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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.14 C． D．
2．（3分）要调查下列问题，你觉得应用全面调查的是（ ）
A．检测某城市的空气质量
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．调查某池塘中现有鱼的数量
3．（3分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a﹣3＜b﹣3 C． D．﹣2a＜﹣2b
4．（3分）点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4
B．﹣没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．＝﹣3
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
7．（3分）如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣1），“马”位于点（2，﹣1），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，1） D．（﹣2，3）
8．（3分）“浏阳河弯过九道弯，五十里水路到湘江”．如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠EDC＝（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
9．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD＝（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
10．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
12．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）5的算术平方根是 ．
14．（3分）若式子5x+1的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠C＝ °．
16．（3分）已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 ．
17．（3分）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有 个为不合格产品．
18．（3分）已知a，b是两个连续的整数，且a＜＜b，则2a+b＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）解方程组
（用代入法）
21．（8分）解不等式（组）：
（1）3（x﹣5）≥2（x+5）；
（2）．
22．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
23．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后，随机抽查部分学生的听写结果，根据抽查结果绘制统计图的一部分．根据以下信息解决下列问题：
组别
正确数字x
人数
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
20
（1）在统计表中，m＝ ，n＝ ，并补全直方图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 度；
（3）若该校共有964名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估算这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
24．（8分）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．请说明AD平分∠BAC的理由．下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90° （ ）．
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠2（ ），
∠E＝∠3（ ）．
又∵∠E＝∠1（ ），
∴∠2＝∠3（ ）．
∴AD平分∠BAC（ ）．
25．（8分）如图，已知∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若∠B＝∠DAE+40°，∠BAE＝80°，求∠E的度数．
26．（8分）某中学为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，为此购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）2019年6月举行“兄弟学校足球联谊赛”活动，根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？
（3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？
27．（6分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组，的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 ；（填序号）
①x﹣1＝0
②2x+1＝0
③﹣2x﹣2＝0
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠2，求m的取值范围．
28．（6分）如图，C为x轴正半轴上一动点，A（0，a），B（b，0），且a、b满足|＝0，AB＝10．
（1）求△ABO的面积；
（2）若P（3，6），PC⊥x轴于C，点M从P点出发，在射线PA上运动，同时另一动点N从点B出发，沿BA向A点运动，到A点停止运动，M、N的速度分别为2个单位/秒、3个单位/秒，
①设运动时间为t，请用含t的式子表示S△BON；
②当S△MAC＝时，求运动的时间．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.14 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：A．＝2，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B．3.14是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）要调查下列问题，你觉得应用全面调查的是（ ）
A．检测某城市的空气质量
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．调查某池塘中现有鱼的数量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A、检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故A选项错误；
B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，故B选项错误；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适合全面调查，故C选项正确；
D、调查某池塘中现有鱼的数量，适于抽样调查，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（3分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a﹣3＜b﹣3 C． D．﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都减b，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B符合题意；
C、两边都乘，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
4．（3分）点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：由题可得，点（2，﹣2）所在的象限是第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4
B．﹣没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．＝﹣3
【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故这个选项不符合题意；
B、﹣的立方根为﹣，原说法错误，故这个选项不符合题意；
C、立方根等于本身的数是0和±1，原说法错误，故这个选项不符合题意；
D、＝﹣3，原说法正确，故这个选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了立方根．解题的关键是了解立方根的定义及求法．
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，B，D能证得AC∥BD，只有选项C能证得AB∥CD．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故A错误；
B、∵∠D＝∠DCE，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故B错误；
C、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
本选项能判断AB∥CD，故C正确；
D、∵∠D+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD．
故本选项不能判断AB∥CD，故D错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定．注意掌握数形结合思想的应用．
7．（3分）如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣1），“马”位于点（2，﹣1），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，1） D．（﹣2，3）
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系来确定位置即可得出答案．
【解答】解：如图所示：则“兵”位于（﹣3，2）.
