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2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在数0，，，0.，010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0），3.1415，2.3%中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2 B．2a+b＝2ab
C．3a2+2a2＝5a4 D．﹣a2b+2a2b＝a2b
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
6．（3分）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．8x﹣2x＝1 C．3x+2y＝5 D．y+＝2
7．（3分）内角和为1800°的多边形的边数是（ ）
A．12 B．10 C．14 D．15
8．（3分）语句“x的与x的和超过2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，﹣8） C．（2，2） D．（2，﹣8）
10．（3分）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE．下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DE B．CE＝OE
C．∠DCO＝∠ECO D．∠1＝∠2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）49的平方根是 ．
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，请你添加一个条件 ，使△ABC≌△ADE（填一个即可）．
13．（3分）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 ．
14．（3分）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 ．
15．（3分）把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转360°，所得的几何体是 ．
16．（3分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝ °．
三、解答题（第17-19题每题6分，20、21每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）
17．（6分）．
18．（6分）先化简，再求值：2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣x）﹣2xy2﹣2y，其中x＝2，y＝﹣2．
19．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
20．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，∠BAD＝25°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．
22．（9分）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，那么有哪几种方案？
23．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于F，连接BE．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
24．（10分）我们用[a]表示大于a的最小整数，例如；[3.5]＝4，[﹣1.5]＝﹣1；用〈a〉表示小于等于a的最大整数，例如：〈2〉＝2，〈﹣0.5〉＝﹣1．请根据此定义解决下列问题：
（1）[2.5]＝ ，〈﹣1.8〉＝ ，若[x]＝1，则x的取值范围为 ．
（2）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
（3）解方程：．
25．（10分）等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，a），点B（b，0），且a和b满足|a﹣1|+＝0，点C在第四象限．
（1）请直接写出点A和点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）①若AC交x轴于M，BC交y轴于D，E是AC上一点，且CE＝AM，连DM，求证：AD+DE＝BM；
②在y轴上取点F（0，﹣3），点H是y轴上F下方任一点，作HG⊥BH交射线CF于G，在点H位置变化的过程中，是否为定值，若是，求其值，若不是，说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）在数0，，，0.，010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0），3.1415，2.3%中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；0.是循环小数，属于有理数；3.1415是有限小数，属于有理数；2.3%是分数，属于有理数；
∴无理数只有，010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）共2个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝55°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2 B．2a+b＝2ab
C．3a2+2a2＝5a4 D．﹣a2b+2a2b＝a2b
【分析】根据合并同类项的法则，合并同类项是把同类项系数相加减而字母和字母的指数不变，即可解答．
【解答】解：A、2a﹣a＝a，故错误；
B、2a与b不是同类项，故错误；
C、3a2+2a2＝5a2，故错误；
D、正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周长＝AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，
∵AE＝4cm，
∴AC＝2AE＝2×4＝8cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14+8＝22cm．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长＝AB+BC是解题的关键．
6．（3分）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．8x﹣2x＝1 C．3x+2y＝5 D．y+＝2
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键．
7．（3分）内角和为1800°的多边形的边数是（ ）
A．12 B．10 C．14 D．15
【分析】根据多边形内角和公式直接可以求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
180（n﹣2）＝1800，
解得：n＝12．
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形内角和公式，属于常规题型．
8．（3分）语句“x的与x的和超过2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据“x的与x的和超过2”，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：依题意得：x+x＞2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，﹣8） C．（2，2） D．（2，﹣8）
