2022年中考数学冲刺按题型难易度分层分类精选模拟题300题冲关训练（通用版）：13 解答题中档题20题

这是一份2022年中考数学冲刺按题型难易度分层分类精选模拟题300题冲关训练（通用版）：13 解答题中档题20题，共26页。试卷主要包含了填空题中档题等内容，欢迎下载使用。
13解答题中档题20题

三、填空题中档题
41．请在以下小正方形边长为1的方格纸中作图．
（1）请在方格纸中，以AB为边构造等腰直角△ABC，使∠ACB＝90°；
（2）将△ABC绕着点A逆时针旋转90°，画出对应的△AB'C'．

42．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

43．某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求m的值．
（2）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数．
（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题．
如图2，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
类别
频数（人数）
频率
力学
m
0.5
热学
8

光学
20
0.25
电学
12


44．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表：
专家
A
B
C
D
E
评分
10
10
8.8
8.9
9.7
场外有数万名观众参与评分，记观众所评的分数为x．将评分x按照7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10分组，分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）现场专家评委对该选手评分的中位数为 　 　；众数为 　 　；
（2）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：
方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分；
方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．
①直接写出与的大小关系；
②请直接写出与的大小关系．

45．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）

46．邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：

某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 　 　；
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
47．某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整；
（2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率．

48．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题：

（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的垂直距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．）
49．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标；
（3）在直线的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

50．我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航空母舰长为315米且B比C高出10米，求舰载机相对舰尾C的高度．（参考数据：sin11.3°≈0.22，sin14°≈0.24，tan11.3°≈0.2，tan14°≈0.25）

51．某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）

52．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，过点A，C，D作⊙O，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，连接FA，FE，FC．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

53．九（1）班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项．根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
a
0.5
戏剧
4

散文
10
0.25
其他
6

合计
b
1
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出：a＝　 　．b＝　 　m＝　 　；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请求选取的2人恰好是甲和乙的概率．

54．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元；其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．
（1）求A，B两种饰品的单价；
（2）购买当日，正逢开学季搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A种饰品的资金不少于720元，A，B两种饰品共100件；问购买A，B两种饰品有哪几种方案？
55．如图，小明在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到D处再测得该建筑物顶点A的仰角为30°，已知山坡的坡比为1：3，BC＝45米．
（1）求该建筑物的高度；（结果保留根号）
（2）求小明所在位置点D的铅直高度．
（结果精确到1米，参考数据≈1.414，≈1.732）

56．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．
（1）求城门大楼的高度；
（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

57．中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 　 　部；扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　 　度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
（4）根据上面抽样的情况，估计全校2400名学生中“四大古典名著读完4部”的人数．
58．观察下列等式：
第1个等式：1﹣＝；
第2个不等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
根据你观察到的规徘，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：　 　；
（2）请写出第n个等式 　 　（用含n的等式表示），并证明．
59．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

60．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）







【参考答案】
三、填空题中档题
41．请在以下小正方形边长为1的方格纸中作图．
（1）请在方格纸中，以AB为边构造等腰直角△ABC，使∠ACB＝90°；
（2）将△ABC绕着点A逆时针旋转90°，画出对应的△AB'C'．

【解析】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图，△AB′C′即为所求；

42．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．

【解析】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，
∴y＝，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；

（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP＝•PC•yA＝4，
∴×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
43．某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求m的值．
（2）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数．
（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题．
如图2，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
类别
频数（人数）
频率
力学
m
0.5
热学
8

光学
20
0.25
电学
12


【解析】解：（1）∵20÷0.25＝80（人），
∴m＝80×0.5＝40；
故答案为：40；

（2）参与“热学”实验的扇形圆心角的度数是：360°×＝36°；

（3）画树状图如图：

共有12种等可能的情况数，能使小灯泡发光的有6种情况，
则使小灯泡发光的概率是＝．
44．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表：
专家
A
B
C
D
E
评分
10
10
8.8
8.9
9.7
场外有数万名观众参与评分，记观众所评的分数为x．将评分x按照7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10分组，分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）现场专家评委对该选手评分的中位数为 　9.7　；众数为 　10　；
（2）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：
方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分；
方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．
①直接写出与的大小关系；
②请直接写出与的大小关系．

