2021-2022学年广东省广州市真光教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州市真光教育集团八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分)

1. 在二次根式中，字母的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 在、、中、、中，最简二次根式的个数有

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 以下列线段、、的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

5. 平行四边形中一边的长为，那么它的两条对角线的长度可以是    。

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

6. 菱形中，对角线，，则菱形的高等于

A.
B.
C.
D.

7. 如图，平行四边形的周长为，对角线，相交于点点是的中点，，则的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，的面积是，点、、、分别是、、、的中点，则的面积是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在矩形中，，将沿对角线对折，得到，与交于，，则

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接则下列结论，其中正确的是
    ；
    ；
    ；
    若，，则．

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分)

11. 比较大小：______填“”或“”
12. 已知，在数轴上位置如图，化简 ______ ．
13. 矩形一个角的平分线分矩形一边为和两部分，则这个矩形的面积为______．
14. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为______ ．
15. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．
    
     

16. 如图，正方形和正方形的顶点、、在同一直线上，且，，给出下列结论：，，的面积，，其中正确的是______．

三．解答题（本题共9小题，共72分)

17. 计算：．
18. 已知：，，求的值．
19. 如图，已知菱形中，于点，于点求证：．

20. 如图，每个小正方形的边长为．
    求四边形的面积和周长；
    是直角吗？说明理由．
    
     

21. 如图，已知是矩形的对角线．
    用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交、于、保留作图痕迹，不写作法和证明；
    连结、，问四边形是什么四边形？请说明理由．
22. 在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒．
    求斜边上的高；
    当点在上时，______；用含的代数式表示
    若点在的角平分线上，求的值．

23. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．
    求点的坐标；
    若，求的面积；
    在的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24. 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限，且是等边三角形．点的坐标为，是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边．
    求出点坐标；
    当点落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；
    连接，当是等腰三角形时，______．

25. 在▱中，连接，若，点为边上一点，连接．
    如图，点在上，连接，过作于点，连接并延长交于点求证：；
    如图，在的前提下，若，求证：；
    如图，，，点在边上，，若是的角平分线，线段点在点的左侧在线段上运动，，连接，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】

【解析】解：、、不是最贱二次根式．
、是最简二次根式．
综上可得最简二次根式的个数有个．
故选：．
最简二次根式就是被开方数不含分母，并且不含有开方开的尽的因数或因式的二次根式，根据以上条件即可判断．
本题考查最简二次根式的定义，一定要掌握最简二次根式必须满足两个条件，被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】

【解析】解：、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以，，为边不能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
主要考查了平行四边形的性质．要掌握平行四边形的构造，四边形的一边和两条对角线的一半构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断．
根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断．
【解答】
解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A 、根据三角形的三边关系可知： ，不能构成三角形；
B 、 ，能构成三角形；
C 、 ，不能构成三角形；
D 、 ，不能构成三角形．
故选 B ．   

6.【答案】

【解析】解：设对角线、交于点，
四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
设菱形的高为，
则，
即，
解得：，
即菱形的高等于，
故选：．
设对角线、交于点，由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，设菱形的高为，然后由，求解即可．
本题考查的是菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：▱的周长为，
，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
．
点是的中点，
是的中位线，，
，
的周长，
即的周长为．
故选：．
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：点是的中点，
是的中线，
的面积的面积的面积，
同理得：的面积的面积的面积的面积，
的面积，
的面积的面积，
又是的中位线，
的面积的面积，
的面积是，
故选：．
根据中线的性质，可得：的面积的面积的面积的面积，的面积，根据三角形中位线的性质可得的面积的面积，进而得到的面积．
本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
 

9.【答案】

【解析】解：，，
．
由翻折的性质可知：，，，
．
，
解得：
故选：．
先求得，由翻折的性质可得到，于是可求得，最后依据特殊锐角三角函数值可求得的长．
本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值，求解的度数是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图中，过点作于．
，关于对称，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
≌，
，，
，，
≌，
，，故正确，
，
过点作于，于，于．
，
，
，
，
，
，
，故正确，
如图中，过点作于，交于．
，关于对称，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，故正确，
，，
，，，
，故正确，
故选：．
正确．如图中，过点作于想办法证明≌可得结论．
正确．分别证明，即可解决问题．
正确．如图中，过点作于，交于首先证明，再证明≌，推出可得结论．
正确．求出，，利用勾股定理即可判断．
本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道 ，题目较好，难度也不大．
根据二次根式的性质求出 ，比较 和 的值即可．
【解答】
解： ，
，
，
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：从数轴上可以得出：，，，
，
．
故答案为：．
根据数轴确定、、的正负性，然后根据二次根式的性质化简即可得到答案．
此题考查的是二次根式的性质与化简，掌握其性质是解决此题关键．
 

