2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新一中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新一中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共8小题，共24分）
下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A. x2>1B. 2x−5>xC. 3x+3≥1D. x+y<0
如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在( )
A. 三个角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三角形三条高的交点D. 三角形三条中线的交点
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为( )
A. 25°B. 20°C. 15°D. 7.5°
用反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设( )
A. a，b，c没有一个为0B. a，b，c只有一个为0
C. a，b，c至多一个为0D. a，b，c三个都为0
若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是( )
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 12cm或15cm
若aA. a+c如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=10，DE=3，则△BCE的面积为( )
A. 16
B. 15
C. 14
D. 13
如图，直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1)，当kx+b≥x时，则x的取值范围为( )
A. x≤1
B. x≥1
C. x<1
D. x>1
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”的逆命题是______命题(填“真”或“假”)．
不等式2x−12−3≤0的非负整数解共有______个．
如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−1,3)，则不等式kx+b≥3的解集为______．
如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= ______ ．
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，AC=4，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是______．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)5x−9<2x−3；
(2)2x3−6x+16≥1．
如图所示，在△ABC中，∠A=45°.求作AB边上的高CD.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，垂足分别为F、E，连接AD、BC，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE．
每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.红星中学在“世界读书日”开展“弘扬传统文化，阅读经典名著”主题活动，计划购置一批书籍．已知每本《诗经》25元，每本《论语》18元，该学校决定购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元，那么该学校最多可以购买《诗经》多少本？
如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACE=12°，求∠EFB的度数．
如图所示，l1，l2分别表示使用一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单价：元)与照明时间x(小时)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．
(1)根据图象可知l1的函数关系式是______，l2的函数关系式是______；
(2)小军认为节能灯一定比白炽灯省钱，你认为呢？
如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t(t>0)秒．
(1)设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
(2)线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、x2>1，未知数的次数不是1，不符合一元一次不等式的定义，不合题意；
B、2x−5>x，符合一元一次不等式的定义，符合题意；
C、3x+3≥1，未知数的次数不是1，不符合一元一次不等式的定义，不合题意；
D、含有两个未知数，不符合一元一次不等式的定义，不合题意；
故选：B．
直接根据一元一次不等式的定义解答即可．
此题考查的是一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2.【答案】A
【解析】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG=60°．
∵CG=CD，
∴∠CGD=∠CDG=30°．
∵∠CDG=∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E=30°．
∵DF=DE，
∴∠E=∠DFE=15°．
故选：C．
利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
本题主要考查了等边三角形的线段，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”，即“a，b，c没有一个为0”．
故选：A．
根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，利用：“至少有一个”的否定：“一个也没有”即可得出正确选项．
本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．
5.【答案】C
【解析】解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3=15cm；
②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是15cm．
故选：C．
根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A选项，∵a∴a+cB选项，∵a∴a−cC选项，∵a∴ac2D选项，∵a∴当c>0时，ac当c<0时，ac>bc，故该选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的基本性质判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：过E作EF⊥BC于F，

∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF=DE=3，
∵BC=10，
∴△BCE的面积为12BC⋅EF=15，
故选：B．
过E作EEF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形面积公式求出即可．