【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出点P对应点的坐标即可得解．
【解答】解：点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的点的坐标为（﹣1+3，﹣3+5），即（2，2），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
10．（3分）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE．下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DE B．CE＝OE
C．∠DCO＝∠ECO D．∠1＝∠2
【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：由作图可知，在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠DCO＝∠ECO，∠1＝∠2，
∵OD＝OE，CD＝CE，
∴OC垂直平分线段DE，
故A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）49的平方根是 ±7 ．
【分析】根据平方根的定义解答．
【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，请你添加一个条件 ∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED ，使△ABC≌△ADE（填一个即可）．
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要按判定全等的方法逐个验证．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，BC＝DE，
添加∠B＝∠D，利用AAS得出△ABC≌△ADE；
添加∠ACB＝∠AED，利用AAS得出△ABC≌△ADE；
故答案为：∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
13．（3分）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 2×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109．
故答案为：2×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 12或14 ．
【分析】先求出第三边的取值范围．可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长，即可得出三角形的周长．
【解答】解：设第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
又∵x为偶数，
∴x＝4或6，
∴三角形的周长为12或14，
故答案为：12或14．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系的运用．解题时注意三角形的三边关系．
15．（3分）把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转360°，所得的几何体是 圆锥 ．
【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案．
【解答】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥．
故答案为：圆锥．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．
16．（3分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝ 50 °．
【分析】先利用平行线的性质得∠DEF＝65°，然后根据折叠的性质可计算出∠FED′＝65°，然后利用平角定义计算∠AED′的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，
∴∠FED′＝∠DEF＝65°．
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为50．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
三、解答题（第17-19题每题6分，20、21每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）
17．（6分）．
【分析】先计算平方根、乘方和绝对值运算，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝|﹣1|+3+（﹣1）+3﹣
＝1+3﹣1+3﹣
＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣x）﹣2xy2﹣2y，其中x＝2，y＝﹣2．
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝2x2y+2xy2﹣2x2y+2x﹣2xy2﹣2y
＝2x﹣2y，
当x＝2，y＝﹣2时，
原式＝2×2﹣2×（﹣2）
＝4+4
＝8．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
19．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
【分析】（1）根据a*b＝a2﹣2ab，求出2*（﹣3）的值是多少即可．
（2）根据（﹣4）*x＝﹣2﹣x，可得16+8x＝﹣2﹣x，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）2*（﹣3）＝22﹣2×2×（﹣3）＝4+12＝16；
（2）∵（﹣4）*x＝﹣2﹣x，
∴16+8x＝﹣2﹣x，
8x+x＝﹣2﹣16，
9x＝﹣18，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次方程以及有理数的混合运算，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答（2）的关键．
20．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【分析】（1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值；
（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，
故总人数有12÷20%＝60人，
∴m＝15÷60×100%＝25%
n＝9÷60×100%＝15%；
（2）选D的有60﹣12﹣15﹣9﹣6＝18人，
故条形统计图补充为：
（3）估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1200×25%＝300人．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，∠BAD＝25°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．
【分析】（1）则题意可得∠ABE＝45°﹣30°＝15°，由外角的性质可得∠BED＝∠ABE+∠BAD，即可求得答案；
（2）根据三角形中线的性质可得S△BED＝S△ABD＝S△ABC＝＝，再根据面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，
∴∠ABE＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+25°＝40°．
（2）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF为△BED的高，
∴S△BED＝S△ABD＝S△ABC＝＝，
