高中人教版 (2019)第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试习题

万有引力与宇宙航行单元训练

1.人类向宇宙空间发展最具可能的是在太阳系内地球附近建立“太空城”。设想中的一个圆柱形“太空城”，其外壳为金属材料，长1600 m，直径200 m，内壁沿纵向分隔成6个部分，窗口和人造陆地交错分布，陆地上覆盖1.5 m厚的土壤，窗口外有巨大的铝制反射镜，可调节阳光的射入，城内部充满空气，“太空城”内的空气、水和土壤最初可从地球和月球运送，以后则在“太空城”内形成与地球相同的生态环境。为了使“太空城”内的居民能如地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习惯，“太空城”将在电力的驱动下，绕自己的中心轴以一定的角速度转动。如图为“太空城”垂直中心轴的截面，下列说法正确的是(   )
 

A.“太空城”内物体所受的“重力”方向一定通过垂直中心轴截面的圆心

B.人随“太空城”自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供

C.“太空城”内的居民不能运用天平准确测出质量

D.“太空城”绕自己的中心轴转动的角速度越大，“太空城”的居民受到的“重力”越大

2.两个靠得很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统。双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。现将“地—月系统”看作双星系统，如图所示，点位于地球球心、点位于月球球心，它们绕着连线上的O点以角速度ω做圆周运动。P点到、两点的距离相等且等于、间距离，该点处小物体受地球引力和月球引力的合力F，方向恰好指向O点，提供向心力，可使小物体绕着O点以角速度ω做圆周运动，因此P点是一个拉格朗日点。现沿连线方向为x轴，过点与连线垂直的方向为y轴建立直角坐标系。三点分别为P点关于x轴、y轴和原点的对称点，D点为x轴负半轴上一点，到点的距离小于P点到点的距离。根据以上信息可以判断(   )
 

A.A点一定是拉格朗日点 B.B点一定是拉格朗日点

C.C点可能是拉格朗日点 D.D点可能是拉格朗日点

3.星球GJ357d被科学家称为“超级地球”，它是绕着矮星GJ357旋转的三颗行星之一，其余两颗行星分别为GJ357b和GJ357c。已知CJ357d的公转周期为55.7个地球日，其质量约是地球的六倍；GJ357b的公转周期为3.9个地球日；矮星GJ357的质量和体积均只有太阳的三分之一，温度比太阳低约40%。由上述信息可知(   )

A.GJ357b的线速度比GJ357d的线速度小

B.GJ357d的第一宇宙速度比地球第一宇宙速度小

C.GJ357b公转的角速度比地球公转的角速度小

D.GJ357d公转的半径比地球公转的半径小

4.如图所示，某双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是（），它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球所在处A点看过去，双星运动的平面与垂直，距离恒为L。观测发现质量较大的恒星B做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为（单位是弧度）。已知引力常量为很小，可认为，忽略其他星体对双星系统的作用力。则(   )
 

A.恒星C的角速度为

B.恒星C的轨道半径大小为

C.恒星C的线速度大小为

D.两颗恒星的质量m和M满足关系式

5.如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(   )
 

A.甲的向心加速度比乙的小 

B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大 

D.甲的线速度比乙的大

6.假设登陆火星需经历如图所示的变轨过程。已知引力常量为G，则下列说法正确的是(   )
 

A.飞船在轨道上运动时，运行的周期

B.飞船在轨道上运动时，运行的周期

C.飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气

D.若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道I上运动的角速度，可以推知火星的密度

7.2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(   )

A.核心舱的质量和绕地半径 

B.核心舱的质量和绕地周期

C.核心舱的绕地角速度和绕地周期 

D.核心舱的绕地线速度和绕地半径

8.2021年2月，执行我国火星探测任务的天问一号探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为。已知火星半径约为，火星表面处自由落体的加速度大小约为，则天问一号的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(   )

A. B. C. D.

9.2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的，下列说法正确的是(   )

A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍

B.核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s

C.核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h

D.后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小

10.“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为(   )

