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2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团七年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中为无理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣8
2．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解我省七年级学生身高的现状
C．了解长沙市民对“新型冠状病毒”的知晓程度
D．调查全国中小学生课外阅读情况
3．（3分）点（2，3）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（﹣1，3）
4．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．8，8，15 B．4，5，9 C．3，5，9 D．6，7，14
5．（3分）不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）已知（m+2）x|m|﹣1+1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
7．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
8．（3分）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若点A的坐标是（﹣3，5），则它到x轴的距离是 ．
12．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
13．（3分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码
S
M
L
XL
XXL
XXXL
频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有 个．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，如果∠A＝40°，那么∠1＝ ．
15．（3分）对于有理数，规定新运算：x※y＝ax+by，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．若2※1＝5，1※（﹣1）＝1，则ab＝ ．
16．（3分）已知某三角形的三条边长分别为，且不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明或者演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
19．（6分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞3，求m的取值范围．
20．（8分）为热烈庆祝中国共产党成立100周年，教育部决定在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动．为响应号召，落实教育部要求，某校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并依据成绩（百分制）绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
测试成绩记为x：A：75＜x≤80；B：80＜x≤85；C：85＜x≤90；D：90＜x≤95；E：95＜x≤100．
（1）本次共调查了 名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）C组所在扇形的圆心角为 度；
（4）已知学校共有1800名学生，若90分以上为优秀，请估计该校优秀学生人数为多少？
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．
22．（9分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠H+∠AGH＝180°，且∠F＝40°，求∠H的度数．
23．（9分）为了庆祝建党100周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛；学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，请问学校有多少种购买方案．
24．（10分）关于x、y的方程：ax+by＝c，当b≠0时，我们可用含x的代数式表示y，则原方程可变成y＝﹣，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次明德式”，其中﹣叫做K系数，叫做L系数，例如：3x+5y＝7，则可变成y＝﹣，则K系数为﹣，L系数为．
（1）二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为 ；
（2）关于x、y的二元一次方程nx+2y＝5，当满足K+L≤4时，求n的取值范围；
（3）关于x、y的方程﹣6x+（n﹣1）y＝3，当满足K系数与L系数都为正整数时，求整数n的取值．
25．（10分）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M、N分别为射线AB、AD上一点．
（1）若∠ABC＝60°，求∠ADC的大小；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF；
（3）如图②，若BE，DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试用含n的式子表示∠E的度数．
2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中为无理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣8
【分析】根据无理数的定义即可．
【解答】解：无理数是无限不循环小数，
∵，，
∴A，B不符合题意，
∵﹣8是整数，
∴D不符合题意，
∵π为无限不循环小数，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查无理数的定义，关键是要牢记无理数是指无限不循环小数即可．
2．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解我省七年级学生身高的现状
C．了解长沙市民对“新型冠状病毒”的知晓程度
D．调查全国中小学生课外阅读情况
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，选项符合题意；
B．了解我省七年级学生身高的现状，适合抽样调查，选项不合题意；
C．了解长沙市民对“新型冠状病毒”的知晓程度，适合抽样调查，选项不合题意；
D．调查全国中小学生课外阅读情况，适合抽样调查，选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（3分）点（2，3）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（﹣1，3）
【分析】向左平移3个单位长度后可得到对应点坐标，就是横坐标减3，据此可得．
【解答】解：点（2，3）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（2﹣3，3），即（﹣1，3），
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的平移，正确理解平移前后坐标的关系是解题的关键．
4．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．8，8，15 B．4，5，9 C．3，5，9 D．6，7，14
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、8+8＝16＞15，能够组成三角形，故符合题意；
B、4+5＝9，不能构成三角形，故不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能构成三角形，故不符合题意；
D、6+7＝13＜14，不能构成三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5．（3分）不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．
【解答】解：x﹣2≤0，
