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重庆市2020-2021学年高一下学期期末联合检测数学试卷（康德卷）（解析版）
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这是一份重庆市2020-2021学年高一下学期期末联合检测数学试卷（康德卷）（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市康德卷高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣4，m），∥，则实数m＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．已知复数z满足2z+iz＝10，则z＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．4+2i D．4﹣2i
3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面的对角线中与直线AC1垂直的有（ ）
A．0条 B．3条 C．6条 D．12条
4．甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人．接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（ ）
A．10人 B．12人 C．18人 D．24人
6．已知运动员甲每次射击中目标的概率为，运动员乙每次射击中目标的概率为，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，BC＝，且tan∠ABC＝，则四面体P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．15π B．17π C．18π D．20π
8．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝120°，AB＝4，AD＝2，CD＝3，E，F分别为BC，CD的中点，则＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱所在直线必交于一点
D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台
10．关于平面非零向量，，，下列说法错误的是（ ）
A．若＞0，则与的夹角为锐角
B．若（）＝•（），则∥
C．若||＞||，则||＞||
D．若+2+3＝，则（）∥（）
11．已知非零复数z1，z2满足z1z2∈R，则（ ）
A．z1＝ B．∈R C．∈R D．z1+z2∈R
12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E为棱AB上的动点（不包含端点），则（ ）
A．四面体E﹣DCD1的体积恒为
B．直线D1E与平面BCC1B1所成角一定小于
C．存在点E使得D1E∥平面A1BC1
D．存在点E使得D1E⊥DB1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为 ．
14．已知△ABC的面积为3，且＝6，则B＝ ．
15．如图，△O'A'B'是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，则△OAB的面积为 ．
16．在等边三角形ABC中，＝2，＝2，P为线段AE上一点，且＝，则实数λ的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
18．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（x＞y）．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝．
（1）求A；
（2）若a＝，且___，求△ABC的周长．
在①△ABC的面积为3，②cosB＝这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答．
20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1D1，DC，CC1的中点．
（1）求证：AC1∥平面DPB；
（2）求证：MN⊥平面DPB．
21．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PA＝2，E是棱AP上靠近点P的三等分点，F是棱PC的中点．
（1）求异面直线BF与PD所成角的余弦值；
（2）求四面体P﹣EBF的体积．
22．自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏．在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下．
组别
分组
频数
频率
第1组
[20，30）
4
0.08
第2组
[30，40）
a
第3组
[40，50）
20
b
第4组
[50，60）
0.32
第5组
[60，70）
4
0.08
合计
50
1.00
（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣4，m），∥，则实数m＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案．
解：根据题意，向量＝（2，﹣1），＝（﹣4，m），
若∥，则有2m＝（﹣1）×（﹣4）＝4，解可得m＝2；
故选：C．
2．已知复数z满足2z+iz＝10，则z＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．4+2i D．4﹣2i
【分析】利用复数的除法运算求解即可．
解：因为2z+iz＝10，
则．
故选：D．