13.【答案】或

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
当时，，，
此时矩形的面积是；
当时，，，
此时矩形的面积是：；
综上所述：这个矩形的面积为或，
故选答案为：或．
根据矩形性质得出，，，推出，求出，得出，分为两种情况：当时，求出和；当时，求出和，根据矩形的面积公式求出即可．
本题考查了矩形的性质、平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定，解此题的关键是求出，注意：要进行分类讨论．
 

14.【答案】

【解析】解：由于大正方形的面积，小正方形的面积是，
则四个直角三角形的面积和是，即，
即，，
则．
故答案为：．
根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方，也就是两条直角边的平方和是，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即根据完全平方公式即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
，
这圈金属丝的周长最小为．
故答案为：．
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，
是等腰直角三角形，，，，
，，正确，
，错误；
作交延长线于，连接交于，作于，如图所示：

则，，，
，正确；
，
，
，
，
，错误；
故答案为：．
由正方形的性质得出是等腰直角三角形，，，，得出，，正确，求出，错误；作交延长线于，连接交于，作于，则，，，得出，正确；由勾股定理得出，，，不正确；即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】根据二次根式的乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：，，
，，



．

【解析】根据，，可以得到和的值，然后即可计算出所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是求出和的值．
 

19.【答案】证明：，，
．
已知四边形是菱形，
，，
≌，
．

【解析】欲证，可以通过证≌从而推出等边，因为已知于点，于点，即与是直角三角形，则利用菱形的性质再证一锐角及一边相等，则可根据得证．
本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法．
 

20.【答案】解：由勾股定理可得：，
则，
，
，
，
，
，
，
故四边形的周长为：，
四边形的面积为：；
由得：，，而，
故DC，
则．

【解析】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
利用勾股定理的逆定理得出答案．
 

21.【答案】解：如图所示，为所求直线；
四边形为菱形，理由为：
证明：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．

【解析】分别以、为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
连接，，四边形为菱形，理由为：由垂直平分，得到，，再由与平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到，再由，等量代换得到四条边相等，即可得证．
此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，
设边上的高为，
则，
，
．
答：斜边上的高为．
当点在上时，点的运动长度为，
．
故答案为：．
若点在的角平分线上时，过点作，如图：

平分，，，
．
由知：，，
，
在和中，
，
≌．
，
又，
．
在中，由勾股定理得：
，
解得：．
根据勾股定理求出的值，设斜边高为，由面积法可求得答案．
根据题意可知在上时，的路程为，所以；
当点在的角平分线上，过点作，可证≌，再在中由勾股定理得到关于的方程，进而可以求解．
本题考查勾股定理在动点问题中的应用，数形结合并熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：．
，，
，
点；
如图，过点作，交的延长线于，

，点，
，，
，，
，，点，
；
，
，
，，
点不在和上，
当点在上时，，
，
点的坐标为，
当点在上时，，
，
点，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或．

【解析】由非负性可求，的长，即可求解；
由面积的和差关系可求解；
分两种情况讨论，由面积的和差关系可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】或或

【解析】解：如图中，过点作于点．

，
，
是等边三角形，，
，，
，
；

如图中，结论：≌．

理由：是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；

如图中，当时，过点作于点，过点作于点，过点作于点．

设，
，
，
，，
，
，．
，，
，
，，，
≌，
，，
，
，
解得，或舍去，


，
；
如图中，当时，过点作于点．

，，
，
，，，
≌，
，
；
如图中，当时，，

，
，
综上所述，满足条件的的值为或或，
故答案为：或或．
如图中，过点作于点解直角三角形求出，，可得结论；
如图中，结论：≌根据证明三角形全等即可；
分三种情形：如图中，当时，过点作于点，过点作于点如图中，当时，过点作于点如图中，当时，，分别求出，可得结论．
本题属三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】证明：，，
，
，
，
；
证明：如图，过点作交于点，设与交于点，

，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
；
解：如图，在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点在线段上时，的最小值为，
的最小值为，
，，
的最小值为，
故B的最小值为．

【解析】根据直角三角形性质及对顶角性质即可得解；
如图，过点作交于点，设与交于点，先证明≌，进而证得是等腰直角三角形，得出，再证明≌，推出，即可证得结论；
如图，在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，应用平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明≌，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解本题的关键．