解得x≤2，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集不等式的解集，在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
6．（3分）已知（m+2）x|m|﹣1+1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【解答】解：依题意得：|m|﹣1＝1且m+2≠0，
解得m＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】由AD平分∠BAC，得∠BAC＝60°．由三角形内角和定理，可得∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝50°．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°．
又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解决本题的关键．
8．（3分）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，得
a﹣2＝1，b+5＝3．
解得a＝3，b＝﹣2．
则点C（a，b）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出a﹣2＝1，b+5＝3是解题关键．
9．（3分）小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题的等量关系为：①1元的贺卡张数+2元的贺卡张数＝8张；
②1元的贺卡钱数+2元的贺卡钱数＝10元．
【解答】解：根据1元的贺卡张数+2元的贺卡张数＝8张，得方程x+y＝8；根据1元的贺卡钱数+2元的贺卡钱数＝10元，得方程为x+2y＝10．
列方程组为．
故选：D．
【点评】找到定量，找到关键描述语，进而找到等量关系是解决问题的关键．
10．（3分）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，故本选项错误；
B、ab＞cb，故本选项正确；
C、a+c＜b+c，故本选项错误；
D、a+b＜c+b，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若点A的坐标是（﹣3，5），则它到x轴的距离是 5 ．
【分析】根据题意，结合点的坐标的几何意义，易得答案．
【解答】解：根据点的坐标（﹣3，5），
可得它到x轴的距离是|5|＝5；
故答案为5．故填5．
【点评】本题考查点的坐标的意义，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．
12．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
【点评】解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
13．（3分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码
S
M
L
XL
XXL
XXXL
频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有 8 个．
【分析】直接用尺码L的频率乘以班级总人数即可求出答案．
【解答】解：由表可知尺码L的频率为0.2，又因为班级总人数为40，
所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2＝8．
故答案是：8．
【点评】本题考查频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，如果∠A＝40°，那么∠1＝ 40° ．
【分析】由CD⊥AB，得∠CDB＝∠A+∠ACD＝90°．由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠1＝90°，那么，∠1＝∠A＝40°．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°．
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠1＝90°．
∴∠1＝∠A＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
15．（3分）对于有理数，规定新运算：x※y＝ax+by，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．若2※1＝5，1※（﹣1）＝1，则ab＝ 2 ．
【分析】依据新运算的规定，将2※1＝5，1※（﹣1）＝1转化为二元一次方程，解这两个方程组成的方程组可求出a，b，再计算ab．
【解答】解：∵x※y＝ax+by，
∴2※1＝5可转化为：2a+b＝5，
1※（﹣1）＝1可转化为：a﹣b＝1．
将这两个方程组成方程组：，
解得，
∴ab＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题是创新题型，主要考查了二元一次方程组的解法．
16．（3分）已知某三角形的三条边长分别为，且不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，则a的取值范围是 ＜a≤ ．
【分析】根据三角形的三边关系得到a﹣+a＞a+1，求得a＞，由不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，得到2＜a≤，于是得到结论．
【解答】解：∵三角形的三条边长分别为，
∴a﹣+a＞a+1，
∴a＞，
∵不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，
∴2＜a≤，
∴a的取值范围是＜a≤，
故答案为＜a≤．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2a的范围是解题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明或者演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】本题涉及绝对值化简、平方运算、二次根式化简，三次根式化简，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝﹣1+1﹣1
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值的化简、平方运算、二次根式化简、三次根式化简等考点的运算．
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解①得x＜1；
解②得x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜1，
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞3，求m的取值范围．
【分析】先把方程组的两个方程相减得到x+y＝﹣2m，再利用x+y＞3得到﹣2m＞3，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：，
②﹣①得2x+2y＝﹣4m，
∴x+y＝﹣2m，
∵x+y＞3，
∴﹣2m＞3，
∴m＜﹣．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．（8分）为热烈庆祝中国共产党成立100周年，教育部决定在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动．为响应号召，落实教育部要求，某校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并依据成绩（百分制）绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
测试成绩记为x：A：75＜x≤80；B：80＜x≤85；C：85＜x≤90；D：90＜x≤95；E：95＜x≤100．
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）C组所在扇形的圆心角为 72 度；
（4）已知学校共有1800名学生，若90分以上为优秀，请估计该校优秀学生人数为多少？
【分析】（1）从两个统计图中可知，“B组”的频数为6人，占调查人数的12%，可求出调查人数；
（2）求出“C组”的人数，即可补全频数分布直方图；
（3）求出“C组”所占的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（4）求出样本中90分以上的人数所占的百分比，即可估计总体1800人中90分以上的人数．