3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面的对角线中与直线AC1垂直的有（ ）
A．0条 B．3条 C．6条 D．12条
【分析】连接AC，能推导出BD、A1B，A1D，B1D1，B1D，C1D都与AC1垂直．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，由此能求出结果．
解：如图，连接AC，则BD⊥AC，
在正方体ABCD﹣AA1B1C1D1中，
∵C1C⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴C1C⊥BD，
又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，
∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD．
同样A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C都与AC1垂直．
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，
故正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共24条，其中与体对角线AC1垂直的有6条．
故选：C．
4．甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用捆绑法求出甲乙两人恰好相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算概率．
解：甲、乙、丙三位同学随机站成一排，共有种排法，其中甲乙两人恰好相邻共有种排法．
所以甲乙两人恰好相邻的概率为．
故选：D．
5．为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人．接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（ ）
A．10人 B．12人 C．18人 D．24人
【分析】根据题意求出抽样比例为1：4，再求出“非常了解”的人数．
解：等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人，采用分层抽样法抽取“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，
所以“基本了解”的人数比“不了解”的人数多抽取了2人，抽样比例为1：4；
因为样本中“非常了解”的有6人，
所以该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为6×4＝24（人）．
故选：D．
6．已知运动员甲每次射击中目标的概率为，运动员乙每次射击中目标的概率为，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，甲乙恰有一人击中目标，即甲击中而乙没有击中或甲没有击中而乙击中，由此计算可得答案．
解：根据题意，甲每次射击中目标的概率为，则甲没有击中的概率为1﹣＝，
运动员乙每次射击中目标的概率为，则乙没有击中的概率为1﹣＝，
甲乙恰有一人击中目标，即甲击中而乙没有击中或甲没有击中而乙击中，则其概率P＝×+×＝；
故选：C．
7．已知四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，BC＝，且tan∠ABC＝，则四面体P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．15π B．17π C．18π D．20π
【分析】由已知求解三角形可得△ABC外接圆的半径，再由勾股定理求四面体P﹣ABC的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
解：如图，
在△ABC中，由tan∠ABC＝，求得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝，
得AC＝3，
设△ABC外接圆的半径为r，则r＝，
设△ABC的外心为O1，四面体P﹣ABC的外接球的球心为O，连接OO1，OA，
则OA为四面体P﹣ABC的外接球的半径，满足＝
＝，
∴四面体P﹣ABC的外接球的表面积为4π×．
故选：B．
8．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝120°，AB＝4，AD＝2，CD＝3，E，F分别为BC，CD的中点，则＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
【分析】＝•＝（﹣）•（+），再进行运算即可．
解：如图所示：
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴＝，
∵AB∥CD，∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°，
又∵AB＝4，AD＝2，CD＝3，
∴＝•＝（﹣）•（+）＝（•+•﹣﹣•）
＝[4×2×（﹣）+4×3﹣4﹣2×3×（﹣）]＝．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱所在直线必交于一点
D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台
【分析】直接利用棱柱和棱台的定义判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱，像两个倒扣的棱柱符合这种情况，但是不叫棱柱，故A错误；
对于B：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；
对于C：棱台是由棱锥截成的，故各个侧棱一定相交于一点，故C正确；
