：，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
 

20.【答案】

【解析】解：共有种可能出现的结果，被分到“组”的有种，
因此被分到“组”的概率为；
故答案为；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有种，
．
共有种可能出现的结果，被分到“组”的有种，即可求出概率．
用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．
 

21.【答案】     

【解析】解：名，
名，
因此，名，
因此，
故答案为：，；

“”这组的数据中出现最多的是，
“”这组数据的众数是分，
“”这组数据的中位数是分，
故答案为：，；

名，
答：估计全校名学生中获奖的人数有名．
根据第组的频数和百分比求出抽取的总数，总数乘以第组的百分比即可得的值，总数减去其他组的频数即可得的值；
根据众数、中位数的意义即可求解；
求出学生竞赛成绩达到分以上学生所占的百分比，即可估计总体中学生竞赛成绩达到分以上学生所占的百分比，进而求出人数．
本题考查扇形统计图、众数、中位数以及样本估计总体，掌握中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
 

22.【答案】证明：在四边形中，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
解：≌，
，
是等腰直角三角形．，
，
四边形的面积

【解析】根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义得，利用证明≌，可得，，可得，即可得出结论．
由≌得，可得四边形的面积．
本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：延长交延长线于，过作于，如图所示：
则四边形是矩形，
，，
在中，，
，，
米，米，
米，
在中，，
，
米，
米，
答：大楼的高度约为米．

【解析】延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，由锐角三角函数定义求出、的长，得出的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意，设，
将，代入，
得：，
解得：，
故；
设工厂每天获得的利润记为，根据题意，
有，

，
当时，取得最大值，最大值为；
答：该工艺品的销售单价定为元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是元．
该二次函数的大致图象如下图所示：

在中，当时，即，
解得：，，
由函数图象可知，当该工艺品销售单价时，每天销售该工艺品的利润不低于元．

【解析】利用待定系数法将，代入可得函数关系式；
根据利润单件利润销售量，列出函数关系式并配方可得最值；
画出函数的大致图象，当时或，知时，．
本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意找到相等关系并列出函数关系式是解题关键．
 

25.【答案】解：是的直径，
，
即，
，，
，，
又，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
由可设，则，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得舍去，，
．

【解析】根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及等量代换得出，即，也就是，进而得出结论；
根据锐角三角函数设，表示、、，在中有勾股定理列方程求解即可．
本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是解决问题的前提．
 

26.【答案】解：抛物线经过，，三点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
如下图，过点作轴交直线于点，

∽，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
设点，则，
，
，
当时，取得最大值为，此时点的坐标为；
存在；
由折叠知，，，
故当时，四边形是菱形，
设，则，
，
，
即，
解得或，
综上所述，点的坐标为或．

【解析】用待定系数法求出解析式即可；
过点作轴交直线于点，得到∽，根据线段比例关系得出，求出直线的解析式，设出，的坐标，根据得出的关系式，根据二次函数的性质求最值，确定点的坐标即可；
由折叠可知，，故当时，四边形是菱形，设出点和点的坐标，根据列方程求解，进而得出点的坐标即可．
本题主要考查二次函数，相似三角形，二次函数的最值，折叠，菱形等知识，熟练掌握用待定系数法求解析式，做辅助线构造相似三角形，用配方法求二次函数的最值，菱形的判定等是解题的关键．