2022年北京市大兴区中考数学二模试卷（含解析）

2022年北京市大兴区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 年北京冬奥会共录用了赛会志愿者多人，他们就像一朵朵热情洋溢的小雪花，在各自岗位上展现开放，阳光向上的风采．将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

2. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是

A. 长方体
B. 三棱柱
C. 正方体
D. 圆柱

3. 如果反比例函数的图象经过点，那么的值是

A.  B.  C.  D.

4. 某男装专卖店专营某品牌夹克．为了制定下一阶段的进货方案，店主统计了一周中不同尺码夹克的销售情况如表：

如果每件夹克利润相同，你认为该店主最关注的统计量是

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆

6. 如图，在中，点、分、边上，，若：：，，则等于

A.
B.
C.
D.

7. 如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装克和小瓶装克两种产品的销售数量按瓶计算比为：某厂每天生产这种消毒液克，这些消毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶？设这些消毒液应该分装大瓶瓶，小瓶瓶．依题意可列方程组为

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 若二次根式有意义，则的取值范围是          ．
10. 请写出一个开口向下且对称轴为轴的抛物线的解析式______．
11. 无理数满足不等式请写出两个符合条件的无理数______ 、______ ．
12. 分式方程的解是______ ．
13. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则与的大小关系是： ______填“”，“”或“”．
14. 如图，在▱中，，，平分交于点，则的长为______．

15. 如图，菱形的面积为，其中对角线长为，则对角线的长为______．
    
     

16. 某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动，商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：类只有一袋茶叶，类有二袋茶叶，类有三袋茶叶，类有五袋茶叶，类有七袋茶叶，价格如表：

小云准备在该超市购买袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为______元．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

17. 计算：．

四、解答题（本大题共11小题，共63分）

18. 如图，已知直线经过点和点，求此直线与轴的交点坐标．
    
    
    
     

19. 已知：，求代数式的值．
20. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
    已知：直线及直线外一点．
    求作：直线，使得．
    作法：如图．
    在直线上取两点，；
    以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧在直线上方相交于点；
    作直线．
    根据小东设计的尺规作图过程
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：______，______，
    四边形是平行四边形
    ______填写推理的依据

21. 已知关于的一元二次方程有实数根，为负整数．
    求的值；
    如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
22. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩百分制进入决赛的前两名选手的单项成绩和综合成绩如表所示．

求出的值；
请根据综合成绩确定两人的名次．

23. 一个滑雪者从山坡滑下，如果不计其他因素，经测量得到滑行距离单位：米与滑行时间单位：秒的数据如表：

请解决以下同题：
如图，在平面直角坐标系中，根据表中数值描点，请你用平滑曲线连接描出的这些点；

当滑雪者滑行秒时，滑行距离是______米；
下面三个推断：
曲线上每一个点都代表的值与的值的一种对应
自变量的取值范围是
滑行最远距离是米
所有推断正确的序号是______．

24. 如图，是正方形对角线上一点，点在上，且．
    求证：；
    连接，求的度数．
    
     

25. 如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
     

26. 关于的二次函数的图象过点．
    求二次函数的表达式；
    已知关于的二次函数，一次函数，在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立．
    求的值；
    直接写出的值．
27. 已知：如图，，，线段与相交于点，以点为中心，将射线绕点逆时针旋转交线段于点．
    若，求证：；
    请你直接用等式表示出线段，，之间的数量关系用含的式子表示．
     

28. 在平面直角坐标系中，对于点和直线，给出如下定义：若点在直线上，且以点为顶点的角是，则称点为直线的“关联点”．
    若在直线上存在直线的“关联点”，则点的坐标为______；
    过点作两条射线，一条射线垂直于轴，垂足为；另一条射线交轴于点，若点为直线的“关联点”求点的坐标；
    以点为圆心，为半径作圆，若在上存在点，使得的顶点为直线的“关联点”则点的横坐标的取值范围是______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

3.【答案】

【解析】解：将点代入反比例函数，
得，
故选：．
待定系数法求解析式即可．
本题考查了反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量；销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查众数的应用，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

5.【答案】

【解析】解：只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B.只是中心对称图形，不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后重合．
 

6.【答案】

【解析】解：，
∽，
：：，
而：：，，
：：，
．
故选：．
首先由可以得到：：，而：：，，由此即可求出．
本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据圆周角定理得到，由三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：该消毒液的大瓶装克和小瓶装克两种产品的销售数量按瓶计算比为：，
；
该厂每天生产这种消毒液克，
．
依题意可列方程组．
故选：．
根据两种包装的销售数量之比及每天生产消毒液的总数，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：根据题意，使二次根式有意义，即，
解得；
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式求范围．
本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于等于即可．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线的解析式为，
故答案为：
根据二次函数的性质写出一个符合的即可．
本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
 