【解答】解：（1）6÷12%＝50（人），
故答案为：50；
（2）“C组”人数：50﹣4﹣6﹣14﹣16＝10（人），补全频数分布直方图如下：
（3）360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）1800×＝1080（人），
答：学校1800名学生中成绩为优秀的大约有1080人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解频数、频率的意义是正确解答的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．
【分析】（1）由所给的条件不难求出∠ABE的度数，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而可求∠BED的度数；
（2）由AD，BE是三角形的中线，可得到S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，再由S△BDF＝，可求得BD的长度，从而可求CD的长度．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，
∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝17°+30°＝47°；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC，
又∵S△ABC＝30，
∴S△ABD＝×30＝15，
又∵BE为△ABD的中线
∴S△BDE＝S△ABD，
∴S△BDE＝×15＝，
∵EF⊥BC，且EF＝5，
∴S△BDE＝•BD•EF，
∴•BD×5＝，
∴BD＝3，
∴CD＝BD＝3．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，三角形的中线，解答的关键是明确三角形中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
22．（9分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠H+∠AGH＝180°，且∠F＝40°，求∠H的度数．
【分析】（1）根据∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠ADE＝180°可得∠ADE＝∠CEG，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD，由∠H+∠AGH＝180°，推出HD∥AC，根据平行线的性质得出∠H＝∠CGH，∠CAD＝∠CGH，推出∠BAD＝∠F即可．
【解答】（1）证明：∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝∠CEG，
∴AD//EF；
（2）解：∵∠H+∠AGH＝180°，
∴HD//AC，
∴∠H＝∠CGH，
∵AD//EF，
∴∠CAD＝∠CGH，∠BAD＝∠F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠H＝∠F＝40°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，关键是对性质定理和判定定理的综合运用．
23．（9分）为了庆祝建党100周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛；学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，请问学校有多少种购买方案．
【分析】（1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意：购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品（40﹣m）个，由题意：B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，列出不等式组，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
由题意得：，
解得：28≤m≤30，
∵m为整数，
∴m可取28或29或30，
∴40﹣m＝12或11或10，
∴学校有三种购买方案：
方案一、购买A种奖品28个，购买B种奖品12个；
方案二、购买A种奖品29个，购买B种奖品11个；
方案三、购买A种奖品30个，购买B种奖品10个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
24．（10分）关于x、y的方程：ax+by＝c，当b≠0时，我们可用含x的代数式表示y，则原方程可变成y＝﹣，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次明德式”，其中﹣叫做K系数，叫做L系数，例如：3x+5y＝7，则可变成y＝﹣，则K系数为﹣，L系数为．
（1）二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为 y＝2x﹣ ；
（2）关于x、y的二元一次方程nx+2y＝5，当满足K+L≤4时，求n的取值范围；
（3）关于x、y的方程﹣6x+（n﹣1）y＝3，当满足K系数与L系数都为正整数时，求整数n的取值．
【分析】（1）直接将所给方程变形即可；
（2）将所给方程变形可求K与L，再由K+L≤4，可求n的范围，再注意n≠0，即可求解；
（3）将所给方程变形可求K、L，可知K＝2L，再由已知K系数与L系数都为正整数，即可求n的值．
【解答】解：（1）4x﹣2y＝1变形为y＝2x﹣，
∴二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为y＝2x﹣，
故答案为y＝2x﹣；
（2）nx+2y＝5变形为y＝﹣x+，
∴K＝﹣，L＝，
∵K+L≤4，
∴﹣+≤4，
∴n≥﹣3，
∵nx+2y＝5是二元一次方程，
∴n≠0，
∴n≥﹣3且n≠0；
（3）由已知n﹣1≠0，
方程﹣6x+（n﹣1）y＝3变形为y＝x+，
∴K＝，L＝，
∴K＝2L，
∵K系数与L系数都为正整数，
∴n﹣1＝1或n﹣1＝3，
∴n＝2或n＝4．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，理解新定义，并能将定义与所学二元一次方程的知识结合是解题的关键．
25．（10分）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M、N分别为射线AB、AD上一点．
（1）若∠ABC＝60°，求∠ADC的大小；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF；
（3）如图②，若BE，DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试用含n的式子表示∠E的度数．
【分析】（1）由四边形的内角和是360°即可得解；
（2）①根据角平分线的定义及三角形外角性质即可求解；
②由三角形外角性质求解即可．
【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，且∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°×2＝180°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°；
（2）延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴DG⊥BF；
即DE⊥BF．
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM＝180°，
∵BE、DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE＝×180°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE+∠E，∠BCD＝∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD＝∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E＝90°﹣×180°．
【点评】此题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的内角和公式及外角性质是解题的关键．