【解析】解：（1）由现场专家评分情况如下表可知，现场专家评委对该选手评分的中位数为9.7；众数为10，
故答案为：9.7，10；
（2）0.2×1+a×1+0.5×1＝1，解得a＝0.3；
设事件A表示“某场外观众评分不小于9”，则P（A）＝0.5；
（3）①＝（10+10+8.8+8.9+9.7）＝9.48，
＝7.5×0.2+8.5×0.3+9.5×0.5＝8.8，
故＞；
②∵＞，而观众人数远远大于专家人数，
∴把专家与观众合在一起的平均数，就越接近于，此时专家评分的权重很小，
而是专家评分的平均数与观众评分的平均数，再求出平均数，此时专家评分的平均数所占的权重为50%，相应的平均分就比原来有较大的提高，
∴＜．
45．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）

【解析】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；

（2）根据勾股定理，AC＝＝2，
A′C′＝＝，
所以，四边形AA′C′C的周长为：1++2+2＝3+3．

46．邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：

某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 　　；
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
【解析】解：（1）恰好抽到“冬季两项”的概率是，
故答案为：；
（2）“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：

共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，
∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：＝．
47．某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是　40人　，并将条形统计图补充完整；
（2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率．

【解析】解：（1）调查的总人数为12÷30%＝40（人），
所以C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）
条形统计图补充为：

故答案为40人；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数为8，
所以恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率＝＝．
48．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题：

（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的垂直距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．）
【解析】解：（1）过F作FH⊥DE于H．

∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝24cm，
∴FH＝DF＝12cm，DH＝DF＝12cm，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝12，
∴CD＝CH+DH＝（12+12）cm，
∵CE：CD＝1：3，
∴DE＝CD＝（16+16）cm，
∵AB＝BC＝DE，
∴AC＝（32+32）cm；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，

∵∠ACG＝45°，
∴AG＝AC＝（16+16）cm＝61.8≈62（cm）．
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为62cm．
49．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标；
（3）在直线的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点M（x，﹣x2+x+4），则点H（x，﹣x+4），
S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，此时点M（2，4）；

（3）四边形ABMC的面积S＝S△ABC+S△BCM＝6×4+（﹣x2+4x）＝15，
解得：x＝1或3，
故点M（1，）或（3，）．
50．我国首艘国产航母“山东”号是保障国土安全，维护祖国统的又一利器．如图，一架歼15舰载机在航母正后方A点准备降落，此时在A测得航母舰首B的俯角为11.3°，舰尾C的俯角为14°，如果航空母舰长为315米且B比C高出10米，求舰载机相对舰尾C的高度．（参考数据：sin11.3°≈0.22，sin14°≈0.24，tan11.3°≈0.2，tan14°≈0.25）

【解析】解：设过A、B、C的水平线分别为AP、BM、CN，过A作AD⊥BM交CN于E，
则DE＝10米，∠BAP＝11.3°，∠PAC＝14°，AP∥BM∥CN，
∴∠ABD＝∠BAP＝11.3°，∠ACE＝∠PAC＝14°，
设AE＝x米，则AD＝AE﹣DE＝（x﹣10）（米），
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝tan11.3°≈0.2，
∴BD≈5AD＝5（x﹣10）（米），
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝tan14°≈0.25，
∴CE≈4AE＝4x（米），
∵BD﹣CE＝315米，
∴5（x﹣10）﹣4x≈315，
解得：x≈365，
即AE≈365米，
答：舰载机相对舰尾C的高度约为365米．

51．某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）

【解析】解：延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米．
在直角△APC中，∠A＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°
∴∠BPC＝30°
在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝60米，
则x﹣x＝60，
解得：x＝90+30，
则BC＝（30+30）米．
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．
答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．

52．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，过点A，C，D作⊙O，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，连接FA，FE，FC．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【解析】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
又∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）如图，连接AE，

∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
53．九（1）班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项．根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
a
0.5
戏剧
4

散文
10
0.25
其他
6

合计
b
1
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出：a＝　20　．b＝　40　m＝　15　；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请求选取的2人恰好是甲和乙的概率．

