2021-2022学年浙江省杭州市富阳区银湖中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市富阳区银湖中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是

A.  B.  C.  D.

4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 下列计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列条件不能判定四边形是平行四边形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程

A.
B.
C.
D.

8. 用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应先假设

A. 直角三角形中两个锐角都大于
B. 直角三角形中两个锐角都不大于
C. 直角三角形中有一个锐角大于
D. 直角三角形中有一个锐角不大于

9. 如图，在▱中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论正确的是
   ；
   ；
   四边形为平行四边形；
   垂直平分线段．

A.  B.  C.  D.

10. 已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中以下说法中错误的是

A. 若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B. 若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C. 若是方程甲的解，则也是方程乙的解
D. 若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么可以取取

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是：，则的长为______．
    
     

12. 一个多边形的内角和为，则这个多边形是______ 边形，它的外角和等于______ ．
13. 小明用计算一组数据的方差，那么 ______ ．
14. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______．
15. 如图，▱中，，分别在和的延长线上，，，，则的长是______．
    
     

16. 如图，在▱中，，，分别为，上的动点，分别以，为对称轴翻折，，点，的对称点分别为，若、、、恰好在同一直线上，，且则的长是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 用适当的方法解下列一元二次方程：
    ；
    ．
19. 在开展“学雷锋社会实践”活动中某校为了了解全校名学生参加活动的情况，随机调查了名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图：
    这名学生每人参加活动的次数的众数是______次，中位数是______次．
    列式求这名学生每人参加活动次数的平均数．

20. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每天可售出件，为了迎接“购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每天就可以多售出件．
    降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
    要使商场每天销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
21. 如图，▱的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求的长．

22. 已知关于的一元二次方程．
    若此方程的一个根是，求方程的另一根；
    求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
    设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．
23. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发沿线段向终点运动．设运动的时间为秒．
    直接写出______用含的代数式表示，______．
    如果当四边形是平行四边形时，点与点恰好相遇，求点的运动速度；
    在的条件下，求出为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】

【解析】解：，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
，，是最简二次根式，故此选项符合题意；
，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
，，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的定义逐一判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟记最简二次根式的概念是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
先将常数项移到方程右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，据此可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：因为队员甲和乙的方差最小，但队员乙平均数小，所以甲的成绩好，所以队员甲成绩好又发挥稳定．
故选：．
据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】

【解析】解：．与不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减，二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果得出答案即可．
本题考查了二次根式的性质与二次根式的运算法则等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由，可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B.由，可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形知四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
C.由，不能判定四边形是平行四边形，此选项符合题意；
D.由知，结合知，
所以，
此时可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定逐一判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

7.【答案】

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于．
故选：．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

9.【答案】

【解析】解：在平行四边形中，，，，，
，
，
是的中点，
，
，
是的中点，
，
当或时，，
没有足够的条件证明选项，
故选项不符合题意；
、分别是、的中点，
，且，
，
，
故选项符合题意；
，
又，，
，，
四边形为平行四边形，
故选项符合题意；
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
垂直平分线段，
故选项符合题意；
综上，正确的选项有：，
故选：．
根据平行四边形的性质，可得，根据等腰三角形的性质可知，根据直角三角形的性质可得，根据中位线定理可得，可判断选项；根据，，即可判断选项；根据平行线的性质可得，根据等腰三角形三线合一即可判断选项．
本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理以及平行线的性质定理等，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙没有实数解，故说法A正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则，
解得，
所以，
而方程乙：中，，
所以方程乙有两相等实数解，故说法B正确；
若是方程甲的解，所以，即，
则方程乙：变为，
解得，
所以也是方程乙的解，故说法C正确；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
得，
，
，
解得，
故说法D错误，
故选：．
由方程甲有两个不相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于，根据判别式的意义可对进行判断；
若是方程甲的解，则可得出，根据判别式的意义可对进行判断；
若既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得，可对进行判断．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

11.【答案】米

【解析】解：迎水坡的坡比是：，米，
米，
米，
故答案为：米．
先由坡度的定义求出的长，再由勾股定理即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
 

12.【答案】七 

【解析】解：设这个多边形是边形，
根据题意得：，
解得．
它的外角和等于．
故答案为：七，．
设这个多边形是边形，它的内角和可以表示成，就得到关于的方程，求出边数然后根据多边形的外角和是，即可求解．
本题考查了多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．同时考查了多边形的外角和定理．
 

13.【答案】

【解析】解：，
这组数据的平均数是，
，
故答案为：．
根据方差计算公式确定这组数据的平均数，计算即可．
本题考查的是方差的计算、平均数的概念，掌握方差的计算公式：是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故答案为：．
对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即为中点，
，
，
，
，
，
故设，，
在中有：，
，
解得负值舍去，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的判定和性质，解直角三角形可以求得的长，本题得以解决．
本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】

【解析】解：过点作于点，
由折叠知，
，
，
，
，
设，则由折叠性质知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
由勾股定理得，，
即，
解得，，或舍，
，
故答案为：．
过点作于点，设，由勾股定理求得与，再证明，用表示，，，由勾股定理列出的方程，求得的值，便可求得．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键在于构造直角三角形，运用勾股定理列出方程，运用方程的思想解决几何问题．
 

17.【答案】解：原式
．
原式


．

【解析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
根据分母有理化即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：，
将方程变形，得，
即，，
解得：，．
，
将方程变形，得，
则或，
解得，．

【解析】等式左边可提取公因式，转化为求解；
根据十字相乘法可将方程变形为，由此可得同解方程或，据此求解．
本题考查一元二次方程的解法，关键是会利用因式分解法求解一元二次方程．
 

19.【答案】 

【解析】解：在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是次．
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数分别是、，故中位数为次，
这组数据的中位数是次；
故答案为：，；
观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数为：次，
则这组样本数据的平均数是次．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数．
根据加权平均数的公式可以计算出平均数．
本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

20.【答案】解： 元．
答：降价前商场每天销售该商品的利润是元．

分设每件商品应降价元，
由题意，得 ．
解得 ，．
要更有利于减少库存，
．
答：每件商品应降价元．

【解析】根据总利润单件利润销售数量解答；
根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，进而解答即可．
本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出、的长是解题的关键．
 

22.【答案】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，
，
解得，
即方程的另一个根为；
证明：

，
这个一元二次方程一定有两个实数根；
解方程得，，
即，或，，
，，分别是一个直角三角形的三边长，
或，
解方程得，舍去，
解方程得，舍去．
即的值为或．

【解析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，消去得到，然后解方程即可；
计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式和勾股定理．
 

23.【答案】 

【解析】解：动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒，
，
如图，过、分别作于，于，则四边形是矩形，

，
在中，，，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
故答案为：，；
当四边形是平行四边形时，，，
，
时，点与点相遇，
此时点到点的距离为：，
点的运动速度为：，
点的运动速度为每秒个单位长度；
根据题意，点与点在边时，以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
分两种情况：
点在点左边时，如图，

以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
，
，，，，
，
解得；
点在点右边时，如图，

以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，
，
，，，，
，
解得：，
答：的值或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
根据速度公式可直接求出，作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解可得；
根据平行四边形的性质求出，可得点与点相遇时的值，求出点运动的距离，即可得点的运动速度；
根据题意，点与点在边时，以点、、、为顶点的四边形可以是平行四边形，可分两种情况：点在点左边，点在点右边，根据平行四边形的性质即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，利用分类讨论得出是解题关键．