本题考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DE=EF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8.【答案】A
【解析】解：由题意，将P(1,1)代入y=kx+b(k<0)，
可得k+b=1，即k−1=−b，
整理kx+b≥x得，(k−1)x+b≥0，
∴−bx+b≥0，
由图象可知b>0，
∴x−1≤0，
∴x≤1，
故选：A．
将P(1,1)代入y=kx+b(k<0)，可得k−1=−b，再将kx+b≥x变形整理，得−bx+b≥0，求解即可．
本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
9.【答案】假
【解析】解：“若a>0，b>0，则ab>0”的逆命题是“若ab>0，则a>0，b>0”，是一个假命题，
故答案为：假．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可；
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
10.【答案】4
【解析】解：2x−12−3≤0，
2x−1−6≤0，
2x≤7，
解得：x≤3.5，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．
故答案为4．
不等式去分母．合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：观察图象知：当x≥−1时，kx+b≥3，
所以不等式kx+b≥3的解集为x≥−1，
故答案为：x≥−1．
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
12.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了含 30 度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
过 P 作 PC 垂直于 MN ，由等腰三角形三线合一性质得到 MC=CN ，求出 MC 的长，在直角三角形 OPC 中，利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出 OC 的长，由 OC−MC 求出 OM 的长即可．
【解答】
解：如图，过 P 作 PC⊥MN ，

∵PM=PN ，
∴C 为 MN 中点，即 MC=NC=12MN=1 ，
在 Rt△OPC 中， ∠POC=60° ，
∴∠OPC=30° ，
∴OC=12OP=4 ，
则 OM=OC−MC=4−1=3 ，
故答案为 3 ．
13.【答案】23
【解析】解：作点N关于AD的对称点E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PN=PE，
∴PN+PC=PE+PC≥EC，
且当CE⊥AB时，PN+PC最短，
在直角△ACE中，CE=AC⋅sin∠BAC=4×32=23，
即PN+PC的最小值是23．
故答案是：23．
作CE⊥AB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在直角△ACE中利用三角函数求解．
本题考查了轴对称和角的平分线的性质，根据角的平分线的性质理解CE的长是PN+PC的最小值是关键．
14.【答案】解：(1)移项，得5x−2x<−3+9，
合并同类项，得3x<6，
系数化为1，得x<2．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
；
(2)去分母，得4x−(6x+1)≥6，
去括号，得4x−6x−1≥6，
移项，得4x−6x≥6+1，
合并同类项，得−2x≥7，
系数化为1，得x≤−3.5，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15.【答案】解：如图，CD为所作．
【解析】过C点作AB的垂线即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
16.【答案】证明：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF；
∴DF=BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
DF=BEAD=CB，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE(HL)，
∴AF=CE．
【解析】利用已知条件证明△ADF≌△BCE，由全等三角形的性质即可得到AF=CE．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
17.【答案】解：设该学校购买《诗经》x本，则购买《论语》(100−x)本，
依题意得：25x+18(100−x)≤2000，
解得：x≤2007．
∵x为正整数，
∴x的最大为28．
答：该学校最多可以购买《诗经》28本．
【解析】设该学校购买《诗经》x本，则购买《论语》(100−x)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
18.【答案】解：∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵EB=EC，BE=AC，
∴AC=EC，
∴∠AEC=∠EAC=12×(180°−12°)=84°，
∴∠EBC=∠ECB=12∠AEC=42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF=∠CBF=21°，
∴∠EFB=∠AEC−∠EBF=63°．
【解析】根据线段垂直平分线上的性质得到EB=EC，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠ECB，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19.【答案】y=0.03x+2 0.012x+20
【解析】解：(1)设l1的函数关系式是y=ax+b，
∵点(0,2)，(500,17)在该函数图象上，
∴b=2500a+b=17，
解得a=0.03b=2，
即l1的函数关系式是y=0.03x+2；
设l2的函数关系式是y=cx+d，
∵点(0,20)，(500,26)在该函数图象上，
∴d=20500c+d=26，
解得c=0.012d=20，
即l2的函数关系式是y=0.012x+20；
故答案为：y=0.03x+2，0.012x+20；
(2)小军认为节能灯一定比白炽灯省钱是错误的，
理由：令0.03x+2=0.012x+20，
解得x=1000，
故当x<1000时，白炽灯省钱，
当x=1000时，两种灯消费一样，
当x>1000时，节能灯省钱，
故小军认为节能灯一定比白炽灯省钱是错误的．
(1)根据函数图象中的数据，可以分别计算出l1的函数关系式和l2的函数关系式；
(2)先判断，然后根据(1)中的结果可以计算出合适两种灯消费一样，再根据图象，即可得到何时节能灯省钱，何时白炽灯省钱．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1，当0BQ=t，BC=4，
∴S=12×4×t=2t；
如图2，当3，
AQ=t−3，
则BQ=3−(t−3)=6−t，
∴S=12×4×(6−t)=12−2t；
(2)如图3，
∵QP的垂直平分线过A，
∴AP=AQ，
∴3−t=t，解得t=1.5；
或t−3=t，显然不成立；
∴AP=AQ=1.5．
【解析】(1)分0(2)根据线段的垂直平分线的性质求出AP=AQ，得出3−t=t，求出即可；
本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形面积，熟练掌握三角形面积公式和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分