故选：B．
【点评】本题考查坐标位置的确定，解题的关键在于建立平面直角坐标系．
8．（3分）“浏阳河弯过九道弯，五十里水路到湘江”．如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠EDC＝（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由CF∥DE，所以∠CDE＝∠DCF．
【解答】解：由题意得，AB∥DE，
过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝60°，
∴∠DCF＝20°，
∵CF∥DE，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故选：A．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
9．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD＝（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝2：3，
∴∠EOC＝180°×＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故选：B．
【点评】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
10．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（3分）将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【分析】设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，根据零钱的总和为50元，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，
依题意，得：5m+2n＝50，
∴m＝10﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝5时，m＝8；当n＝10时，m＝6；当n＝15时，m＝4；当n＝20时，m＝2．
∴共有4种兑换方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a的不等式组即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥a，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为a≤x＜1，
∵关于x的不等式组的整数解共有3个，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）5的算术平方根是 ．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
【解答】解：∵（）2＝5
∴5的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键．
14．（3分）若式子5x+1的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 x＞﹣3 ．
【分析】根据题意列出不等式，然后根据一元一次不等式的解法解答即可．
【解答】解：根据题意得，5x+1＞3x﹣5，
5x﹣3x＞﹣1﹣5，
2x＞﹣6，
x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，主要利用了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
15．（3分）如图，△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠C＝ 40 °．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的内角和定理求出∠C即可．
【解答】解：∵∠ADE＝60°，∠AED＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，能根据三角形的内角和定理求出各个角的度数是解此题的关键．
16．（3分）已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 1 ．
【分析】一般解法是求得方程组的解，把x，y的值代入到代数式求值，但观察方程组未知数的系数特点，把两方程分别看作整体，直接相减，即可求得x﹣y的值．
【解答】解：在方程组中，
①﹣②得：x﹣y＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查解二元一次方程组，注意此题的简便方法．
17．（3分）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有 18 个为不合格产品．
【分析】用总数量乘以所抽取样本中不合格产品数量所占比例即可．
【解答】解：这300个灯泡中不合格产品的数量大约为300×＝18（个），
故答案为：18．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
18．（3分）已知a，b是两个连续的整数，且a＜＜b，则2a+b＝ 10 ．
【分析】先估算出的大小，即可得到a，b的值，进而得到2a+b的值．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴a＝3，b＝4，
∴2a+b＝2×3+4＝6+4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：．
【分析】利用乘方，绝对值及算术平方根的定义求解化简，再合并即可求解．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题主要考查实数的运算，根据乘方，绝对值及算术平方根的定义化简是解题的关键．
20．（4分）解方程组
（用代入法）
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
由①得：y＝2x﹣5③，
把③代入②得：3x+8x﹣20＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（8分）解不等式（组）：
（1）3（x﹣5）≥2（x+5）；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）3（x﹣5）≥2（x+5），
去括号，得3x﹣15≥2x+10，
移项，得3x﹣2x≥10+15，
合并同类项，得x≥25；
（2），
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜4，
所以不等式组的解集是1≤x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．
22．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，点A1（﹣1，5），B1（﹣2，3），C1（﹣4，4）；
（2）△A1B1C1的面积为：2×3﹣×1×3﹣×2×1﹣×1×2＝2.5；
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后，随机抽查部分学生的听写结果，根据抽查结果绘制统计图的一部分．根据以下信息解决下列问题：
组别
正确数字x
人数
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
20
（1）在统计表中，m＝ 30 ，n＝ 20% ，并补全直方图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90 度；