【解析】解：（1）∵被调查的总人数b＝10÷0.25＝40（人），
∴a＝40×0.5＝20，m%＝×100%＝15%，即m＝15，
故答案为：20、40、15；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中恰好是甲和乙的只有2种，
所以选取的2人恰好是甲和乙的概率＝＝．
54．2022年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元；其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．
（1）求A，B两种饰品的单价；
（2）购买当日，正逢开学季搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A种饰品的资金不少于720元，A，B两种饰品共100件；问购买A，B两种饰品有哪几种方案？
【解析】解：（1）设B种饰品的单价为x元，则A种饰品的单价为（x+25）元，
根据题意，得，
解得x＝15，
经检验，x是原分式方程的根，
15+25＝40（元），
答：A种饰品的单价为40元，B种饰品的单价为15元；
（2）设购买A种饰品m件，则购买B种饰品（100﹣m）件，
根据题意，得，
解得22.5≤m≤25，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种购买方案：
方案一：购买A种饰品23件，B种饰品77件；
方案二：购买A种饰品24件，B种饰品76件；
方案三：购买A种饰品25件，B种饰品75件．
55．如图，小明在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到D处再测得该建筑物顶点A的仰角为30°，已知山坡的坡比为1：3，BC＝45米．
（1）求该建筑物的高度；（结果保留根号）
（2）求小明所在位置点D的铅直高度．
（结果精确到1米，参考数据≈1.414，≈1.732）

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝45米，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC•tan60°＝45（米），
答：建筑物的高度为45米；
（2）过点D作DF⊥AB于F，DP⊥BC于P，
则四边形BDPF是矩形，
∴PD＝BF，DF＝BP，
设PD＝BF＝x米，
在Rt△PCD中，i＝tan∠PCD＝＝，
∴CP＝3x（米），
∴DF＝BP＝（45+3x）（米），
在Rt△PAF中，∠ADF＝30°，
∴AF＝DF•tan30°＝（45+3x）（米），
又∵AF＝AB﹣BF＝（45﹣x）（米），
∴（45+3x）＝45﹣x，
解得：x＝45﹣15，
即PD＝（45﹣15）≈19（米），
答：人所在的位置点P的铅直高度约为19米．

56．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．
（1）求城门大楼的高度；
（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

【解析】解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，
由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，
∵∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，
∵tan∠B＝，
∴tan22°＝，
即，
解得，a＝12，
答：城门大楼的高度是12米；
（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，
∴sin22°＝，
∴AB＝32，
即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．

57．中华文化源远流长，《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 　1　部；扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　72　度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
（4）根据上面抽样的情况，估计全校2400名学生中“四大古典名著读完4部”的人数．
【解析】解：（1）被调查的总人数为14÷35%＝40（人），
∴“2部”对应的人数为40﹣（2+14+10+8）＝6（人），
∴人数最多的数1部，即众数为1部，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：1、72；
（2）补全条形图如下：

（3）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，
树状图如下图所示：

一共有16种等可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是；
（4）10÷25%＝40（人），（人）．
答：估计全校2400名学生中“四大古典名著读完4部”有480人．
58．观察下列等式：
第1个等式：1﹣＝；
第2个不等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
根据你观察到的规徘，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：　﹣＝　；
（2）请写出第n个等式 　﹣＝（n≥1，且n是整数）　（用含n的等式表示），并证明．
【解析】解：（1）第5个等式：﹣＝；
故答案为：﹣＝；
（2）第n个等式：﹣＝（n≥1，且n是整数），
证明：左边＝﹣
＝，
∴左边＝右边，
∴﹣＝（n≥1，且n是整数）．
故答案为：﹣＝（n≥1，且n是整数）．
59．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

【解析】解：如图，作BE⊥DH于点E，

则GH＝BE、BG＝EH＝10米，
设AH＝x 米，则BE＝GH＝GA+AH＝（43+x）米，
在Rt△ACH中，CH＝AHtan∠CAH＝x•tan55°，
∴CE＝CH﹣EH＝x•tan55°﹣10，
∵∠DBE＝45°，
∴BE＝DE＝CE+DC，即43+x＝x•tan55°﹣10+35，
解得：x≈45，
∴CH＝x•tan55°＝1.4×45＝63，
答：塔杆CH的高为63米．
60．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）

【解析】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．