2021-2022学年甘肃省定西市岷县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年甘肃省定西市岷县八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子中，属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

5. 一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为

A.   B.   C.   D.  

6. 如图，带阴影的长方形面积是

A.  B.  C.  D.

7. 有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是     

A.
B.
C.
D.

9. 若，则

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在顶点处，已知，，则折痕的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 若是整数，则正整数的最小值为______．
12. 比较大小：______填“”“”“”．
13. 计算： ______ ．
14. 若，则 ______ ．
15. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则 ______ ．
     

16. 若直角三角形的两直角边长为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，以长为半径画弧，交正半轴于点，则点的坐标为________．
    
    
    
     

18. 如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______容器厚度忽略不计．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在中，，，求点到的距离．
     

22. 如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接．

求证：；

若，求的长．

23. 如图，在边长为的正方形中，是边的中点，将沿对折至，延长交边于点，连接．
    求证：≌；
    求的长．
    
     

24. 如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
    求证：；
    若，，求的长．
25. 阅读材料：
    小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：
    设其中、、、均为整数，则有．
    ，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
    请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
    当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：_____，____；
    利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：____________________；
    若，且、、均为正整数，求的值？
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据二次根式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故A错误；
B、是最简二次根式，故B正确；
C、，不是最简二次根式，故C错误；
D、，不是最简二次根式，故D错误；
故选：．
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数或因式的指数都小于根指数，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】

【解析】解：、，运算正确，故本选项正确；
B、，原式计算错误，故本选项错误；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，原式计算错误，故本选项错误；
故选A．
根据二次根式的化简，二次根式的乘除及加减运算，分别进行各选项的判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算及二次根式的化简，属于基础题．
 

4.【答案】

【解析】解：，
故选：．
首先把两个二次根式化简，再进行加减即可．
此题主要考查了二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，为圆桶底面直径，
，，
线段的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为．
故选：．
如图，为圆桶底面直径，所以，，那么线段的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形中利用勾股定理可以求出，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．
此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．
 

6.【答案】

【解析】解：由图可知，是直角三角形，

，，
，
．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，再由长方形的面积公式进行解答即可．
本题考查的是勾股定理及矩形的面积公式，先根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则四边形是矩形，
连接，
，，，
在中，．
故选：．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，，，
在中，，
，


．
故选：．
由已知得为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长，用求面积．
本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是利用是直角三角形求正方形面积，运用勾股定理及面积公式求解即可．
 

9.【答案】

【解析】解：

故选A．
先根据题意求出的值，再求因为，所以可根据公式求解．
主要考查了二次根式的化简．在化简的过程中要注意先根据的取值范围判断的符号，再确定去掉绝对值符号后的值．
 

10.【答案】

【解析】解：如图所示：过点作，垂足为．
由翻折的性质可知．
设，则．
在中，依据勾股定理得：，解得：．
，．
由翻折的性质可知：．
，
．
．
．
．
．
．
．
故选：．
依据翻折的性质可得到，设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，则可得到、的长，然后再证明，从而可求得的长，最后在中，依据勾股定理可求得的长．
本题主要考查的是矩形的性质、翻折的性质、勾股定理的应用，求得、的长是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
整数的最小值为．
故答案是：．
是正整数，则一定是一个完全平方数，首先把分解因数，确定是完全平方数时，的最小值即可．
本题考查了二次根式的定义，理解是正整数的条件是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
．
故答案为：．
因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．
此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
 

13.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

14.【答案】

【解析】解：由，得
，，
，
故答案为：．
根据被开方数是非负数，可得、的值，根据负数的乘方，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出、的值是解题关键，又利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
．
故答案为：．
首先利用勾股定理可以算出的长，再根据题意可得到，根据即可算出答案．
此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，，
解得，，
直角三角形的两直角边长为、，
该直角三角形的斜边长．
故答案是：．
根据非负数的性质求得、的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
本题考查了勾股定理，非负数的性质绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值二次根式都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为时，则其中的每一项都必须等于．
 

17.【答案】

【解析】解：点，的坐标分别为、，
，，
，
以点为圆心，以长为半径画弧，
，
，
交正半轴于点，
点的坐标为，
故答案为：．
首先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，因为，所以求出，继而求出点的坐标．
本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出的长．
 

18.【答案】

【解析】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点
高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，
，，
连接，则长即为最短距离，


．
故答案为：．
将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
 

19.【答案】解：原式

．

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及分母有理化，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确分母有理化是解题关键．
 

20.【答案】解：原式

，
把代入，
原式．

【解析】根据分式的加减运算、乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

21.【答案】解：如图，作于点，

在中，由勾股定理得，
，
又，
，
即点到的距离是．

【解析】首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据三角形的面积为定值即可求出点到的距离．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定为斜边．
 

22.【答案】证明：，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；

解：≌，
，
在中，，
，，
，
．
 

【解析】先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；
根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

23.【答案】解：在正方形中，，，
将沿对折至，
，，，
，，
又，
在和中，
，
≌；
≌，
，
设，则，
为的中点，
，
，
在中，，解得，
．

【解析】此题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
利用翻折变换对应边关系得出，，利用定理得出≌即可；
利用勾股定理得出，进而求出即可；
 

24.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
；
解：、分别平分和，
，
，
．

【解析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，由等腰三角形的判定即可得出答案．
利用勾股定理可求得的长，再结合的结论可求得的长．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，利用条件证得是解题的关键．
 

25.【答案】解：，；
，，，；
由题意，得：
，，
，且、为正整数，
，或者，，
，或．

【解析】

【分析】
本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
根据完全平方公式运算法则，即可得出 、 的表达式；
首先确定好 、 的正整数值，然后根据 的结论即可求出 、 的值；
根据题意， ，首先确定 、 的值，通过分析 ， 或者 ， ，然后即可确定好 的值．
【解答】
解： ，
，
， ．
故答案为 ， ．
根据 的规律找到相应的数字即可，
故答案为 ， ， ， ；
见答案．