高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示巩固练习，共12页。试卷主要包含了、复数三角形式的乘、除运算等内容，欢迎下载使用。

一 、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值
一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量eq \(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝eq \r(a2＋b2)，
根据任意角余弦、正弦的定义可知
cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r).
因此a＝rcs θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcs θ)＋(rsin θ)i＝r(cs θ＋isin θ)，
上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．
显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z
二 、复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)×r2(cs θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
(3)[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn[cs(nθ)＋isin(nθ)].
考点一：复数的三角表示
例1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
A．B．
C．D．
例2．（2021·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）.
A．B．
C．D．
例3．（2021·全国·高一课时练习）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若i，则i
B．若i，则i
C．若i，i，则i
D．若i，i，则i
例4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例5．（2021·全国·高一课时练习）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2021·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例7．（2021·江苏·徐州市第一中学高一期中）已知为复数，且为纯虚数，则（ ）
A．B．的实部为0时，
C．的最大值为3D．
例8．（2021·全国·高一课时练习）在复平面上，A、B表示复数、对应的点，若，则______．
例9．（2021·全国·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．
例10．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．
例11．（2021·全国·高一课时练习）已知
（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.
例12．（2021·上海师大附中高一期末）已知，且，若．
（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；
（2）求．
例13．（2021·全国·高一课时练习）设，求的取值范围．
例14．（2021·上海·高一单元测试）在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.
考点二：复数乘、除运算的三角表示 及其几何意义
例1．（2021·北京交通大学附属中学分校高一期末）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2021·上海·高一课时练习）复数等于（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2021·上海交大附中高一期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
例4．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知m∈R，复数z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位），若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是_____
例6．（2021·湖北·华中师大一附中高一期中）设复数，其中为虚数单位，若满足，则____________．
例7．（2021·全国·高一课时练习）计算:4(cs 80°+isin 80°)÷[2(cs 320°+isin 320°)].
例8．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z＝（m2+m﹣6）+（m2+m﹣2）i（m∈R）在复平面内所对应的点为A．
（1）若复数z+4m为纯虚数，求实数m的值；
（2）若点A在第二象限，求实数M的取值范围；
（3）求|z|的最小值及此时实数m的值．
例9．（2021·全国·高一课时练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
一、单选题
1．（2021·全国·高一课时练习）设z∈C，且|z|＝1，当|（z﹣1）（z﹣i）|最大时，z＝（ ）
A．﹣1B．﹣iC．﹣﹣iD． +i
2．（2021·全国·高一课时练习）设，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2021·上海·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）
A．，B．C．D．
5．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式(其中i为虚数单位，)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（ ）
A．复数对应的点位于第三象限B．为纯虚数
C．的共轭复数为；D．复数的模长等于
9．（2022·山西·临县第一中学高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
10．（2021·全国·高一课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是______．
11．（2021·全国·高一课时练习）复数的三角形式是______．
12．（2021·全国·高一单元测试）设，，则的三角形式为___________.
13．（2021·全国·高一课时练习）________.
14．（2021·上海交大附中高一期末）复数的辐角主值是______．
15．（2021·全国·高一课时练习）设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________
16．（2021·福建·仙游一中高一阶段练习），则__________.
17．（2021·上海交大附中高一期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______．
18．（2022·全国·高三专题练习（文））对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．
四、解答题
19．（2021·全国·高一课时练习）求复数的模与辐角．
20．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
21．（2021·全国·高一课时练习）计算：．
22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数．
(1)求及；
(2)当复数z满足，求的最大值．
23．（2021·全国·高一课时练习）设复数，求函数的最大值以及对应的值．
24．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明．
25．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．
26．（2021·全国·高一课时练习）已知，，其中，且，，求的值．
27．（2021·全国·高二单元测试）在△ABC的外部，分别以，为斜边作等腰直角三角形，，若F为的中点，求证：，.