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日期：2022/1/31 21:38:44；用户：买老师高数；邮箱：15773116387；学号：29521335
2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中为无理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣8
2．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解我省七年级学生身高的现状
C．了解长沙市民对“新型冠状病毒”的知晓程度
D．调查全国中小学生课外阅读情况
3．（3分）点（2，3）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（﹣1，3）
4．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．8，8，15 B．4，5，9 C．3，5，9 D．6，7，14
5．（3分）不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）已知（m+2）x|m|﹣1+1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
7．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
8．（3分）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（3分）小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若点A的坐标是（﹣3，5），则它到x轴的距离是 ．
12．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
13．（3分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码
S
M
L
XL
XXL
XXXL
频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有 个．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，如果∠A＝40°，那么∠1＝ ．
15．（3分）对于有理数，规定新运算：x※y＝ax+by，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．若2※1＝5，1※（﹣1）＝1，则ab＝ ．
16．（3分）已知某三角形的三条边长分别为，且不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明或者演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
19．（6分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞3，求m的取值范围．
20．（8分）为热烈庆祝中国共产党成立100周年，教育部决定在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动．为响应号召，落实教育部要求，某校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并依据成绩（百分制）绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
测试成绩记为x：A：75＜x≤80；B：80＜x≤85；C：85＜x≤90；D：90＜x≤95；E：95＜x≤100．
（1）本次共调查了 名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）C组所在扇形的圆心角为 度；
（4）已知学校共有1800名学生，若90分以上为优秀，请估计该校优秀学生人数为多少？
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．
22．（9分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠H+∠AGH＝180°，且∠F＝40°，求∠H的度数．
23．（9分）为了庆祝建党100周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛；学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，请问学校有多少种购买方案．
24．（10分）关于x、y的方程：ax+by＝c，当b≠0时，我们可用含x的代数式表示y，则原方程可变成y＝﹣，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次明德式”，其中﹣叫做K系数，叫做L系数，例如：3x+5y＝7，则可变成y＝﹣，则K系数为﹣，L系数为．
（1）二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为 ；
（2）关于x、y的二元一次方程nx+2y＝5，当满足K+L≤4时，求n的取值范围；
（3）关于x、y的方程﹣6x+（n﹣1）y＝3，当满足K系数与L系数都为正整数时，求整数n的取值．
25．（10分）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M、N分别为射线AB、AD上一点．
（1）若∠ABC＝60°，求∠ADC的大小；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF；
（3）如图②，若BE，DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试用含n的式子表示∠E的度数．
2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中为无理数的是（ ）
A． B． C．π D．﹣8
【分析】根据无理数的定义即可．
【解答】解：无理数是无限不循环小数，
∵，，
∴A，B不符合题意，
∵﹣8是整数，
∴D不符合题意，
∵π为无限不循环小数，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查无理数的定义，关键是要牢记无理数是指无限不循环小数即可．
2．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．了解我省七年级学生身高的现状
C．了解长沙市民对“新型冠状病毒”的知晓程度
D．调查全国中小学生课外阅读情况
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，选项符合题意；
B．了解我省七年级学生身高的现状，适合抽样调查，选项不合题意；
C．了解长沙市民对“新型冠状病毒”的知晓程度，适合抽样调查，选项不合题意；
D．调查全国中小学生课外阅读情况，适合抽样调查，选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（3分）点（2，3）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（﹣1，3）
【分析】向左平移3个单位长度后可得到对应点坐标，就是横坐标减3，据此可得．
【解答】解：点（2，3）向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为（2﹣3，3），即（﹣1，3），
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的平移，正确理解平移前后坐标的关系是解题的关键．
4．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．8，8，15 B．4，5，9 C．3，5，9 D．6，7，14
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、8+8＝16＞15，能够组成三角形，故符合题意；
B、4+5＝9，不能构成三角形，故不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能构成三角形，故不符合题意；
D、6+7＝13＜14，不能构成三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5．（3分）不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．
【解答】解：x﹣2≤0，
解得x≤2，