对于D：有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台，与棱台的定义不符，故D错误；
故选：BC．
10．关于平面非零向量，，，下列说法错误的是（ ）
A．若＞0，则与的夹角为锐角
B．若（）＝•（），则∥
C．若||＞||，则||＞||
D．若+2+3＝，则（）∥（）
【分析】直接利用平面向量的数量积，向量的共线，向量的线性运算的应用，向量的模的应用判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：若＞0，则与的夹角为锐角或向量的方向相同，故A错误；
对于B：当时，，故，，故，当，时，，故B正确；
对于C：||＞||，不能判定||＞||，故C错误；
对于D：若+2+3＝，则，故（）∥（），故D正确；
故选：AC．
11．已知非零复数z1，z2满足z1z2∈R，则（ ）
A．z1＝ B．∈R C．∈R D．z1+z2∈R
【分析】设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），利用复数相等、共轭复数的定义、复数的乘法和除法运算依次判断四个选项即可．
解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），
则z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i∈R，
所以ad+bc＝0，
对于A，z1＝，则a+bi＝c﹣di，所以a＝c，b＝﹣d，
因为ad+bc＝0不能确定a＝c，b＝﹣d，故选项A错误；
对于B，∈R，故选项B正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，z1+z2＝（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i不一定是实数，故选项D错误．
故选：BC．
12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E为棱AB上的动点（不包含端点），则（ ）
A．四面体E﹣DCD1的体积恒为
B．直线D1E与平面BCC1B1所成角一定小于
C．存在点E使得D1E∥平面A1BC1
D．存在点E使得D1E⊥DB1
【分析】利用线面平行可得，点E到平面DD1C的距离即为直线AB到平面DD1C的距离AD，由锥体的体积公式即可判断选项A，由面面平行可得，D1E与平面BCC1B1所成的角即为D1E与平面ADD1A1所成的角∠ED1A，利用正切函数的单调性即可判断选项B，若D1E∥平面A1BC1，则推导出AB∥平面A1BC1，产生矛盾，即可判断选项C，若D1E⊥DB1，则DB1⊥平面D1AE，可推导出DB1⊥DC，产生矛盾，即可判断选项D．
解：对于A，因为AB//CD，AB⊄平面DCD1，CD⊂平面DCD1，
则AB∥平面DCD1，
故点E到平面DD1C的距离即为直线AB到平面DD1C的距离AD，
则，
故选项A正确；
对于B，因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
所以D1E与平面BCC1B1所成的角即为D1E与平面ADD1A1所成的角∠ED1A，
故tan∠ED1A＝，
所以∠ED1A＜，
故选项B正确；
对于C，因为D1A∥BC1，且D1A⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，
若D1E∥平面A1BC1，则平面D1AE∥平面A1BC1，
所以AB∥平面A1BC1，故产生矛盾，
故选项C错误；
因为D1A⊥A1D，D1A⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以D1A⊥平面A1B1D，
又DB1⊂平面A1B1D，
所以D1A⊥DB1，
若D1E⊥DB1，则DB1⊥平面D1AE，
又AB⊂平面D1AE，故DB1⊥AB，即DB1⊥DC，产生矛盾，
故选项D错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为 243 ．
【分析】把数据从小到大排序，找到第8个、第9个数据，计算平均数．
解：共10个数，所以第80百分位数为第8个、第9个数据的平均数．
即242，244的平均数，计算得243．
故答案为：243．
14．已知△ABC的面积为3，且＝6，则B＝ ．
【分析】设||＝c，||＝a，根据题意列方程组，可解决此题．
解：设||＝c，||＝a，根据题意列方程组，
两式相除得﹣tanB＝，∴tanB＝1，∴B＝．
故答案为：．
15．如图，△O'A'B'是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，则△OAB的面积为 ．
【分析】过B'分别作y'，x'轴的平行线，且交x'，y'轴于点M，N，求出O'N，O'M的长度，从而得到原坐标系中点A，B的坐标，再求出三角形的面积．
解：过B'分别作y'，x'轴的平行线，且交x'，y'轴于点M，N，
∴，O'M＝2，
∴在原坐标系xOy中，点，点A（2，0），
∴．
故答案为：．
16．在等边三角形ABC中，＝2，＝2，P为线段AE上一点，且＝，则实数λ的值为 ﹣ ．
【分析】因为P点在AE上，所以可设＝k，再利用题目中已知条件，构造出k和λ的关系式子，由平面向量的基本定理可知系数唯一，解关于k和λ的二元一次方程组．
解：由题＝2⇒﹣＝2﹣2⇒＝﹣，
＝2⇒＝．
∴＝﹣＝﹣，
又∵＝+＝﹣+（+），
代入＝﹣，
∴＝﹣+＝（+λ）﹣，
∵P点在AE上，∴可设＝k，
∴＝k＝k﹣k，
则有，∴λ＝﹣．
故填﹣．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
【分析】（1）由，解得，即可得出答案．
（2）先计算|+2|2＝（+2）2，再开方即可得出答案．
解：（1）由题知，
，
即8﹣18cosθ﹣18＝﹣19，
所以，
又因为θ∈[0°，180°），
所以．
（2），