A. B. C. D.

11.2020年7月23日，在中国文昌航天发射场，“天问一号”火星探测器发射成功，一次实现火星环绕和着陆巡视探测。假设航天员登上火星后进行科学探测与实验，航天员在火星的极地表面放置了一倾角为θ的斜坡，然后从斜坡顶端以初速度水平抛出一个小物体，经时间t落回到斜坡上。已知火星的半径为R，自转周期为，引力常量为G，不计气体阻力。则火星的(   )

A.质量为 

B.第一宇宙速度为

C.密度为 

D.同步卫星离火星表面高度为

12.2017年10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号。关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在。1974年拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒发现赫尔斯-泰勒脉冲双星，这个双星系统在互相绕转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这种现象为引力波的存在提供了首个间接证据。科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的。关于赫尔斯-泰勒脉冲双星的周期T随双星之间的距离L变化的关系图像正确的是(   )
 

A. B. C. D.

13.2019年1月3日，我国“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆。如图所示为位于月球背面的“嫦娥四号”探测器A通过“鹊桥”中继星B向地球传输电磁波信息的示意图。拉格朗日点位于地月连线的延长线上，“鹊桥”的运动可看成如下两种运动的合运动：一是在地球和月球引力共同作用下，“鹊桥”在点附近与月球以相同的周期一起绕地球做匀速圆周运动；二是在与地月连线垂直的平面内绕点做匀速圆周运动。已知地球的质量为月球质量的n倍，地球到点的距离为月球到点的距离的k倍，地球半径、月球半径以及“鹊桥”绕点做匀速圆周运动的半径均远小于月球到点的距离。（提示：“鹊桥”绕点做匀速圆周运动的向心力由地球和月球对其引力在过点与地月连线垂直的平面内的分量提供，电磁波的传播速度）
 

（1）若月球到点的距离，“鹊桥”接收到“嫦娥四号”传来的信息后需经处理才能发出，试估算“嫦娥四号”从发出信息到传回地球的最短时间（保留3位有效数字）；

（2）试推导“鹊桥”绕点做匀速圆周运动的周期T的（近似）表达式。若天，求出T的天数（取整数）。

14.已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在以下问题的讨论中，空气阻力及地球自转的影响均忽略不计。
 

（1）物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度。请证明第一宇宙速度的大小。

（2）某同学设想从地面以第一宇宙速度竖直上抛一可视为质点的物体，关于物体上升的最大高度，他的解答过程如下：
设物体的质量为m，上升的最大高度为h，重力加速度为g，由机械能守恒定律有
又，所以
联立得。
老师说该同学的上述解答是不正确的，请指出上述解答错误的原因，并分析说明物体上升的最大高度h应该比大还是小？

（3）试分析说明第（2）问中将物体以第一宇宙速度竖直上抛至物体落回抛出点的整个过程中，物体的速度和加速度的变化情况，并以竖直向上为正方向，在图中定性画出物体从抛出到落回抛出点的整个过程中速度随时间变化的图像。

答案以及解析

1.答案：ABD

解析：“太空城”内物体做匀速圆周运动，向心力指向圆心，故其所受的“重力”方向一定通过垂直中心轴截面的圆心，故A正确；“太空城”内物体做匀速圆周运动，人随“太空城”自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供，故B正确；天平的测量原理是等臂杠杆，故“太空城”内的居民可以运用天平准确测出质量，故C错误；等效重力等于向心力，故，故“太空城”绕自己的中心轴转动的角速度越大，“太空城”的居民受到的“重力”越大，故D正确。

2.答案：A

解析：由对称性可知，在A点的小物体受地球和月球的吸引力，合力方向一定指向O点，其受力情况与P点相同，可知A点一定是拉格朗日点，选项A正确；在B点的小物体，受地球的引力和月球的引力的合力不可能指向O点，则B点不可能是拉格朗日点，同理C点也不可能是拉格朗日点，选项BC错误；在D点时，小物体受到的地球的引力大于在P点时地球的引力，再加上月球的引力，则在D点的合力大于在P点时的合力，则角速度不可能与在P点时的角速度相等，即D点不可能是拉格朗日点，选项D错误。

3.答案：D

解析：GJ357b公转周期更短，则离恒星更近，其线速度比GJ357d的线速度大，故A错误；由于GJ357d的半径与地球半径关系未知，其第一宇宙速度无法计算，故B错误；地球公转周期比GJ357b公转周期大，则角速度比GJ357b公转的角速度小，故C错误；由可知，计算可知地球公转的半径比GJ357d公转的半径大，故D正确。

