2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中练习数学（A卷）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中练习数学（A卷）试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．1.21B．0.21C．2.1D．12.1
【答案】C
【分析】求出自变量的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．
【详解】△，
△．
所以函数的平均变化率为．
故选：C
2．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求各选项中的导函数，即可确定答案.
【详解】A：，错误；
B：，错误；
C：，错误；
D：，正确.
故选：D
3．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】D
【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得，从而易得．
【详解】由题意，，
所以，．
故选：D．
4．已知函数，则=（ ）
A．8B．6C．3D．1
【答案】B
【分析】先求得导函数，然后求得.
【详解】，
所以.
故选：B
5．2022年北京冬奥会共有109个比赛项目，甲、乙两名同学分别从冰上项目：短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰壶、冰球5个体育项目中，任意选取一个项目进行学习，要求两人不能同时选报同一个项目，则不同的选取方法共有（ ）
A．7种B．20种C．25种D．32种
【答案】B
【分析】从5个项目中任选2个作排列即可求不同的选取方法.
【详解】由题意，从5个项目中任选2个让甲乙各选一个学习，则有种.
故选：B
6．在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
【答案】C
【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：C
7． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
8．数列{an}的首项a1＝2，且（n+1）an＝nan+1，则a3的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据题目所给数列的递推关系，依次求得的值.
【详解】依题意，所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系求某一项的值，属于基础题.
9．一个球从100m高的地方自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第6次着地时，经过的路程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】写出第n次反弹高度的通项公式，注意第次着地到第次着地路程，再应用等比数列前n项和公式求路程.
【详解】由题设，第n次反弹高度为，从第次着地到第次着地路程为，
所以第6次着地时经过的路程为m.
故选：A
10．若函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】利用导数求的极值，根据函数图象与x轴有三个交点判断极值的符号列不等式组，求a的范围.
【详解】由，则时，
当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；
所以极大值为，极小值为，且趋向负无穷为负无穷大，趋向正无穷为正无穷大，
要使与x轴有三个交点，只需，即.
故选：D
二、填空题
11．已知，则______.
【答案】5
【分析】由与的关系求解.
【详解】,
,
故答案为：5
12．等比数列满足如下条件：①；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式______.
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.
【详解】满足上述所有条件的一个数列的通项公式.
故答案为：(答案不唯一)
13．如图函数的图象，比较、、的大小______.
【答案】
【分析】根据所在区间的单调性及陡峭程度判断对应导数值的大小关系.
【详解】由题图，在递增区间且比的位置陡峭，在递减区间，
所以.
故答案为：
14．在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】对求导注意定义域范围，讨论、判断的正负确定的单调性，结合已知区间的单调性求参数范围.
【详解】由题设且定义域为，
当时，即在定义域上递增，满足题设；
当时，上，递减，上，递增，
此时，要使在上单调递增，则，可得.
综上，a的取值范围是.
故答案为：
三、双空题
15．若表示不超过x的最大整数（例如：，），数列满足，.
（1）______；
（2）______.
【答案】 3
【分析】利用累加法求得，根据函数新定义求且，应用等差数列前n项和公式求.
【详解】由题设，，
所以，故，则，
而，则.
故答案为：3，
四、解答题
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)；
(2)最大值为0，最小值为-20.
【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线方程；
（2）判断在区间上的符号，确定的单调性，进而求最值即可.
【详解】(1)由题设，则，而，
所以切线方程为，整理得.
(2)由，则时，时，
所以在上递增，在上递减，而，
故极大值也是最大值为，最小值为.
17．已知数列，，.
(1)求数列的前5项；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)前5项依次为；
(2).
【分析】（1）由题设，根据等比数列的定义写出的通项公式，即可得前5项；
（2）应用分组求和，结合等比数列前n项和公式求.
【详解】(1)由题设，而，
所以是首项、公比都为2的等比数列，则，
故的前5项依次为.
(2)由（1）知：，
所以.
18．已知是公差为d的等差数列，其前n项和为，且，现从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得有最小值，并完成下面问题. 条件①；条件②；条件③.
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】分别选择①②③，然后由等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解通项公式及前项和的最小值即可．
【详解】(1)选①时，根据题意得，，解得，
.
选②时，根据题意得，
.
选③时，根据题意得，
.
(2)选①时,由（1）可得
所以当或4时，．
选②时，由（1）可得，
所以当时，.
选③时, 由（1）可得，
所以没有最小值．
19．某制造商要制造一种体积为立方厘米的圆柱体金属饮料罐（包含上下盖），设该圆柱体的高为h（单位：厘米），底面半径为r（单位：厘米）.当底面半径r为多少厘米时，每个金属饮料罐所用的材料最少.（提示：圆柱体的体积）
【答案】厘米所用材料最少.
【分析】由圆柱的体积公式可得，再由表面积公式有，应用三元基本不等式求其最小值，并确定等号成立条件即可得结果.
【详解】由，则，即，
圆柱表面积为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，当底面半径r为厘米时每个金属饮料罐所用的材料最少.
20．已知函数，其中且a为常数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)求函数的单调区间；
(3)直接写出函数的零点个数（不要求证明）.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析.
【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而求极小值即可.
（2）讨论、、，结合导数分别判断的符号，即可确定单调性.
（3）讨论、，根据指数函数性质或令求零点的个数.
【详解】(1)由题设，则，
当时，递减；当时，递增；
所以极小值为.
(2)当时，在R上递增；
由，
当时，上，上，
所以在上递增，在上递减；
当时，上，上，
所以在上递减，在上递增；
综上，：递增区间为，递减区间为；
：递增区间为R；
：递减区间，递增区间为；
(3)当有，无零点；
当时，令，可得，即有一个零点.
综上，时无零点，时有一个零点.
21．若数列满足，则称为E数列.记.
(1)写出一个满足，且的E数列；
(2)若，，证明E数列是递减数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）
(2)证明见解析；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】(1)根据与和可考虑写出交替的数列.
(2)先证必要性，根据数列是递减数列，可得，进而求得.再证明充分性，因为，故，再累加可得证明即可.
(3)设,则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可.
【详解】(1)（或 ）
(2)必要性：因为数列是递减数列，
所以 ，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因为，所以，
所以数列是递减数列.
综上，结论得证．
(3)令，
则．
因为，，……,，
所以
因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，
亦即或．
当时，
数列的项满足，，时，
有，；
当时，
数列的项满足，，，时，
有，．
当，时，不能被整除，
所以对任意给定的整数,不存在数列使得，．
【点睛】关键点点睛：在解数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.