又S△BED＝＝，EF＝5，
∴BD＝CD＝3．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质及中线的性质是解题关键．
22．（9分）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，那么有哪几种方案？
【分析】（1）设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个小型图书馆需要y万元，根据建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元，列方程组求解．
（2）设建立中型图书馆a个，根据要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，列出不等式组求解．
【解答】解：（1）设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个小型图书馆需要y万元，
根据题意列方程组：．
解得：．
答：建立每个中型图书馆需要5万元，建立每个小型图书馆需要3万元．
（2）设建立中型图书馆a个，
根据题意得：．
解得：5≤a≤7．
∵a取正整数，
∴a＝5，6，7．
∴10﹣a＝5，4，3
答：一共有3种方案：
方案一：中型图书馆5个，小型图书馆5个；
方案二：中型图书馆6个，小型图书馆4个；
方案三：中型图书馆7个，小型图书馆3个．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组或不等式组求解．
23．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于F，连接BE．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
【分析】（1）可通过说明△ADE≌△FCE，证明CF＝AD；
（2）证明AB＝BF，AE＝EF，由等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE．
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE．
在△ADE和△FCE中
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD．
（2）∵CF＝AD，AB＝BC+AD，
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∴BE⊥AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
24．（10分）我们用[a]表示大于a的最小整数，例如；[3.5]＝4，[﹣1.5]＝﹣1；用〈a〉表示小于等于a的最大整数，例如：〈2〉＝2，〈﹣0.5〉＝﹣1．请根据此定义解决下列问题：
（1）[2.5]＝ 3 ，〈﹣1.8〉＝ ﹣2 ，若[x]＝1，则x的取值范围为 0≤x＜1 ．
（2）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
（3）解方程：．
【分析】（1）根据[a]和〈a〉的定义分别得出〈﹣1.8〉与[2.5]的值以及x的取值范围即可；
（2）首先解方程组，进而同（1）得出x、y的取值范围即可；
（3）由[a]解方程即可．
【解答】解：（1）∵[a]用表示大于a的最小整数，
∴[2.5]＝3，
∵〈a〉表示小于等于a的最大整数，
∴〈﹣1.8〉＝﹣2，
∵[x]＝1，
∴x的取值范围为0≤x＜1．
故答案为：3，﹣2，0≤x＜1；
（2），
解得：，
则2≤x＜3，﹣2≤y＜﹣1；
（3）∵，
∴3x﹣0.5≤5x﹣2＜3x+0.5，
∴≤x＜，
∴＜3x+≤，
∵3x+为整数，
∴3x+＝3或4，
∴x＝或．
【点评】本题考查了取整函数，正确根据新定义得到各数的意义是解题关键．
25．（10分）等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，a），点B（b，0），且a和b满足|a﹣1|+＝0，点C在第四象限．
（1）请直接写出点A和点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）①若AC交x轴于M，BC交y轴于D，E是AC上一点，且CE＝AM，连DM，求证：AD+DE＝BM；
②在y轴上取点F（0，﹣3），点H是y轴上F下方任一点，作HG⊥BH交射线CF于G，在点H位置变化的过程中，是否为定值，若是，求其值，若不是，说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求出OA，OB的值，则可得出答案；
（2）过点C作CT⊥y轴于T．只要证明△ABO≌△CAT，可得CT＝OA＝1，AT＝OB＝3，由此即可解决问题；
（3）①如图2中，过点C作CK⊥AC交y轴于K．只要证明△ABM≌△CAK，△CDE≌△CDK即可解决问题；
②过点A作AI⊥AF交FB的延长线于I，过点H作HJ⊥BF于J，HK⊥GF于K．想办法证明△HJB≌△HKG，可得BH＝GH即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过点C作CT⊥y轴于T．
∵|a﹣1|+＝0，|a﹣1|≥0，≥0，
∴a﹣1＝0，b+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴A（0，1），B（﹣3，0）；
（2）∵A（0，1），B（﹣3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵∠AOB＝∠BAC＝∠ATC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠CAT＝90°，
∴∠ABO＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAT（AAS），
∴CT＝OA＝1，AT＝OB＝3，
∴OT＝AT＝AO＝2，
∴C（1，﹣2）．
（3）①如图2中，过点C作CK⊥AC交y轴于K．
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，AB＝AC，∠ABM＝∠CAK，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴AM＝CK，BM＝AK，
∵CE＝AM，
∴CE＝CK，
∵DC＝DC，∠DCE＝∠DCK，
∴△CDE≌△CDK（SAS），
∴DE＝DK，
∴AD+DE＝AD+DK＝AK＝BM．
②．
理由：过点A作AI⊥AF交FB的延长线于I，过点H作HJ⊥BF于J，HK⊥GF于K．
∵B（﹣3，0），F（0，﹣3），
∴OB＝OF，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴∠AFB＝45°，
∵AI⊥AF，
∴∠I＝∠AFI＝45°，
∴AI＝AF，
∵∠BAC＝∠IAF＝90°，
∴∠IAB＝∠FAC，
∵AI＝AF，AB＝AC，
∴△AIB≌△AFC（SAS），
∴∠CFA＝∠I＝45°，
∴∠BFC＝90°，
∵∠BFC＝∠CFO＝45°，
∴∠GFH＝∠HFJ＝45°，
∴HK＝HJ，
∵∠BFG＝∠BHG，
∴∠HBF＝∠HGF，
∴△HJB≌△HKG（AAS），
∴BH＝GH，
∴．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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日期：2022/1/31 21:39:54；用户：买老师高数；邮箱：15773116387；学号：29521335
2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在数0，，，0.，010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0），3.1415，2.3%中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2 B．2a+b＝2ab