所以．
18．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（x＞y）．
【分析】（1）由独立事件概率公式，先求出甲一项任务都没有被分配的概率，再由对立事件公式求甲至少分配到一项任务的概率；
（2）分别列出符合条件的情况，再利用独立事件概率公式求解即可．
解：（1）记事件A为甲一项任务都没有被分配，＝，
∴组员甲至少分配到一项任务的概率为；
（2）满足x＞y即x＝3，y＝0或x＝2，y＝1，三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，
故所求概＝．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝．
（1）求A；
（2）若a＝，且___，求△ABC的周长．
在①△ABC的面积为3，②cosB＝这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答．
【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理和正弦定理，即可求解．
（2）选①，由△ABC的面积为3，可得bc＝，再结合余弦定理，可得b+c＝2+，即可求解．
选②，根据已知条件，结合三角函数的同角公式，可得sinB的值，运用正弦定理，即可求b＝2，再结合余弦定理，即可求解．
解：（1）∵tanB＝，
又∵由余弦定理，可得b2+c2﹣a2＝2bccosA，a2+c2﹣b2＝2accosB，由正弦定理，可得，
∴tanB＝＝，
∵B∈（0，π），A∈（0，π），
∴tanB≠0，tanA＝﹣1，即A＝．
（2）∵a＝，A＝，
∴由余弦定理，可得b2+c2+＝a2＝34，
选①△ABC的面积为3，
∵△ABC的面积为3，
∴S＝，即bc＝，
联立，可得b2+c2＝22，
∴b+c＝，
∴周长为．
选②cosB＝，
∵cosB＝，B∈（0，π），
∴，
由正弦定理，即b＝，
将b＝2代入b2+c2+＝a2＝34，解得c＝，
∴周长为．
20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1D1，DC，CC1的中点．
（1）求证：AC1∥平面DPB；
（2）求证：MN⊥平面DPB．
【分析】（1）设AC∩BD＝O，可得OP//AC1，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）推导出MN⊥DB，MN⊥DP，利用线面垂直的判定定理即可得证．
【解答】证明：（1）设AC∩BD＝O，则O为AC中点，
又P为CC1的中点，∴OP//AC1，
又OP⊂平面DPB，AC1⊄平面DPB，
∴AC1//平面DPB；
（2）连接D1N，在正方形DCC1D1中，∵N，P为DC，CC1中点，
∴DN＝CP，D1D＝DC，∠D1DN＝∠DCP＝90°，
∴△D1DN≌△DCP，∴∠DD1N＝∠CDP，
又∠DD1N+∠DND1＝90°，∴∠CDP+∠DND1＝90°，∴D1N⊥DP，
又MD1⊥平面DCC1D1，∴MD1⊥DP，
又D1N∩MD1＝D1，D1N，MD1⊂平面MD1N，
∴DP⊥平面MD1N，∵MN⊂平面MD1N，∴DP⊥MN，
过M作MM1⊥AD于M1，连接M1N，则MM1⊥平面ABCD，
且M1为AD中点，∴MM1⊥DB，M1N⊥DB，
∵MM1∩M1N＝M1，MM1，M1N⊂平面MM1N，
∴DB⊥平面MM1N，∴DB⊥MN，
∵DB∩DP＝D，DB，DP⊂平面DPB，
∴MN⊥平面DPB．
21．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PA＝2，E是棱AP上靠近点P的三等分点，F是棱PC的中点．
（1）求异面直线BF与PD所成角的余弦值；
（2）求四面体P﹣EBF的体积．
【分析】（1）取CD中点G，连接FG，即可得到∠GFB即为异面直线BF与PD的夹角，利用余弦定理，即可求得异面直线夹角的余弦值；
（2）根据几何体特征得到VP﹣EBF＝，即可求得体积．
解：（1）取CD中点G，连接FG，则FG∥PD，
则∠GFB即为异面直线BF与PD的夹角，
因为P﹣ABCD为正四棱锥，AB＝PA＝2，
所以FG＝1，BG＝，BF＝，
所以cos∠GFB＝||＝||＝，
即异面直线BF与PD所成角的余弦值为；
（2）VP﹣EBF＝VF﹣PEB＝＝＝，
因为VP﹣ABC＝＝＝，
所以VP﹣EBF＝＝＝．
22．自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏．在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下．
组别
分组
频数
频率
第1组
[20，30）
4
0.08
第2组
[30，40）
a
第3组
[40，50）
20
b
第4组
[50，60）
0.32
第5组
[60，70）
4
0.08
合计
50
1.00
（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．
【分析】（1）利用频率与频数的关系、频率直方图纵坐标的含义、平均数的计算公式进行分析求解即可；
（2）由平均数和方差的计算公式分析求解即可．
解：（1）由表可知，第4组的频数为50×0.32＝16，
所以a＝50﹣4﹣20﹣16﹣4＝6，b＝，
第2组的频率为，c＝，
前50天内每天接待的顾客人数的平均数为：
25×0.08+35×0.12+45×0.40+55×0.32+65×0.08＝47；
（2）设前50天接待的顾客人数分别为x1，x2，•••，x50，
后50天接待的顾客人数分别为y1，y2，•••，y50，
则由（1）可知，前50天的平均数，方差＝104，
后50天的平均数为，方差＝100，
故这100天的平均数为，
所以＝
＝
＝
＝，
同理可得＝，
这100天的方差，
由以上三个式子可得，
＝
＝
＝106．
