2021-2022学年福建省建瓯第一中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省建瓯第一中学高二下学期第一次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省建瓯第一中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．函数的定义域为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，进而可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：B.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.2．函数的图象大致是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可.【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，因为当时，，所以当时，，时，，故排除D，当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，故选：C3．已知随机变量，若，则，分别是(   　)A．4和2.4 B．2和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6【答案】A【详解】 故选A．4．二项式的展开式中的项的系数为（       ）A．240 B．80 C． D．【答案】C【分析】写出二项式的展开式，从而可得的展开式中的系数.【详解】因为二项式的展开式为：，所以的展开式中含的项为，则的系数为，故选：C.5．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（       ）A．120种 B．90种C．60种 D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.6．已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数.己知，设事件A为“由a，b，c组成三位正整数(数字可重复)”，事件B为“由a，b，c组成的三位正整数为递增数”则(       )A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件概率计算公式即可计算.【详解】由题可知n(A)＝4×5×5＝100，由a，b，c组成的三位正整数为递增数，则：若该三位数个位是0，则百位和十位从1，2，3，4四个数字中任选两个按大小排列即可，共种可能；若该三位数个位是1，则百位和十位从2，3，4三个数字中任选两个按大小排列即可，共种可能；若该三位数个位是2，则百位为4，十位为3，共1种可能；故n(AB)＝6＋3＋1＝10，故.故选：B.7．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：分以下三种情况讨论，（1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有个元素；（2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；（3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；综上所述，集合共有个元素.故选D.【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题.8．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.【详解】随机变量满足,,其中.则随机变量的分布列为:  所以 随机变量,所以当时,,当时, 所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1): 则当即,解得.所以A、B错误.恒成立.所以C错误,D正确故选:D【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.二、多选题9．下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.【详解】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.故选：BC.10．对于式子，下列说法正确的有（       ）A．它的展开式中第4项的系数等于135B．它的展开式中第3项的二项式系数为20C．它的展开式中所有项系数之和为64D．它的展开式中第一项的系数为【答案】CD【分析】根据的展开式的通项公式求解判断.【详解】的展开式的通项公式是，A.，所以第4项的系数等于-540，故错误；B. ，所以它的展开式中第3项的二项式系数为15，故错误；C. 令，得，所以它的展开式中所有项系数之和为64，故正确；D. ，所以它的展开式中第一项的系数为，故正确；故选：CD11．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（       ）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20【答案】AB【分析】利用组合的概念可判断A，利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B，利用间接法可判断C，若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D．【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有种选法，选化学，不选物理，有种选法，物理与化学都选，不选历史，有种选法故总数为种，故D正确.故选：AB.12．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（       ）A．该产品能销售的概率为B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则D．【答案】ABD【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A可判断，由题意可得可判断选项B，根据独立重复事件的概率问题可判断C，D选项.【详解】选项A. 该产品能销售的概率为,故选项A正确.选项B. 由A 可得每件产品能销售的概率为一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则，故选项B正确.选项C. 由题意，不选项C不正确.选项D. 由题意，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售. 所以,故选项D正确.故选：ABD三、填空题13．若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．【答案】【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.【详解】令，则，，所以函数图象恒过定点为.故答案为：14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，用B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则___________.【答案】【分析】根据互斥事件概率的乘法公式和条件概率的计算公式，带值计算即可.【详解】由甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以表示取出的球是红球，白球和黑球的事件，则是两两互斥的事件，且，则.故答案为：.15．校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）【答案】528【详解】(1)当三辆车都不相邻时有(种)(2)当两辆车相邻时有(种)(3)当三辆车相邻时有(种)则共有(种)点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可．16．设函数，若是函数的最小值，则实数a的取值范围为___________.【答案】【分析】先由得到 ，再由时，的单调性，分，讨论求解.【详解】解：当时，得到递增，且，当时，，在上递减，在上递增，若，，则在处取得最小值，不符合题意；若，，则在处取得最小值，若是函数在R上的最小值，则，解得，故答案为：四、解答题17．已知函数．(1)求函数的定义域，井判断函数的奇偶性；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)，奇函数(2)【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；（2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案.【详解】(1)由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，又,所以函数奇函数；(2)因为，所以不等式可化为，因为在是增函数，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集为．18．已知正整数n满足.(1)求n；(2)求的展开式中的系数.（用数字表示结果）【答案】(1)(2)330【分析】（1）利用组合数公式及排列数公式得到方程，解得即可；（2）依题意可得展开式中的系数为，再根据组合数的性质计算可得；【详解】(1)解：因为，所以，即，解得或（舍去）.(2)解：由（1）可得，所以展开式中的系数为.所以展开式中的系数为330.19．二项式的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据二项式系数的性质即可求解；（2）设,令，代入即可求解；（3）由（2），再令，两式相加即可求解.【详解】设.（1）二项式系数之和为.（2）各项系数之和为，令，得.（3）由（2）知，①令，得，②将①②两式相加，得，此即为所有奇数项系数之和.20．1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日，中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节，为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为，，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．（1）求恰好答对两个问题的概率；（2）设答对题数为，答对题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．【答案】（1）；（2）选择投票给学生；理由见解析．【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；（2）根据古典概型运算公式求出随机变量的数学期望和方差，结合二项分布的定义求出随机的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可.【详解】解析：（1）恰好答对两个问题的概率为：；（2）所有可能的取值为1，2，3．；；．所以．由题意，随机变量，所以．，．因为，，可见，与的平均水平相当，但比的成绩更稳定，所以选择投票给学生．21．如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有，，，，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是，南干道有，，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为，．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．(1)求北干道的，，，个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；(2)若南干道被堵塞路段的个数为，求的分布列及数学期望；(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)高峰期选择南干道路线较好，理由见解析【分析】（1）正难则反，先求出四个路段全通勤的概率，用1减去即可求解；（2）确定，结合独立事件概率公式写出分布列，即可求解；（3）设北干道被堵塞路段的个数为，则，求出，比较，大小即可求解.【详解】(1)记北干道的，，，四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A，则；(2)由题意可知的可能取值为0，1，2，，，．随机变量的分布列为：012 ；(3)设北干道被堵塞路段的个数为，则，所以．因为，所以高峰期选择南干道路线较好．22．某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加（，且）次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；方案① ：若中奖则得30分，否则得0分；方案② ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．(1)如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第i次获得的分数为，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．（精确到0.1，参考数据：．）【答案】(1)应选择方案① ，理由见解析；(2)，【分析】（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；（2）依据题给条件即可求得的值．【详解】(1)若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，5．       ，，，， 所以．            若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，则，，，，       因为，所以应选择方案①．(2)依题意得，          的可能取值为10，5其分布列为105P 所以，则，       由得，        所以为等比数列．其中首项为，公比为．        所以，故．