C．3a2+2a2＝5a4 D．﹣a2b+2a2b＝a2b
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
6．（3分）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．8x﹣2x＝1 C．3x+2y＝5 D．y+＝2
7．（3分）内角和为1800°的多边形的边数是（ ）
A．12 B．10 C．14 D．15
8．（3分）语句“x的与x的和超过2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，﹣8） C．（2，2） D．（2，﹣8）
10．（3分）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE．下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DE B．CE＝OE
C．∠DCO＝∠ECO D．∠1＝∠2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）49的平方根是 ．
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，请你添加一个条件 ，使△ABC≌△ADE（填一个即可）．
13．（3分）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 ．
14．（3分）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 ．
15．（3分）把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转360°，所得的几何体是 ．
16．（3分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝ °．
三、解答题（第17-19题每题6分，20、21每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）
17．（6分）．
18．（6分）先化简，再求值：2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣x）﹣2xy2﹣2y，其中x＝2，y＝﹣2．
19．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
20．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，∠BAD＝25°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．
22．（9分）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，那么有哪几种方案？
23．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于F，连接BE．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
24．（10分）我们用[a]表示大于a的最小整数，例如；[3.5]＝4，[﹣1.5]＝﹣1；用〈a〉表示小于等于a的最大整数，例如：〈2〉＝2，〈﹣0.5〉＝﹣1．请根据此定义解决下列问题：
（1）[2.5]＝ ，〈﹣1.8〉＝ ，若[x]＝1，则x的取值范围为 ．
（2）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
（3）解方程：．
25．（10分）等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，a），点B（b，0），且a和b满足|a﹣1|+＝0，点C在第四象限．
（1）请直接写出点A和点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）①若AC交x轴于M，BC交y轴于D，E是AC上一点，且CE＝AM，连DM，求证：AD+DE＝BM；
②在y轴上取点F（0，﹣3），点H是y轴上F下方任一点，作HG⊥BH交射线CF于G，在点H位置变化的过程中，是否为定值，若是，求其值，若不是，说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）在数0，，，0.，010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0），3.1415，2.3%中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；0.是循环小数，属于有理数；3.1415是有限小数，属于有理数；2.3%是分数，属于有理数；
∴无理数只有，010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0）共2个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝55°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2 B．2a+b＝2ab
C．3a2+2a2＝5a4 D．﹣a2b+2a2b＝a2b
【分析】根据合并同类项的法则，合并同类项是把同类项系数相加减而字母和字母的指数不变，即可解答．
【解答】解：A、2a﹣a＝a，故错误；
B、2a与b不是同类项，故错误；
C、3a2+2a2＝5a2，故错误；
D、正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周长＝AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，
∵AE＝4cm，
∴AC＝2AE＝2×4＝8cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14+8＝22cm．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长＝AB+BC是解题的关键．
6．（3分）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．8x﹣2x＝1 C．3x+2y＝5 D．y+＝2
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键．
7．（3分）内角和为1800°的多边形的边数是（ ）
A．12 B．10 C．14 D．15
【分析】根据多边形内角和公式直接可以求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
180（n﹣2）＝1800，
解得：n＝12．
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形内角和公式，属于常规题型．
8．（3分）语句“x的与x的和超过2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据“x的与x的和超过2”，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：依题意得：x+x＞2．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（3分）点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得点的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，﹣8） C．（2，2） D．（2，﹣8）
【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出点P对应点的坐标即可得解．