2020-2021学年重庆市康德卷高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣4，m），∥，则实数m＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．已知复数z满足2z+iz＝10，则z＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．4+2i D．4﹣2i
3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面的对角线中与直线AC1垂直的有（ ）
A．0条 B．3条 C．6条 D．12条
4．甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人．接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（ ）
A．10人 B．12人 C．18人 D．24人
6．已知运动员甲每次射击中目标的概率为，运动员乙每次射击中目标的概率为，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，BC＝，且tan∠ABC＝，则四面体P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．15π B．17π C．18π D．20π
8．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝120°，AB＝4，AD＝2，CD＝3，E，F分别为BC，CD的中点，则＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱所在直线必交于一点
D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台
10．关于平面非零向量，，，下列说法错误的是（ ）
A．若＞0，则与的夹角为锐角
B．若（）＝•（），则∥
C．若||＞||，则||＞||
D．若+2+3＝，则（）∥（）
11．已知非零复数z1，z2满足z1z2∈R，则（ ）
A．z1＝ B．∈R C．∈R D．z1+z2∈R
12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E为棱AB上的动点（不包含端点），则（ ）
A．四面体E﹣DCD1的体积恒为
B．直线D1E与平面BCC1B1所成角一定小于
C．存在点E使得D1E∥平面A1BC1
D．存在点E使得D1E⊥DB1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为 ．
14．已知△ABC的面积为3，且＝6，则B＝ ．
15．如图，△O'A'B'是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，则△OAB的面积为 ．
16．在等边三角形ABC中，＝2，＝2，P为线段AE上一点，且＝，则实数λ的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
18．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（x＞y）．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝．
（1）求A；
（2）若a＝，且___，求△ABC的周长．
在①△ABC的面积为3，②cosB＝这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答．
20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1D1，DC，CC1的中点．
（1）求证：AC1∥平面DPB；
（2）求证：MN⊥平面DPB．
21．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PA＝2，E是棱AP上靠近点P的三等分点，F是棱PC的中点．
（1）求异面直线BF与PD所成角的余弦值；
（2）求四面体P﹣EBF的体积．
22．自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏．在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下．
组别
分组
频数
频率
第1组
[20，30）
4
0.08
第2组
[30，40）
a
第3组
[40，50）
20
b
第4组
[50，60）
0.32
第5组
[60，70）
4
0.08
合计
50
1.00
（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣4，m），∥，则实数m＝（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案．
解：根据题意，向量＝（2，﹣1），＝（﹣4，m），
若∥，则有2m＝（﹣1）×（﹣4）＝4，解可得m＝2；
故选：C．
2．已知复数z满足2z+iz＝10，则z＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．4+2i D．4﹣2i
【分析】利用复数的除法运算求解即可．
解：因为2z+iz＝10，
则．
故选：D．
3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面的对角线中与直线AC1垂直的有（ ）
A．0条 B．3条 C．6条 D．12条
【分析】连接AC，能推导出BD、A1B，A1D，B1D1，B1D，C1D都与AC1垂直．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，由此能求出结果．
解：如图，连接AC，则BD⊥AC，
在正方体ABCD﹣AA1B1C1D1中，