11.【答案】；

【解析】解：无理数满足不等式，
则符合条件的无理数有：，等．
由于无理数满足不等式，若为无理数，则被开方数在使在到之间，由此即可求解．
此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．
 

12.【答案】

【解析】解：方程的两边同乘，得
，
解得．
检验：把代入．
原方程的解为：．
故答案为．
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，在线段上找一点使得，

，
由三角形外角性质可得：
，
，
，
即，
故答案为：．
在线段上找一点使得，可得，由三角形外角性质可得，即，即可判断．
本题考查角的大小比较，解题的关键是利用三角形的外角性质三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，则，证出，得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
根据菱形的面积公式得到，即可解决问题．
本题考查菱形的性质，解题的关键是理解题意，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．
 

16.【答案】

【解析】解：当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，即类买一袋茶，类买二袋茶，类买三袋茶叶，
总费用最低为：元．
故答案为：．
根据题意可知，当尽可能多的买单价低的茶叶时，总费用会最少，即购买类一袋茶叶，
本题属于经济类应用题，读懂题目信息，找到如何购买费用最低是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】根据算术平方根，特殊角三角函数，零指数幂、负整数指数幂的定义计算即可．
本题考查实数的运算，解题关键是熟知算术平方根，特殊角三角函数，零指数幂、负整数指数幂的定义．
 

18.【答案】解：将，代入得：，
解得：，
直线的函数关系式为．
当时，，
解得：，
此直线与轴的交点坐标为．

【解析】根据给定点的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出此直线与轴的交点坐标．
本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数关系式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式



，
原式．

【解析】直接利用分式的混合运算进而化简求出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：直线如图所示．

证明：，，
四边形是平行四边形，
平行四边形的对边平行．
故答案为：，，平行四边形的对边平行．

【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据要求画出图形即可．
利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
 

21.【答案】解：根据题意，得，
解得 ．
为负整数，
，．
当时，不符合题意，舍去； 
当时，符合题意，此时方程的根为．

【解析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的值；
将的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的的值．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
时，方程有两个不相等的实数根；
时，方程有两个相等的实数根；
时，方程没有实数根．
也考查了一元二次方程的解法．
 

22.【答案】解：选手的综合成绩；
，
选手获得第一名，选手获得第二名．

【解析】利用加权平均数计算公式可求解；
根据的结论解答即可．
本题考查了加权平均数，掌握平均数的计算公式是本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图所示：

由题意可知，当滑雪者滑行秒时，滑行距离是米，
故答案为：；
由题意可知，
曲线上每一个点都代表的值与的值的一种对应，说法正确；
自变量的取值范围是，原说法错误；
滑行最远距离是米，说法正确；
推断正确的序号是．
故答案为：．
连线，画出函数图象即可；
根据表格数据解答即可；
根据表格结合图象判断即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：连接，

四边形是正方形，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
在四边形中，，
又，
是等腰直角三角形，
．

【解析】根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证；
根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据求出，然后根据四边形的内角和定理求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于利用四边形的内角和定理求出．
 

25.【答案】解：证明：连接，

是的平分线，
．
，
，
，
，
，
．
又为圆的半径，
是的切线．
过点作，

是的平分线，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
即，
．

【解析】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理等．
要证是的切线，只要连接，再证即可；
过点作，根据角平分线的性质可知，，由勾股定理得到的长，再在中根据勾股定理得出的长．
 

26.【答案】解：将点代入得，，
解得，
二次函数的表达式为；
和，令，
，
，
图象与仅交于，

对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，
，，
时，，
过，
，
由知，，
联立方程组，
，
整理得，，
两图象只有一个交点，
，
．

【解析】将点代入，即可得出的值；
根据图象与仅交于，故图象过，从而得出的值；
根据与只有一个交点得，整理得，，根据，可得答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，利用数形结合思想确定直线过原点是解题的关键．
 

27.【答案】证明：，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
与，
，，
，
是等边三角形，
，
，
；

解：，
理由：过点作于，

由得与，
，，
，，
，，
，
．

【解析】利用证明与，可得，，由得是等边三角形，则，即可得出结论；
过点作于，由得与，则，，根据等腰三角形的性质得，，解直角三角形得，，即可得．
本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质；解决问题的关键是运用角的相等关系，线段的相等关系将问题进行转化．
 

28.【答案】 

【解析】解：如图中，由题意，点是直线与直线的交点，


，
故答案为：；

如图中，

点是直线的“关联点”．
或，
，
或；

如图中，过点，作的两条切线．

当，时，，
，
满足条件点的横坐标，
同理，当点在第一象限时，满足，
综上所述，满足条件的的值为．
故答案为：．
如图中，由题意，点是直线与直线的交点；
分两种情形，画出图形，利用等腰直角三角形的性质求解；
如图中，过点，作的两条切线．求出两个特殊位置点的坐标．可得结论．
本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．