故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集不等式的解集，在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
6．（3分）已知（m+2）x|m|﹣1+1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【解答】解：依题意得：|m|﹣1＝1且m+2≠0，
解得m＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】由AD平分∠BAC，得∠BAC＝60°．由三角形内角和定理，可得∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝50°．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°．
又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解决本题的关键．
8．（3分）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，得
a﹣2＝1，b+5＝3．
解得a＝3，b＝﹣2．
则点C（a，b）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出a﹣2＝1，b+5＝3是解题关键．
9．（3分）小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题的等量关系为：①1元的贺卡张数+2元的贺卡张数＝8张；
②1元的贺卡钱数+2元的贺卡钱数＝10元．
【解答】解：根据1元的贺卡张数+2元的贺卡张数＝8张，得方程x+y＝8；根据1元的贺卡钱数+2元的贺卡钱数＝10元，得方程为x+2y＝10．
列方程组为．
故选：D．
【点评】找到定量，找到关键描述语，进而找到等量关系是解决问题的关键．
10．（3分）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，故本选项错误；
B、ab＞cb，故本选项正确；
C、a+c＜b+c，故本选项错误；
D、a+b＜c+b，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若点A的坐标是（﹣3，5），则它到x轴的距离是 5 ．
【分析】根据题意，结合点的坐标的几何意义，易得答案．
【解答】解：根据点的坐标（﹣3，5），
可得它到x轴的距离是|5|＝5；
故答案为5．故填5．
【点评】本题考查点的坐标的意义，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．
12．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
【点评】解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
13．（3分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码
S
M
L
XL
XXL
XXXL
频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有 8 个．
【分析】直接用尺码L的频率乘以班级总人数即可求出答案．
【解答】解：由表可知尺码L的频率为0.2，又因为班级总人数为40，
所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2＝8．
故答案是：8．
【点评】本题考查频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，如果∠A＝40°，那么∠1＝ 40° ．
【分析】由CD⊥AB，得∠CDB＝∠A+∠ACD＝90°．由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠1＝90°，那么，∠1＝∠A＝40°．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°．
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠1＝90°．
∴∠1＝∠A＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
15．（3分）对于有理数，规定新运算：x※y＝ax+by，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．若2※1＝5，1※（﹣1）＝1，则ab＝ 2 ．
【分析】依据新运算的规定，将2※1＝5，1※（﹣1）＝1转化为二元一次方程，解这两个方程组成的方程组可求出a，b，再计算ab．
【解答】解：∵x※y＝ax+by，
∴2※1＝5可转化为：2a+b＝5，
1※（﹣1）＝1可转化为：a﹣b＝1．
将这两个方程组成方程组：，
解得，
∴ab＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题是创新题型，主要考查了二元一次方程组的解法．
16．（3分）已知某三角形的三条边长分别为，且不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，则a的取值范围是 ＜a≤ ．
【分析】根据三角形的三边关系得到a﹣+a＞a+1，求得a＞，由不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，得到2＜a≤，于是得到结论．
【解答】解：∵三角形的三条边长分别为，
∴a﹣+a＞a+1，
∴a＞，
∵不等式﹣x+2a＞0有且只有4个正整数解，
∴2＜a≤，
∴a的取值范围是＜a≤，
故答案为＜a≤．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2a的范围是解题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明或者演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】本题涉及绝对值化简、平方运算、二次根式化简，三次根式化简，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝﹣1+1﹣1
＝﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值的化简、平方运算、二次根式化简、三次根式化简等考点的运算．
18．（6分）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解①得x＜1；
解②得x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜1，
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞3，求m的取值范围．
【分析】先把方程组的两个方程相减得到x+y＝﹣2m，再利用x+y＞3得到﹣2m＞3，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：，
②﹣①得2x+2y＝﹣4m，
∴x+y＝﹣2m，
∵x+y＞3，
∴﹣2m＞3，
∴m＜﹣．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．（8分）为热烈庆祝中国共产党成立100周年，教育部决定在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动．为响应号召，落实教育部要求，某校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并依据成绩（百分制）绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
测试成绩记为x：A：75＜x≤80；B：80＜x≤85；C：85＜x≤90；D：90＜x≤95；E：95＜x≤100．
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）C组所在扇形的圆心角为 72 度；
（4）已知学校共有1800名学生，若90分以上为优秀，请估计该校优秀学生人数为多少？
【分析】（1）从两个统计图中可知，“B组”的频数为6人，占调查人数的12%，可求出调查人数；
（2）求出“C组”的人数，即可补全频数分布直方图；
（3）求出“C组”所占的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（4）求出样本中90分以上的人数所占的百分比，即可估计总体1800人中90分以上的人数．