∵C1C⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴C1C⊥BD，
又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，
∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD．
同样A1B，A1D，B1D1，CD1，B1C都与AC1垂直．
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，
故正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共24条，其中与体对角线AC1垂直的有6条．
故选：C．
4．甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用捆绑法求出甲乙两人恰好相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算概率．
解：甲、乙、丙三位同学随机站成一排，共有种排法，其中甲乙两人恰好相邻共有种排法．
所以甲乙两人恰好相邻的概率为．
故选：D．
5．为迎接北京2022年冬奥会，推广冰上运动，某班体育老师调查了全班同学对冰上运动项目的了解程度，调查结果分为三个等级：“不了解”“基本了解”和“非常了解”，其中等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人．接下来，该体育老师采用分层抽样的方法从全班同学中抽取部分同学参加冰壶运动的体验活动，参加体验活动的同学中对冰上运动项目“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，“非常了解”的有6人，那么该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为（ ）
A．10人 B．12人 C．18人 D．24人
【分析】根据题意求出抽样比例为1：4，再求出“非常了解”的人数．
解：等级为“基本了解”的人数比等级为“不了解”的人数多8人，采用分层抽样法抽取“不了解”的有1人，“基本了解”的有3人，
所以“基本了解”的人数比“不了解”的人数多抽取了2人，抽样比例为1：4；
因为样本中“非常了解”的有6人，
所以该班全体同学中对冰上运动项目“非常了解”的人数为6×4＝24（人）．
故选：D．
6．已知运动员甲每次射击中目标的概率为，运动员乙每次射击中目标的概率为，若两人各射击一次，且两人是否击中目标相互独立，则恰有一人击中目标的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，甲乙恰有一人击中目标，即甲击中而乙没有击中或甲没有击中而乙击中，由此计算可得答案．
解：根据题意，甲每次射击中目标的概率为，则甲没有击中的概率为1﹣＝，
运动员乙每次射击中目标的概率为，则乙没有击中的概率为1﹣＝，
甲乙恰有一人击中目标，即甲击中而乙没有击中或甲没有击中而乙击中，则其概率P＝×+×＝；
故选：C．
7．已知四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，BC＝，且tan∠ABC＝，则四面体P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．15π B．17π C．18π D．20π
【分析】由已知求解三角形可得△ABC外接圆的半径，再由勾股定理求四面体P﹣ABC的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
解：如图，
在△ABC中，由tan∠ABC＝，求得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝，
得AC＝3，
设△ABC外接圆的半径为r，则r＝，
设△ABC的外心为O1，四面体P﹣ABC的外接球的球心为O，连接OO1，OA，
则OA为四面体P﹣ABC的外接球的半径，满足＝
＝，
∴四面体P﹣ABC的外接球的表面积为4π×．
故选：B．
8．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝120°，AB＝4，AD＝2，CD＝3，E，F分别为BC，CD的中点，则＝（ ）
A． B．﹣3 C． D．
【分析】＝•＝（﹣）•（+），再进行运算即可．
解：如图所示：
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴＝，
∵AB∥CD，∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°，
又∵AB＝4，AD＝2，CD＝3，
∴＝•＝（﹣）•（+）＝（•+•﹣﹣•）
＝[4×2×（﹣）+4×3﹣4﹣2×3×（﹣）]＝．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱所在直线必交于一点
D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台
【分析】直接利用棱柱和棱台的定义判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱，像两个倒扣的棱柱符合这种情况，但是不叫棱柱，故A错误；
对于B：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；
对于C：棱台是由棱锥截成的，故各个侧棱一定相交于一点，故C正确；
对于D：有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台，与棱台的定义不符，故D错误；
故选：BC．
10．关于平面非零向量，，，下列说法错误的是（ ）
A．若＞0，则与的夹角为锐角
B．若（）＝•（），则∥
C．若||＞||，则||＞||
D．若+2+3＝，则（）∥（）