【解答】解：点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的点的坐标为（﹣1+3，﹣3+5），即（2，2），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
10．（3分）按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE．下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DE B．CE＝OE
C．∠DCO＝∠ECO D．∠1＝∠2
【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：由作图可知，在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠DCO＝∠ECO，∠1＝∠2，
∵OD＝OE，CD＝CE，
∴OC垂直平分线段DE，
故A，C，D正确，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）49的平方根是 ±7 ．
【分析】根据平方根的定义解答．
【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，请你添加一个条件 ∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED ，使△ABC≌△ADE（填一个即可）．
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要按判定全等的方法逐个验证．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，BC＝DE，
添加∠B＝∠D，利用AAS得出△ABC≌△ADE；
添加∠ACB＝∠AED，利用AAS得出△ABC≌△ADE；
故答案为：∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
13．（3分）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 2×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109．
故答案为：2×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）已知一个三角形三边长分别为3，x，5，且x为偶数，则这个三角形的周长为 12或14 ．
【分析】先求出第三边的取值范围．可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长，即可得出三角形的周长．
【解答】解：设第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
又∵x为偶数，
∴x＝4或6，
∴三角形的周长为12或14，
故答案为：12或14．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系的运用．解题时注意三角形的三边关系．
15．（3分）把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转360°，所得的几何体是 圆锥 ．
【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案．
【解答】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥．
故答案为：圆锥．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．
16．（3分）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝ 50 °．
【分析】先利用平行线的性质得∠DEF＝65°，然后根据折叠的性质可计算出∠FED′＝65°，然后利用平角定义计算∠AED′的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，
∴∠FED′＝∠DEF＝65°．
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为50．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
三、解答题（第17-19题每题6分，20、21每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）
17．（6分）．
【分析】先计算平方根、乘方和绝对值运算，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝|﹣1|+3+（﹣1）+3﹣
＝1+3﹣1+3﹣
＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣x）﹣2xy2﹣2y，其中x＝2，y＝﹣2．
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝2x2y+2xy2﹣2x2y+2x﹣2xy2﹣2y
＝2x﹣2y，
当x＝2，y＝﹣2时，
原式＝2×2﹣2×（﹣2）
＝4+4
＝8．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
19．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
【分析】（1）根据a*b＝a2﹣2ab，求出2*（﹣3）的值是多少即可．
（2）根据（﹣4）*x＝﹣2﹣x，可得16+8x＝﹣2﹣x，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）2*（﹣3）＝22﹣2×2×（﹣3）＝4+12＝16；
（2）∵（﹣4）*x＝﹣2﹣x，
∴16+8x＝﹣2﹣x，
8x+x＝﹣2﹣16，
9x＝﹣18，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次方程以及有理数的混合运算，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答（2）的关键．
20．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【分析】（1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值；
（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，
故总人数有12÷20%＝60人，
∴m＝15÷60×100%＝25%
n＝9÷60×100%＝15%；
（2）选D的有60﹣12﹣15﹣9﹣6＝18人，
故条形统计图补充为：
（3）估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1200×25%＝300人．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，∠BAD＝25°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．
【分析】（1）则题意可得∠ABE＝45°﹣30°＝15°，由外角的性质可得∠BED＝∠ABE+∠BAD，即可求得答案；
（2）根据三角形中线的性质可得S△BED＝S△ABD＝S△ABC＝＝，再根据面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，
∴∠ABE＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+25°＝40°．
（2）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF为△BED的高，
∴S△BED＝S△ABD＝S△ABC＝＝，
又S△BED＝＝，EF＝5，