（3）若该校共有964名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估算这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
【分析】（1）根据“A组”的频数和所占的百分比，利用频率，即可求出调查人数，进而求出“D组”的频数m的值和“E组”的频率n的值；
（2）“C组”占调查人数的25%，因此相应的圆心角度数占360°的25%，计算即可；
（3）求出“不合格”所占的百分比即可估计总体中，“不合格”的人数．
【解答】解：（1）10÷10%＝100（人），
m＝100×30%＝30（人），
n＝20÷100×100%＝20%，
故答案为：30，20%，补全频数分布直方图如下：
（2）360°×25%＝90°，
故答案为：90；
（3）964×＝241（人），
答：这所学校964名学生中，在本次比赛听写不合格的大约有241人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图，理解统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率＝是解决问题的关键．
24．（8分）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．请说明AD平分∠BAC的理由．下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90° （ 垂直的定义 ）．
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
∠E＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠E＝∠1（ 已知 ），
∴∠2＝∠3（ 等量代换 ）．
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）．
【分析】利用垂直的定义，等量代换，平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90° （垂直的定义），
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；角平分线的定义．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线的定义，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
25．（8分）如图，已知∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若∠B＝∠DAE+40°，∠BAE＝80°，求∠E的度数．
【分析】（1）由已知∠DAE＝∠E，内错角相等，两直线平行，可得AD∥CE，由平行线的性质可得，∠D＝∠DCE，等量代换∠B＝∠DCE，根据平行线的判定即可证得结论；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠B+∠BAD＝180°，由等量代换可求出∠DAE，根据平行线的性质可得∠E的度数．
【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠E，
∴AD∥CE，
∴∠D＝∠DCE，
又∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD；
（2）∵AD∥BE，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠DAE+40°，∠BAE＝80°，
∴∠DAE+40°+∠BAE+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠E＝∠DAE＝30°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定方法进行求解是解决本题的关键．
26．（8分）某中学为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，为此购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）2019年6月举行“兄弟学校足球联谊赛”活动，根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？
（3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元．根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元；B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设此次学校购买B种品牌足球n个，则购买A种品牌足球（50﹣n）个，根据总价＝单价×数量结合购买足球的总费用不超过2750元且购买B种品牌的足球不少于23个，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，结合n为整数即可得出各购买方案；
（3）由A，B两种品牌足球单价之间的关系，可得出购买B种品牌足球的数量越少越省钱，进而可得出最节约资金的购买方案．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元．
依题意，得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元．
（2）设此次学校购买B种品牌足球n个，则购买A种品牌足球（50﹣n）个，
依题意，得：，
解得：23≤n≤25．
∵n是正整数，
∴n＝23，24，25．
∴50﹣n＝27，26，25．
答：有3种购买方案：①购买A种品牌的足球27个，B种品牌的足球23个；②购买A种品牌的足球26个，B种品牌的足球24个；③购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球25个．
（3）学校应选择方案①．
∵B种品牌足球的单价＞A种品牌足球的单价，
∴购买B种品牌足球的数量越少越省钱．
∴学校应选择方案①．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）由两种品牌足球单价间的关系，找出最省钱的购买方案．
27．（6分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组，的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 ①② ；（填序号）
①x﹣1＝0
②2x+1＝0
③﹣2x﹣2＝0
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠2，求m的取值范围．
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去吃不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【解答】解：（1）解不等式得﹣1＜x＜2，
解方程x﹣1＝0得：x＝1；
解方程2x+1＝0得：x＝﹣；
解方程﹣2x﹣2＝0得：x＝﹣1，
∵﹣1＜1＜2，﹣1＜﹣＜2，﹣1＝﹣1，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解不等式组得：＜x≤3，
解方程2x﹣k＝2得：x＝，
∵关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，
∴＜≤3，
解得：3＜k≤4，
即k的取值范围是3＜k≤4；
（3）解方程2x+4＝0得x＝﹣2，
解方程得x＝﹣1，
∵方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2，