【解答】解：（1）6÷12%＝50（人），
故答案为：50；
（2）“C组”人数：50﹣4﹣6﹣14﹣16＝10（人），补全频数分布直方图如下：
（3）360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）1800×＝1080（人），
答：学校1800名学生中成绩为优秀的大约有1080人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解频数、频率的意义是正确解答的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．
【分析】（1）由所给的条件不难求出∠ABE的度数，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而可求∠BED的度数；
（2）由AD，BE是三角形的中线，可得到S△ABD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，再由S△BDF＝，可求得BD的长度，从而可求CD的长度．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，
∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝17°+30°＝47°；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC，
又∵S△ABC＝30，
∴S△ABD＝×30＝15，
又∵BE为△ABD的中线
∴S△BDE＝S△ABD，
∴S△BDE＝×15＝，
∵EF⊥BC，且EF＝5，
∴S△BDE＝•BD•EF，
∴•BD×5＝，
∴BD＝3，
∴CD＝BD＝3．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，三角形的中线，解答的关键是明确三角形中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
22．（9分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠H+∠AGH＝180°，且∠F＝40°，求∠H的度数．
【分析】（1）根据∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠ADE＝180°可得∠ADE＝∠CEG，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD，由∠H+∠AGH＝180°，推出HD∥AC，根据平行线的性质得出∠H＝∠CGH，∠CAD＝∠CGH，推出∠BAD＝∠F即可．
【解答】（1）证明：∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝∠CEG，
∴AD//EF；
（2）解：∵∠H+∠AGH＝180°，
∴HD//AC，
∴∠H＝∠CGH，
∵AD//EF，
∴∠CAD＝∠CGH，∠BAD＝∠F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠H＝∠F＝40°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，关键是对性质定理和判定定理的综合运用．
23．（9分）为了庆祝建党100周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛；学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，请问学校有多少种购买方案．
【分析】（1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意：购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品（40﹣m）个，由题意：B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，列出不等式组，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
由题意得：，
解得：28≤m≤30，
∵m为整数，
∴m可取28或29或30，
∴40﹣m＝12或11或10，
∴学校有三种购买方案：
方案一、购买A种奖品28个，购买B种奖品12个；
方案二、购买A种奖品29个，购买B种奖品11个；
方案三、购买A种奖品30个，购买B种奖品10个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
24．（10分）关于x、y的方程：ax+by＝c，当b≠0时，我们可用含x的代数式表示y，则原方程可变成y＝﹣，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次明德式”，其中﹣叫做K系数，叫做L系数，例如：3x+5y＝7，则可变成y＝﹣，则K系数为﹣，L系数为．
（1）二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为 y＝2x﹣ ；
（2）关于x、y的二元一次方程nx+2y＝5，当满足K+L≤4时，求n的取值范围；
（3）关于x、y的方程﹣6x+（n﹣1）y＝3，当满足K系数与L系数都为正整数时，求整数n的取值．
【分析】（1）直接将所给方程变形即可；
（2）将所给方程变形可求K与L，再由K+L≤4，可求n的范围，再注意n≠0，即可求解；
（3）将所给方程变形可求K、L，可知K＝2L，再由已知K系数与L系数都为正整数，即可求n的值．
【解答】解：（1）4x﹣2y＝1变形为y＝2x﹣，
∴二元一次方程4x﹣2y＝1的“一次明德式”为y＝2x﹣，
故答案为y＝2x﹣；
（2）nx+2y＝5变形为y＝﹣x+，
∴K＝﹣，L＝，
∵K+L≤4，
∴﹣+≤4，
∴n≥﹣3，
∵nx+2y＝5是二元一次方程，
∴n≠0，
∴n≥﹣3且n≠0；
（3）由已知n﹣1≠0，
方程﹣6x+（n﹣1）y＝3变形为y＝x+，
∴K＝，L＝，
∴K＝2L，
∵K系数与L系数都为正整数，
∴n﹣1＝1或n﹣1＝3，
∴n＝2或n＝4．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，理解新定义，并能将定义与所学二元一次方程的知识结合是解题的关键．
25．（10分）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M、N分别为射线AB、AD上一点．
（1）若∠ABC＝60°，求∠ADC的大小；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF；
（3）如图②，若BE，DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试用含n的式子表示∠E的度数．
【分析】（1）由四边形的内角和是360°即可得解；
（2）①根据角平分线的定义及三角形外角性质即可求解；
②由三角形外角性质求解即可．
【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，且∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°×2＝180°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°；
（2）延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴DG⊥BF；
即DE⊥BF．
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM＝180°，
∵BE、DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE＝×180°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE+∠E，∠BCD＝∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD＝∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E＝90°﹣×180°．
【点评】此题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的内角和公式及外角性质是解题的关键．
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