∴BD＝CD＝3．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质及中线的性质是解题关键．
22．（9分）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆．若建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元．
（1）建立每个中型图书馆和每个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，那么有哪几种方案？
【分析】（1）设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个小型图书馆需要y万元，根据建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元，列方程组求解．
（2）设建立中型图书馆a个，根据要建立中型图书馆和小型图书馆共10个，小型图书馆数量不多于中型图书馆数量，且总费用不超过44万元，列出不等式组求解．
【解答】解：（1）设建立每个中型图书馆需要x万元，建立每个小型图书馆需要y万元，
根据题意列方程组：．
解得：．
答：建立每个中型图书馆需要5万元，建立每个小型图书馆需要3万元．
（2）设建立中型图书馆a个，
根据题意得：．
解得：5≤a≤7．
∵a取正整数，
∴a＝5，6，7．
∴10﹣a＝5，4，3
答：一共有3种方案：
方案一：中型图书馆5个，小型图书馆5个；
方案二：中型图书馆6个，小型图书馆4个；
方案三：中型图书馆7个，小型图书馆3个．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组或不等式组求解．
23．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于F，连接BE．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
【分析】（1）可通过说明△ADE≌△FCE，证明CF＝AD；
（2）证明AB＝BF，AE＝EF，由等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论．
【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE．
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE．
在△ADE和△FCE中
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD．
（2）∵CF＝AD，AB＝BC+AD，
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∴BE⊥AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
24．（10分）我们用[a]表示大于a的最小整数，例如；[3.5]＝4，[﹣1.5]＝﹣1；用〈a〉表示小于等于a的最大整数，例如：〈2〉＝2，〈﹣0.5〉＝﹣1．请根据此定义解决下列问题：
（1）[2.5]＝ 3 ，〈﹣1.8〉＝ ﹣2 ，若[x]＝1，则x的取值范围为 0≤x＜1 ．
（2）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
（3）解方程：．
【分析】（1）根据[a]和〈a〉的定义分别得出〈﹣1.8〉与[2.5]的值以及x的取值范围即可；
（2）首先解方程组，进而同（1）得出x、y的取值范围即可；
（3）由[a]解方程即可．
【解答】解：（1）∵[a]用表示大于a的最小整数，
∴[2.5]＝3，
∵〈a〉表示小于等于a的最大整数，
∴〈﹣1.8〉＝﹣2，
∵[x]＝1，
∴x的取值范围为0≤x＜1．
故答案为：3，﹣2，0≤x＜1；
（2），
解得：，
则2≤x＜3，﹣2≤y＜﹣1；
（3）∵，
∴3x﹣0.5≤5x﹣2＜3x+0.5，
∴≤x＜，
∴＜3x+≤，
∵3x+为整数，
∴3x+＝3或4，
∴x＝或．
【点评】本题考查了取整函数，正确根据新定义得到各数的意义是解题关键．
25．（10分）等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，点A（0，a），点B（b，0），且a和b满足|a﹣1|+＝0，点C在第四象限．
（1）请直接写出点A和点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）①若AC交x轴于M，BC交y轴于D，E是AC上一点，且CE＝AM，连DM，求证：AD+DE＝BM；
②在y轴上取点F（0，﹣3），点H是y轴上F下方任一点，作HG⊥BH交射线CF于G，在点H位置变化的过程中，是否为定值，若是，求其值，若不是，说明理由．
【分析】（1）利用非负数的性质求出OA，OB的值，则可得出答案；
（2）过点C作CT⊥y轴于T．只要证明△ABO≌△CAT，可得CT＝OA＝1，AT＝OB＝3，由此即可解决问题；
（3）①如图2中，过点C作CK⊥AC交y轴于K．只要证明△ABM≌△CAK，△CDE≌△CDK即可解决问题；
②过点A作AI⊥AF交FB的延长线于I，过点H作HJ⊥BF于J，HK⊥GF于K．想办法证明△HJB≌△HKG，可得BH＝GH即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，过点C作CT⊥y轴于T．
∵|a﹣1|+＝0，|a﹣1|≥0，≥0，
∴a﹣1＝0，b+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴A（0，1），B（﹣3，0）；
（2）∵A（0，1），B（﹣3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∵∠AOB＝∠BAC＝∠ATC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠CAT＝90°，
∴∠ABO＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAT（AAS），
∴CT＝OA＝1，AT＝OB＝3，
∴OT＝AT＝AO＝2，
∴C（1，﹣2）．
（3）①如图2中，过点C作CK⊥AC交y轴于K．
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，AB＝AC，∠ABM＝∠CAK，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴AM＝CK，BM＝AK，
∵CE＝AM，
∴CE＝CK，
∵DC＝DC，∠DCE＝∠DCK，
∴△CDE≌△CDK（SAS），
∴DE＝DK，
∴AD+DE＝AD+DK＝AK＝BM．
②．
理由：过点A作AI⊥AF交FB的延长线于I，过点H作HJ⊥BF于J，HK⊥GF于K．
∵B（﹣3，0），F（0，﹣3），
∴OB＝OF，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴∠AFB＝45°，
∵AI⊥AF，
∴∠I＝∠AFI＝45°，
∴AI＝AF，
∵∠BAC＝∠IAF＝90°，
∴∠IAB＝∠FAC，
∵AI＝AF，AB＝AC，
∴△AIB≌△AFC（SAS），
∴∠CFA＝∠I＝45°，
∴∠BFC＝90°，
∵∠BFC＝∠CFO＝45°，
∴∠GFH＝∠HFJ＝45°，
∴HK＝HJ，
∵∠BFG＝∠BHG，
∴∠HBF＝∠HGF，
∴△HJB≌△HKG（AAS），
∴BH＝GH，
∴．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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日期：2022/1/31 21:39:54；用户：买老师高数；邮箱：15773116387；学号：29521335
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