所以分为两种情况：①当m＜2时，不等式组为，
此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去；
②当m＞2时，不等式组的解集是m﹣5≤x＜1，
所以根据题意得：，
解得：2＜m≤3，
所以m的取值范围是2＜m≤3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
28．（6分）如图，C为x轴正半轴上一动点，A（0，a），B（b，0），且a、b满足|＝0，AB＝10．
（1）求△ABO的面积；
（2）若P（3，6），PC⊥x轴于C，点M从P点出发，在射线PA上运动，同时另一动点N从点B出发，沿BA向A点运动，到A点停止运动，M、N的速度分别为2个单位/秒、3个单位/秒，
①设运动时间为t，请用含t的式子表示S△BON；
②当S△MAC＝时，求运动的时间．
【分析】（1）由非负性可求a＝6，b＝8，可求OA，OB，由三角形的面积公式可求解；
（2）①利用面积法可求OG的长，由三角形的面积公式可求解；
②由三角形的面积关系列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵+|b+8|＝0，
∴a＝6，b＝﹣8，
∴点A（0，6），点B（﹣8，0），
∴OA＝6，OB＝8．
∴S△AOB＝×OA×BO＝×6×8＝24；
（2）如图，过点O作OG⊥AB于G，
∵S△ABO＝×OA×OB＝×AB×OG，
∴OG＝＝，
设运动时间为t秒，则PM＝2t，BN＝3t，其中0≤t≤，
∴S△BON＝×BN×OG＝×3t×＝t；
（3）∵AM＝|3﹣2t|，
∴S△MAC＝×|3﹣2t|×6＝|9﹣6t|，
∵S△MAC＝，
∴|9﹣6t|＝×t，
解得：t1＝，t2＝，
答：运动时间为秒或秒．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式等知识，求出OG的长是解题的关键．
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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.14 C． D．
2．（3分）要调查下列问题，你觉得应用全面调查的是（ ）
A．检测某城市的空气质量
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．调查某池塘中现有鱼的数量
3．（3分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a﹣3＜b﹣3 C． D．﹣2a＜﹣2b
4．（3分）点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4
B．﹣没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．＝﹣3
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
7．（3分）如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣1），“马”位于点（2，﹣1），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，1） D．（﹣2，3）
8．（3分）“浏阳河弯过九道弯，五十里水路到湘江”．如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠EDC＝（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
9．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD＝（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
10．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
12．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）5的算术平方根是 ．
14．（3分）若式子5x+1的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠C＝ °．
16．（3分）已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 ．
17．（3分）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有 个为不合格产品．
18．（3分）已知a，b是两个连续的整数，且a＜＜b，则2a+b＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）解方程组
（用代入法）
21．（8分）解不等式（组）：
（1）3（x﹣5）≥2（x+5）；
（2）．
22．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
23．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后，随机抽查部分学生的听写结果，根据抽查结果绘制统计图的一部分．根据以下信息解决下列问题：
组别
正确数字x
人数
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
20
（1）在统计表中，m＝ ，n＝ ，并补全直方图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 度；
（3）若该校共有964名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估算这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
24．（8分）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．请说明AD平分∠BAC的理由．下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90° （ ）．
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠2（ ），
∠E＝∠3（ ）．
又∵∠E＝∠1（ ），
∴∠2＝∠3（ ）．
∴AD平分∠BAC（ ）．
25．（8分）如图，已知∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若∠B＝∠DAE+40°，∠BAE＝80°，求∠E的度数．
26．（8分）某中学为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，为此购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）2019年6月举行“兄弟学校足球联谊赛”活动，根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？
（3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？
27．（6分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组，的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 ；（填序号）
①x﹣1＝0
②2x+1＝0
③﹣2x﹣2＝0
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠2，求m的取值范围．
28．（6分）如图，C为x轴正半轴上一动点，A（0，a），B（b，0），且a、b满足|＝0，AB＝10．
