2022年山东省菏泽市东明县中考数学三模试卷（含解析）

2022年山东省菏泽市东明县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 生物学家发现新型冠状病毒的直径约为，数据用科学记数法表示正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一个几何体的三视图图中尺寸单位：，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是

A.
B.
C.
D.

5. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

6. 如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点是▱边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列能大致反映与的函数关系的图象是

A.  B.
C.  D.

8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 把多项式分解因式的结果是______．
10. 一组，，，中，唯一的众数是，平均数是，则数据的中位数是______．
11. 写出不等式组的解集为______．
12. 如图所示，直角三角板的角压在一组平行线上，，，则______度．
    
    
     

13. 如图，矩形中，点，分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点，恰好落在上的同一点，记为点若，，则______．
14. 有一个数值转换器，原理如下：
    
    当输入的数是时，则输出的数是______．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算：．
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 在菱形中，点是边上一点，连接，点，是上的两点，连接，，使得，．
    求证：≌；
    ．
     

18. 现有两块面积相同的小麦试验田，第一块种植原品种，第二块种植新品种，结果分别收获小麦和已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，求第一块试验田每公顷的产量．
19. 年冬季奥运会在北京举行，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点出发，途经点后到达终点，其中，，且段的运行路线与水平面的夹角为，段的运行路线与水平面的夹角为，求从点运行到点垂直上升的高度．结果保留整数：参考数据：，，

20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，过点作垂直轴于点，连结若的面积为．
    求的值；
    轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

21. 某学校利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“，，，”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表：
    血型统计表

本次随机抽取献血者人数为______ 人，图中 ______ ；
补全表中的数据；
现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率．

22. 如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．
    求证：；
    求证：是的切线；
    过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长．
23. 阅读材料，回答问题：
    小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：
    如图，在中，如果，，，，，那么通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含角的直角三角形中，存在着的关系”．
    这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
    如图，在中，，，，，请判断此时“”的关系是否成立？
    完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：
    如图，在锐角中，，，，请判断此时“”的关系是否成立？并证明你的判断．

24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
    求二次函数的解析式；
    点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了由三视图确定几何体及圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．
根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【解答】

解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径为 ，高是 ．
所以该几何体的侧面积为
故选 C ．

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由 可得出 ，根据方程的系数结合根的判别式可得出 ，由偶次方的非负性可得出 ，即 ，由此即可得出关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
【解答】
解： ，
．
．
，
，
，
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选 A ．   

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理及其推论，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是 ．
连接 ，根据直径所对的圆周角是 ，得 ，再根据圆周角定理，可求出 ，即可求出 的度数．
【解答】
解：连接 ，

为 的直径，
，
，
，
，
故选 B ．   

7.【答案】

【解析】解：点沿运动，的面积逐渐变大；
点沿移动，的面积不变；
点沿的路径移动，的面积逐渐减小．
故选：．
分三段来考虑点沿运动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿的路径移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
 

8.【答案】

【解析】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：．
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

10.【答案】

【解析】解：数据，，，的平均数是，
，
解得：，
数据，，，中，唯一的众数是，
，或，，
把这组数据从小到大排列都为：，，，，则这组数据的中位数是．
故答案为：．
先根据数据，，，的平均数是，求出，再根据数据，，，中，唯一的众数是，求出，的值，最后把这组数据从小到大排列，即可得出答案．
本题考查了众数、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，如果数据个数为奇数，则最中间的那个数为这组数据的中位数；如果数据个数为偶数，则最中间两个数的平均数为这组数据的中位数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
 

11.【答案】

【解析】解：不等式的解集为，
不等式的解集为，
所以不等式组的解集为．
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集
主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

12.【答案】

【解析】解：延长交于，如图：

，，
，
，
．
故答案为：．
如图延长交于利用平行线的性质求出，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
根据折叠的性质结合勾股定理求得 ， ，证得 ∽ ，求得 ，再利用勾股定理得到 的长，即可求解．
【解答】
解：矩形 中， ， ， ，
，
根据折叠的性质： ， ， ， ， ， ， ，
， ，
，点 ，点 ，点 三点共线，
，
，
∽ ，
，即 ，
，
，
，
故答案为： ．   

14.【答案】

【解析】

【解答】

解： ， 是有理数，
继续转换，
， 是有理数，
继续转换，
的算术平方根是 ，是无理数，
符合题意，
故答案为： ．
【分析】

把 代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．
本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数和无理数的区别．

15.【答案】解：


．

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

16.【答案】解：原式

，
，
，
则原式．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再得出的值，代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
，
≌；
≌，
，，
，
．

【解析】根据菱形的性质得到，，由平行线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，等量代换求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：设第一块试验田每公顷的产量为，则第二块试验田每公顷产量为，
由题意得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是方程的解．
答：第一块试验田每公顷的产量为．

【解析】设第一块试验田每公顷的产量为，根据有两块面积相同的小麦试验田，以试验田的面积做为等量关系可列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出以两块面积相同的试验田做为等量关系是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：在中，
，，，
，
在中，
，，，
，
，
答：从点运行到点垂直上升的高度约为．

【解析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出的长是解题关键．
 

20.【答案】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，
、两点关于原点对称，
，
的面积的面积，
又是反比例函数图象上的点，且轴于点，
的面积，
，
，
．
故这个反比例函数的解析式为；
轴上存在一点，使为直角三角形．
将与联立成方程组得：
，
解得：，，
，，
设点的坐标为，
则，
，
，
当时，如图，

则，
即，
解得，
；
当时，如图，

则，
即，
解得，
；
当时，若在轴的正半轴，如图，

为线段的中点，
，
．
根据对称性，当为直角顶点，且在轴负半轴时，．
故轴上存在一点，使为直角三角形，点的坐标为或或或．

【解析】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．另外第问要分种情况讨论．
首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知、两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值；
先将与联立成方程组，求出、两点的坐标，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别根据勾股定理、直角三角形中线的性质，即可求出点的坐标．
 

21.【答案】，
型献血的人数为人，
型献血的人数为人，
补全表中的数据如下表

画树状图如图所示，

共有个等可能的结果，两人血型均为型的结果有个，
两人血型均为型的概率为．

【解析】解：这次随机抽取的献血者人数为人，
；
故答案为：，；

用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值；
先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据；
画出树状图，根据概率公式即可得到结果．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图与统计表．
 

22.【答案】证明：，，
∽，
，
证明：连结，如图所示：
则，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：是的切线，
，
由知，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．

【解析】易证∽，由相似三角形的对应边成比例来证得结论；
连结，则，由圆周角定理得出，，由，得出，即可得出结论；
证明∽，得出，由已知求出，，，由勾股定理求得的长，代入比例式即可得出结果．
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：“”的关系成立．
，，，，
“”成立，
作于．

在和中，，
，，
，，
，
同理，作于，可证，
．

【解析】因为，，，推出“”成立，
作于在和中，，可得，，推出，，可得，同理，作于，可证，即可解决问题；
本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考创新题目．
 

24.【答案】解：二次函数过，两点，
设二次函数解析式为，
二次函数过点，
，
解得，，

即二次函数解析式为；
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，
即的最大值是，此时点的坐标是

【解析】根据二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，可以求得该函数的解析式；
根据题意可以得到直线的函数解析式，然后根据的面积记为，利用二次函数的性质可以得到的最大值，以及此时点的坐标
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．