2021-2022学年福建省龙岩市上杭三中八年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省龙岩市上杭三中八年级（下）第一次段考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 使二次根式有意义的的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组线段中，不能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 对边相等 B. 对角相等
C. 邻角相等 D. 对角线互相平分

5. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 已知实数，满足，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. ▱中，：：：的度数比可能是

A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：：

8. 在中，若，，，则下列说法正确的是

A. 是锐角三角形
B. 是直角三角形且
C. 是钝角三角形
D. 是直角三角形且

9. 下列命题的逆命题是真命题的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 平行四边形对角线互相平分

10. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．选择题（本题共6小题，共18分）

11. 化简：______．
12. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为______ ．

13. 等腰三角形的腰为，底边长为，则它的面积为______．
14. 如图，在▱中，已知，，平分，交边于点，则______．
15. 如图，是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，若最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为______．
    
    
     

16. 如图，在中，，，，点是边上任意一点、除外于点，于点，连接，则的最小值为______ ．

三．计算题（本题共2小题，共12分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 若，求的值．

四．解答题（本题共7小题，共56分）

19. 如图，▱的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，求证：．

20. 先化简，再求值：，其中．
21. 我国古代数学著作九章算术中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
22. 如图，，，，，．
    求：四边形的面积．
    
     

23. 在中，，，在上找一点，使利用尺规作图，保留作图痕迹，并求出此时的长．
     

24. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
    求证：；
    当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

25. 如图，菱形中，为坐标原点，点在轴上，，．
    直接写出点和点的坐标；
    是对角线上一点，以为一边作，与的延长线相交于点，判断的形状，并给予证明；
    以、为邻边作▱，如果点在第一象限的角平分线上，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选B．
根据被开方数大于等于列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】

【解析】解：、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】

【解析】解：，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】

【解析】解：、平行四边形的对边相等，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故选项B不符合题意；
C、平行四边形的邻角互补，故选项C符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的乘法运算法则、二次根式的性质分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
又，，
，，
解得，，
．
故选：．
先根据非负数的性质分别求出、的值，再代入所求代数式即可求得答案．
本题考查了非负数的性质，非负数的形式主要有三种：偶次幂、绝对值、算术平方根．
 

7.【答案】

【解析】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．
故选：．
根据平行四边形的两组对角分别相等，故只有是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不可能．
此题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形两组对角分别相等．
 

8.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，，
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

9.【答案】

【解析】解：、若，则的逆命题是若，则，是假命题；
B、若，则的逆命题是若，则，是假命题；
C、若，则的逆命题是若，则，是假命题；
D、平行四边形对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
故选：．
根据有理数的乘方、绝对值的性质、有理数的乘法、平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换 折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设 ，根据直角三角形 中运用勾股定理求 是解题的关键．
因为 为 边上的高，要求 的面积，求得 即可，求证 ≌ ，得 ，设 ，则在 中，根据勾股定理求 ，于是得到 ，即可得到结果．
【解答】
解：易证 ≌ ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解之得： ，
，
．
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能求出 的长是解此题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出答案．
【解答】
解：如图：

由勾股定理得： ，
即 ，
，
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】解：如图所示，过点作于点，
，，
，
，

故答案为：．
根据题意画出图形，过点作于点，根据可知由勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，求出 是解题的关键．由平行四边形对边平行得 ，再根据两直线平行，内错角相等可得 ，而 平分 ，进一步推出 ，在同一三角形中，根据等角对等边得 ，则 可求解．
【解答】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
又 平分 ，
，
，
，
．
故答案为 ．   

15.【答案】

【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，，于是，
即．
故答案为：．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积．
本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形，，，的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形，，，的面积和即是最大正方形的面积．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：
，，，
，
于点，，
，
四边形是矩形，
，
当时，最小，
此时，
，
的最小值为；
故答案为：．
连接，先由勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得出对角线相等，然后由时，最小，根据面积求出即可．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形面积的计算；证明四边形是矩形得出和得出当时最小是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：

；


．

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据算术平方根、二次根式的除法和平方差公式可以将题目中的式子展开，然后化简即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

18.【答案】解：，，
，，
则原式．

【解析】由与的值，求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，继而可证得≌，则可证得结论．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

21.【答案】解：设水深尺，芦苇尺，
由勾股定理：，
解得：，，
答：水深尺，芦苇的长度是尺．

【解析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，，
，
，，
，，
，
即是直角三角形，，
四边形的面积


．

【解析】根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据图形得出四边形的面积，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

23.【答案】解：如图，点为所作；

设，则
在中，，
，解得
即．

【解析】作的垂直平分线交于，则根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了作图基本作图．
 

24.【答案】证明：中，，，
．
在中，，，
，
点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，
，
；
解：当时，由知四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
又，即，解得；
当时，四边形为矩形，在中，则，
，即，解得．
若，则与重合，与重合，此种情况不存在．
综上所述，当或秒时，为直角三角形，
故答案为：或．

【解析】由已知条件可得中，即可知；
分三种情形讨论当时，当时．若，分别求解即可．
本题是四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，；
为等边三角形．
证明：菱形，且，
，，，
，
，
，，
，
≌，
，
，
为等边三角形；
解：过作轴的垂线，交轴于点．

设，由知，
，
，
，，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
点在第一象限的角平分线上
点的横纵坐标相同，即有，
解得，，
即．

【解析】由菱形的性质得出，，证出是等边三角形，则可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
过作轴的垂线，交轴于点设，由知，求出，，可得出方程，解方程求出可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．