（1）求△ABO的面积；
（2）若P（3，6），PC⊥x轴于C，点M从P点出发，在射线PA上运动，同时另一动点N从点B出发，沿BA向A点运动，到A点停止运动，M、N的速度分别为2个单位/秒、3个单位/秒，
①设运动时间为t，请用含t的式子表示S△BON；
②当S△MAC＝时，求运动的时间．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区长郡教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．3.14 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：A．＝2，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B．3.14是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D．是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）要调查下列问题，你觉得应用全面调查的是（ ）
A．检测某城市的空气质量
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．调查某池塘中现有鱼的数量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A、检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故A选项错误；
B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，故B选项错误；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适合全面调查，故C选项正确；
D、调查某池塘中现有鱼的数量，适于抽样调查，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（3分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣b＞0 B．a﹣3＜b﹣3 C． D．﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都减b，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B符合题意；
C、两边都乘，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
4．（3分）点（2，﹣2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：由题可得，点（2，﹣2）所在的象限是第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4
B．﹣没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．＝﹣3
【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故这个选项不符合题意；
B、﹣的立方根为﹣，原说法错误，故这个选项不符合题意；
C、立方根等于本身的数是0和±1，原说法错误，故这个选项不符合题意；
D、＝﹣3，原说法正确，故这个选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了立方根．解题的关键是了解立方根的定义及求法．
6．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠2 D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，B，D能证得AC∥BD，只有选项C能证得AB∥CD．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故A错误；
B、∵∠D＝∠DCE，
∴AC∥BD．
本选项不能判断AB∥CD，故B错误；
C、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
本选项能判断AB∥CD，故C正确；
D、∵∠D+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD．
故本选项不能判断AB∥CD，故D错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定．注意掌握数形结合思想的应用．
7．（3分）如图，若在中国象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣1），“马”位于点（2，﹣1），则“兵”位于点（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，1） D．（﹣2，3）
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系来确定位置即可得出答案．
【解答】解：如图所示：则“兵”位于（﹣3，2）.
故选：B．
【点评】本题考查坐标位置的确定，解题的关键在于建立平面直角坐标系．
8．（3分）“浏阳河弯过九道弯，五十里水路到湘江”．如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠EDC＝（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由CF∥DE，所以∠CDE＝∠DCF．
【解答】解：由题意得，AB∥DE，
过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝60°，
∴∠DCF＝20°，
∵CF∥DE，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故选：A．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
9．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD＝（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝2：3，
∴∠EOC＝180°×＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故选：B．
【点评】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
10．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（3分）将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【分析】设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，根据零钱的总和为50元，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：设可以兑换m张5元的零钱，n张2元的零钱，
依题意，得：5m+2n＝50，
∴m＝10﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴当n＝5时，m＝8；当n＝10时，m＝6；当n＝15时，m＝4；当n＝20时，m＝2．
∴共有4种兑换方案．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣3＜a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a的不等式组即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥a，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为a≤x＜1，