4.答案：BCD

解析：恒星C与B具有相同的角速度，则角速度为，选项A错误；恒星B的轨道半径为，对恒星系统有，解得恒星C的轨道半径为，选项B正确；恒星C的线速度大小为，选项C正确；对恒星系统有，解得，相加得，联立可得，选项D正确。

5.答案：A

解析：设中心天体质量为M，由万有引力提供向心力得，变形得，，只有周期T和M成减函数关系，而和M成增函数关系，故选A。

6.答案：ACD

解析：根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期，选项A正确，B错误；飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，使飞船减速，从而使飞船所受的万有引力大于所需的向心力，飞船做向心运动，选项C正确；若轨道Ⅰ贴近火星表面，可认为轨道半径等于火星半径，根据万有引力提供向心力有，火星密度，火星体积，联立解得，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确。

7.答案：D

解析：核心舱绕地球做匀速圆周运动，有，核心舱的质量在求地球质量时会被约掉，已知核心舱绕地线速度和半径或者绕地角速度和半径或者绕地周期和半径即可求出地球质量，则D正确。

8.答案：C

解析：在火星表面有，火星近火卫星所受万有引力充当向心力有，探测器在停泊轨道上远行时有，探测器远火点与近火点与火星中心距离之和为，联立可得，停泊轨道与火星表面的最远距离约为，C项正确。

9.答案：AC

解析：根据万有引力定律有，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小与它在地面上时所受地球的万有引力大小之比为，所以选项A正确；核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9 km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以选项B错误；根据，可知轨道半径越大，周期越大，而核心舱的轨道半径明显小于地球同步卫星的轨道半径，所以其周期比地球同步卫星的周期小，所以核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h，选项C正确；卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，有，解得，则卫星的轨道半径与卫星的质量无关，而与卫星的环绕速度有关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，所以选项D错误。

10.答案：D

解析：绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得，则轨道半径，由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值，故选项D正确。

11.答案：A

解析：如图所示，设火星表面的重力加速度为g。

由平抛运动规律，有
且
联立得
设火星质量为M，在火星极地表面质量为m的物体所受的重力等于火星对它的万有引力，即，解得，代入数据得，故A正确。
火星的密度，故C错误。
设火星的第一宇宙速度为v，由牛顿第二定律有，解得，故B错误。
设火星同步卫星离火星表面高度为h，其质量为m，由牛顿第二定律有，解得，故D错误。

12.答案：B

解析：脉冲双星做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，有，由几何关系得，联立解得；已知此双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，可知每食星球的质量都在变化，但质量之和不变，所以有，故B正确，A、C、D错误。

13.答案：（1）61.7 s

（2）；15

解析：解：（1）由题意可知，信息先从A传到B的时间
在B处理的时间为
再从B传到地球的时间
则“嫦娥四号”从发出信息到传回地球的最短时间
（2）设地球、月球和“鹊桥”B的质量分别为。由题意可知，B绕地球运动时可看成质点，B以周期绕地球做匀速圆周运动的向心力为F，有①
又由B绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球、月球对它的万有引力提供得
②
另设B在绕点做匀速圆周运动的半径为R，且做圆周运动的向心力由地球、月球对它的万有引力的一个分力提供，有③
再由公式④
联立①②③④解得⑤
将天代入⑤中，解得天

14.答案：见解析
解析：（1）设质量为m的物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有，解得。
（2）错误原因：随着竖直上抛物体高度的升高，离地面越来越远，万有引力越来越小，重力加速度的值会越来越小。
由于物体上升过程中做减速运动的加速度越来越小，因此物体上升的最大高度应该大于做匀减速运动上升的高度，即物体上升的最大高度应该大于。
（3）物体上升过程中速度与加速度方向相反，所以速度不断减小；上升过程中物体所受的万有引力越来越小，加速度也越来越小。物体下降过程中，速度与加速度方向相同，所以速度不断增大；下降过程中物体所受的万有引力越来越大，加速度也越来越大。图像如图所示：