【分析】直接利用平面向量的数量积，向量的共线，向量的线性运算的应用，向量的模的应用判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：若＞0，则与的夹角为锐角或向量的方向相同，故A错误；
对于B：当时，，故，，故，当，时，，故B正确；
对于C：||＞||，不能判定||＞||，故C错误；
对于D：若+2+3＝，则，故（）∥（），故D正确；
故选：AC．
11．已知非零复数z1，z2满足z1z2∈R，则（ ）
A．z1＝ B．∈R C．∈R D．z1+z2∈R
【分析】设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），利用复数相等、共轭复数的定义、复数的乘法和除法运算依次判断四个选项即可．
解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），
则z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i∈R，
所以ad+bc＝0，
对于A，z1＝，则a+bi＝c﹣di，所以a＝c，b＝﹣d，
因为ad+bc＝0不能确定a＝c，b＝﹣d，故选项A错误；
对于B，∈R，故选项B正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，z1+z2＝（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i不一定是实数，故选项D错误．
故选：BC．
12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E为棱AB上的动点（不包含端点），则（ ）
A．四面体E﹣DCD1的体积恒为
B．直线D1E与平面BCC1B1所成角一定小于
C．存在点E使得D1E∥平面A1BC1
D．存在点E使得D1E⊥DB1
【分析】利用线面平行可得，点E到平面DD1C的距离即为直线AB到平面DD1C的距离AD，由锥体的体积公式即可判断选项A，由面面平行可得，D1E与平面BCC1B1所成的角即为D1E与平面ADD1A1所成的角∠ED1A，利用正切函数的单调性即可判断选项B，若D1E∥平面A1BC1，则推导出AB∥平面A1BC1，产生矛盾，即可判断选项C，若D1E⊥DB1，则DB1⊥平面D1AE，可推导出DB1⊥DC，产生矛盾，即可判断选项D．
解：对于A，因为AB//CD，AB⊄平面DCD1，CD⊂平面DCD1，
则AB∥平面DCD1，
故点E到平面DD1C的距离即为直线AB到平面DD1C的距离AD，
则，
故选项A正确；
对于B，因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
所以D1E与平面BCC1B1所成的角即为D1E与平面ADD1A1所成的角∠ED1A，
故tan∠ED1A＝，
所以∠ED1A＜，
故选项B正确；
对于C，因为D1A∥BC1，且D1A⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，
若D1E∥平面A1BC1，则平面D1AE∥平面A1BC1，
所以AB∥平面A1BC1，故产生矛盾，
故选项C错误；
因为D1A⊥A1D，D1A⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以D1A⊥平面A1B1D，
又DB1⊂平面A1B1D，
所以D1A⊥DB1，
若D1E⊥DB1，则DB1⊥平面D1AE，
又AB⊂平面D1AE，故DB1⊥AB，即DB1⊥DC，产生矛盾，
故选项D错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某工厂对一批产品的净重（单位：克）进行抽样调查得到样本数据：230，235，237，238，238，239，240，242，244，246，据此估计这批产品的第80百分位数为 243 ．
【分析】把数据从小到大排序，找到第8个、第9个数据，计算平均数．
解：共10个数，所以第80百分位数为第8个、第9个数据的平均数．
即242，244的平均数，计算得243．
故答案为：243．
14．已知△ABC的面积为3，且＝6，则B＝ ．
【分析】设||＝c，||＝a，根据题意列方程组，可解决此题．
解：设||＝c，||＝a，根据题意列方程组，
两式相除得﹣tanB＝，∴tanB＝1，∴B＝．
故答案为：．
15．如图，△O'A'B'是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，则△OAB的面积为 ．
【分析】过B'分别作y'，x'轴的平行线，且交x'，y'轴于点M，N，求出O'N，O'M的长度，从而得到原坐标系中点A，B的坐标，再求出三角形的面积．
解：过B'分别作y'，x'轴的平行线，且交x'，y'轴于点M，N，
∴，O'M＝2，
∴在原坐标系xOy中，点，点A（2，0），
∴．
故答案为：．
16．在等边三角形ABC中，＝2，＝2，P为线段AE上一点，且＝，则实数λ的值为 ﹣ ．
【分析】因为P点在AE上，所以可设＝k，再利用题目中已知条件，构造出k和λ的关系式子，由平面向量的基本定理可知系数唯一，解关于k和λ的二元一次方程组．
解：由题＝2⇒﹣＝2﹣2⇒＝﹣，
＝2⇒＝．
∴＝﹣＝﹣，
又∵＝+＝﹣+（+），
代入＝﹣，
∴＝﹣+＝（+λ）﹣，
∵P点在AE上，∴可设＝k，
∴＝k＝k﹣k，
则有，∴λ＝﹣．
故填﹣．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
【分析】（1）由，解得，即可得出答案．
（2）先计算|+2|2＝（+2）2，再开方即可得出答案．
解：（1）由题知，
，
即8﹣18cosθ﹣18＝﹣19，
所以，
又因为θ∈[0°，180°），
所以．
（2），
所以．
18．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