∵关于x的不等式组的整数解共有3个，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a的不等式组．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）5的算术平方根是 ．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
【解答】解：∵（）2＝5
∴5的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键．
14．（3分）若式子5x+1的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 x＞﹣3 ．
【分析】根据题意列出不等式，然后根据一元一次不等式的解法解答即可．
【解答】解：根据题意得，5x+1＞3x﹣5，
5x﹣3x＞﹣1﹣5，
2x＞﹣6，
x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，主要利用了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
15．（3分）如图，△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠C＝ 40 °．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的内角和定理求出∠C即可．
【解答】解：∵∠ADE＝60°，∠AED＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，能根据三角形的内角和定理求出各个角的度数是解此题的关键．
16．（3分）已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 1 ．
【分析】一般解法是求得方程组的解，把x，y的值代入到代数式求值，但观察方程组未知数的系数特点，把两方程分别看作整体，直接相减，即可求得x﹣y的值．
【解答】解：在方程组中，
①﹣②得：x﹣y＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查解二元一次方程组，注意此题的简便方法．
17．（3分）某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有 18 个为不合格产品．
【分析】用总数量乘以所抽取样本中不合格产品数量所占比例即可．
【解答】解：这300个灯泡中不合格产品的数量大约为300×＝18（个），
故答案为：18．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
18．（3分）已知a，b是两个连续的整数，且a＜＜b，则2a+b＝ 10 ．
【分析】先估算出的大小，即可得到a，b的值，进而得到2a+b的值．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴a＝3，b＝4，
∴2a+b＝2×3+4＝6+4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：．
【分析】利用乘方，绝对值及算术平方根的定义求解化简，再合并即可求解．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题主要考查实数的运算，根据乘方，绝对值及算术平方根的定义化简是解题的关键．
20．（4分）解方程组
（用代入法）
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
由①得：y＝2x﹣5③，
把③代入②得：3x+8x﹣20＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（8分）解不等式（组）：
（1）3（x﹣5）≥2（x+5）；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）3（x﹣5）≥2（x+5），
去括号，得3x﹣15≥2x+10，
移项，得3x﹣2x≥10+15，
合并同类项，得x≥25；
（2），
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜4，
所以不等式组的解集是1≤x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．
22．（6分）如图，先将△ABC向上平移2个单位再向左平移5个单位得到△A1B1C1
（1）画出△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，点A1（﹣1，5），B1（﹣2，3），C1（﹣4，4）；
（2）△A1B1C1的面积为：2×3﹣×1×3﹣×2×1﹣×1×2＝2.5；
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（8分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后，随机抽查部分学生的听写结果，根据抽查结果绘制统计图的一部分．根据以下信息解决下列问题：
组别
正确数字x
人数
A
0≤x＜8
10
B
8≤x＜16
15
C
16≤x＜24
25
D
24≤x＜32
m
E
32≤x＜40
20
（1）在统计表中，m＝ 30 ，n＝ 20% ，并补全直方图；
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 90 度；
（3）若该校共有964名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估算这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
【分析】（1）根据“A组”的频数和所占的百分比，利用频率，即可求出调查人数，进而求出“D组”的频数m的值和“E组”的频率n的值；
（2）“C组”占调查人数的25%，因此相应的圆心角度数占360°的25%，计算即可；
（3）求出“不合格”所占的百分比即可估计总体中，“不合格”的人数．
【解答】解：（1）10÷10%＝100（人），
m＝100×30%＝30（人），
n＝20÷100×100%＝20%，
故答案为：30，20%，补全频数分布直方图如下：
（2）360°×25%＝90°，
故答案为：90；
（3）964×＝241（人），
答：这所学校964名学生中，在本次比赛听写不合格的大约有241人．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图，理解统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率＝是解决问题的关键．
24．（8分）如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．请说明AD平分∠BAC的理由．下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90° （ 垂直的定义 ）．
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
∠E＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又∵∠E＝∠1（ 已知 ），
∴∠2＝∠3（ 等量代换 ）．
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）．
【分析】利用垂直的定义，等量代换，平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90° （垂直的定义），
∴AD∥EG，
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；角平分线的定义．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线的定义，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
25．（8分）如图，已知∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若∠B＝∠DAE+40°，∠BAE＝80°，求∠E的度数．
【分析】（1）由已知∠DAE＝∠E，内错角相等，两直线平行，可得AD∥CE，由平行线的性质可得，∠D＝∠DCE，等量代换∠B＝∠DCE，根据平行线的判定即可证得结论；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠B+∠BAD＝180°，由等量代换可求出∠DAE，根据平行线的性质可得∠E的度数．
【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠E，
∴AD∥CE，
∴∠D＝∠DCE，
又∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD；
（2）∵AD∥BE，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠DAE+40°，∠BAE＝80°，
∴∠DAE+40°+∠BAE+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠E＝∠DAE＝30°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定方法进行求解是解决本题的关键．
26．（8分）某中学为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，为此购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）2019年6月举行“兄弟学校足球联谊赛”活动，根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？
（3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元．根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元；B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设此次学校购买B种品牌足球n个，则购买A种品牌足球（50﹣n）个，根据总价＝单价×数量结合购买足球的总费用不超过2750元且购买B种品牌的足球不少于23个，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，结合n为整数即可得出各购买方案；
（3）由A，B两种品牌足球单价之间的关系，可得出购买B种品牌足球的数量越少越省钱，进而可得出最节约资金的购买方案．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元．
依题意，得：，
解得：．
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元．
（2）设此次学校购买B种品牌足球n个，则购买A种品牌足球（50﹣n）个，
依题意，得：，
解得：23≤n≤25．
∵n是正整数，
∴n＝23，24，25．
∴50﹣n＝27，26，25．
答：有3种购买方案：①购买A种品牌的足球27个，B种品牌的足球23个；②购买A种品牌的足球26个，B种品牌的足球24个；③购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球25个．
（3）学校应选择方案①．
∵B种品牌足球的单价＞A种品牌足球的单价，
∴购买B种品牌足球的数量越少越省钱．
∴学校应选择方案①．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）由两种品牌足球单价间的关系，找出最省钱的购买方案．
27．（6分）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组，的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 ①② ；（填序号）
①x﹣1＝0
②2x+1＝0
③﹣2x﹣2＝0
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中m≠2，求m的取值范围．
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去吃不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【解答】解：（1）解不等式得﹣1＜x＜2，
解方程x﹣1＝0得：x＝1；
解方程2x+1＝0得：x＝﹣；
解方程﹣2x﹣2＝0得：x＝﹣1，
∵﹣1＜1＜2，﹣1＜﹣＜2，﹣1＝﹣1，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解不等式组得：＜x≤3，
解方程2x﹣k＝2得：x＝，
∵关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“相伴方程”，
∴＜≤3，
解得：3＜k≤4，
即k的取值范围是3＜k≤4；
（3）解方程2x+4＝0得x＝﹣2，
解方程得x＝﹣1，
∵方程2x+4＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2，
所以分为两种情况：①当m＜2时，不等式组为，
此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去；
②当m＞2时，不等式组的解集是m﹣5≤x＜1，
所以根据题意得：，
解得：2＜m≤3，
所以m的取值范围是2＜m≤3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
28．（6分）如图，C为x轴正半轴上一动点，A（0，a），B（b，0），且a、b满足|＝0，AB＝10．
（1）求△ABO的面积；
（2）若P（3，6），PC⊥x轴于C，点M从P点出发，在射线PA上运动，同时另一动点N从点B出发，沿BA向A点运动，到A点停止运动，M、N的速度分别为2个单位/秒、3个单位/秒，
①设运动时间为t，请用含t的式子表示S△BON；
②当S△MAC＝时，求运动的时间．
【分析】（1）由非负性可求a＝6，b＝8，可求OA，OB，由三角形的面积公式可求解；
（2）①利用面积法可求OG的长，由三角形的面积公式可求解；
②由三角形的面积关系列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵+|b+8|＝0，
∴a＝6，b＝﹣8，
∴点A（0，6），点B（﹣8，0），
∴OA＝6，OB＝8．
∴S△AOB＝×OA×BO＝×6×8＝24；
（2）如图，过点O作OG⊥AB于G，
∵S△ABO＝×OA×OB＝×AB×OG，
∴OG＝＝，
设运动时间为t秒，则PM＝2t，BN＝3t，其中0≤t≤，
∴S△BON＝×BN×OG＝×3t×＝t；
（3）∵AM＝|3﹣2t|，
∴S△MAC＝×|3﹣2t|×6＝|9﹣6t|，
∵S△MAC＝，
∴|9﹣6t|＝×t，
解得：t1＝，t2＝，
答：运动时间为秒或秒．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式等知识，求出OG的长是解题的关键．
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