（1）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（2）设甲、乙两人分配到的任务数分别为x项和y项，求P（x＞y）．
【分析】（1）由独立事件概率公式，先求出甲一项任务都没有被分配的概率，再由对立事件公式求甲至少分配到一项任务的概率；
（2）分别列出符合条件的情况，再利用独立事件概率公式求解即可．
解：（1）记事件A为甲一项任务都没有被分配，＝，
∴组员甲至少分配到一项任务的概率为；
（2）满足x＞y即x＝3，y＝0或x＝2，y＝1，三项任务的具体分配对象依次为：甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，
故所求概＝．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝．
（1）求A；
（2）若a＝，且___，求△ABC的周长．
在①△ABC的面积为3，②cosB＝这两个条件中任选一个，补充在上面空白处，并完成解答．
【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理和正弦定理，即可求解．
（2）选①，由△ABC的面积为3，可得bc＝，再结合余弦定理，可得b+c＝2+，即可求解．
选②，根据已知条件，结合三角函数的同角公式，可得sinB的值，运用正弦定理，即可求b＝2，再结合余弦定理，即可求解．
解：（1）∵tanB＝，
又∵由余弦定理，可得b2+c2﹣a2＝2bccosA，a2+c2﹣b2＝2accosB，由正弦定理，可得，
∴tanB＝＝，
∵B∈（0，π），A∈（0，π），
∴tanB≠0，tanA＝﹣1，即A＝．
（2）∵a＝，A＝，
∴由余弦定理，可得b2+c2+＝a2＝34，
选①△ABC的面积为3，
∵△ABC的面积为3，
∴S＝，即bc＝，
联立，可得b2+c2＝22，
∴b+c＝，
∴周长为．
选②cosB＝，
∵cosB＝，B∈（0，π），
∴，
由正弦定理，即b＝，
将b＝2代入b2+c2+＝a2＝34，解得c＝，
∴周长为．
20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1D1，DC，CC1的中点．
（1）求证：AC1∥平面DPB；
（2）求证：MN⊥平面DPB．
【分析】（1）设AC∩BD＝O，可得OP//AC1，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）推导出MN⊥DB，MN⊥DP，利用线面垂直的判定定理即可得证．
【解答】证明：（1）设AC∩BD＝O，则O为AC中点，
又P为CC1的中点，∴OP//AC1，
又OP⊂平面DPB，AC1⊄平面DPB，
∴AC1//平面DPB；
（2）连接D1N，在正方形DCC1D1中，∵N，P为DC，CC1中点，
∴DN＝CP，D1D＝DC，∠D1DN＝∠DCP＝90°，
∴△D1DN≌△DCP，∴∠DD1N＝∠CDP，
又∠DD1N+∠DND1＝90°，∴∠CDP+∠DND1＝90°，∴D1N⊥DP，
又MD1⊥平面DCC1D1，∴MD1⊥DP，
又D1N∩MD1＝D1，D1N，MD1⊂平面MD1N，
∴DP⊥平面MD1N，∵MN⊂平面MD1N，∴DP⊥MN，
过M作MM1⊥AD于M1，连接M1N，则MM1⊥平面ABCD，
且M1为AD中点，∴MM1⊥DB，M1N⊥DB，
∵MM1∩M1N＝M1，MM1，M1N⊂平面MM1N，
∴DB⊥平面MM1N，∴DB⊥MN，
∵DB∩DP＝D，DB，DP⊂平面DPB，
∴MN⊥平面DPB．
21．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝PA＝2，E是棱AP上靠近点P的三等分点，F是棱PC的中点．
（1）求异面直线BF与PD所成角的余弦值；
（2）求四面体P﹣EBF的体积．
【分析】（1）取CD中点G，连接FG，即可得到∠GFB即为异面直线BF与PD的夹角，利用余弦定理，即可求得异面直线夹角的余弦值；
（2）根据几何体特征得到VP﹣EBF＝，即可求得体积．
解：（1）取CD中点G，连接FG，则FG∥PD，
则∠GFB即为异面直线BF与PD的夹角，
因为P﹣ABCD为正四棱锥，AB＝PA＝2，
所以FG＝1，BG＝，BF＝，
所以cos∠GFB＝||＝||＝，
即异面直线BF与PD所成角的余弦值为；
（2）VP﹣EBF＝VF﹣PEB＝＝＝，
因为VP﹣ABC＝＝＝，
所以VP﹣EBF＝＝＝．
22．自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏．在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下．
组别
分组
频数
频率
第1组
[20，30）
4
0.08
第2组
[30，40）
a
第3组
[40，50）
20
b
第4组
[50，60）
0.32
第5组
[60，70）
4
0.08
合计
50
1.00
（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．
【分析】（1）利用频率与频数的关系、频率直方图纵坐标的含义、平均数的计算公式进行分析求解即可；
（2）由平均数和方差的计算公式分析求解即可．
解：（1）由表可知，第4组的频数为50×0.32＝16，
所以a＝50﹣4﹣20﹣16﹣4＝6，b＝，
第2组的频率为，c＝，
前50天内每天接待的顾客人数的平均数为：
25×0.08+35×0.12+45×0.40+55×0.32+65×0.08＝47；
（2）设前50天接待的顾客人数分别为x1，x2，•••，x50，
后50天接待的顾客人数分别为y1，y2，•••，y50，
则由（1）可知，前50天的平均数，方差＝104，
后50天的平均数为，方差＝100，
故这100天的平均数为，
所以＝
＝
＝
＝，
同理可得＝，
这100天的方差，
由以上三个式子可得，
＝
＝
＝106．
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