2021/2022学年度第二学期期中质量检测试卷

高二数学（文科）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题(共0分)

1．是虚数单位，复数等于（       ）

A． B． C． D．

2．下列导数运算正确的是（       ）

A． B． C． D．

3．点P的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为（       ）

A． B． C． D．

4．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是 （       ）

A． B．

C． D．

5．甲、乙、丙、丁四名同学在建立关于变量、的回归模型时，分别选择了种不同的模型，并计算出了相应的相关系数，如下表，则模型拟合程度最好的是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

6．函数的单调递减区间为（       ）

A． B． C． D．

7．若圆C的参数方程为：（为参数），直线l的直角坐标方程为：．则圆C与直线l的位置关系是（       ）

A．相切 B．相离

C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心

8．设有下面四个命题：

：若复数z满足，则；

：若复数z满足，则；

：若复数，满足，则；

：若复数，则．

其中正确的是（       ）

A．， B．， C．， D．，

9．函数的大致图像为（       ）

A． B．

C． D．

10．已知，，则（       ）

A． B． C． D．，大小不确定

11．在极坐标系下，圆心为，半径为3的圆的极坐标方程为(       )

A． B．

C． D．

12．若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

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二、填空题(共0分)

13．在极坐标系中，，，则____________．

14．曲线在点处的切线方程是__________.

15．将参数方程(为参数)化成普通方程为___________．

16．函数的极值点为，则的值为_________.

三、解答题(共0分)

17．设为虚数单位，，复数，.

(1)若是实数，求的值；

(2)若是纯虚数，求的值.

18．设函数．

(1)求f（x）在处的切线方程；

(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

19．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）．

(1)求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；

(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值．

20．某电商销售平台为了解“电商消费者的性别对购买生鲜食品是否有影响”，随机调查了400名购买生鲜食品的消费者以了解情况，得到如下信息：

(1)400名消费者中男性购买生鲜食品、女性购买生鲜食品的频率分别是多少？

(2)能否有97.5%的把握认为“电商消费者购买生鲜食品与性别有关”，并说明理由．

附：，．

21．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若点，曲线与曲线的交点为A，B两点，求的值．

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】

解：，

故选：C．

2．C

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的求导公式判断即可.

【详解】

对于A选项，，故A错误；

对于B选项，，故B错误；

对于C选项，，故C正确；

对于D选项，，故D错误；

故选：C

3．D

【解析】

【分析】

根据P点所在象限，结合、，分析计算，即可得答案.

【详解】

因为P的直角坐标为，位于第一象限，且，

所以，

又，

所以，所以它的极坐标可表示为.

故选：D

4．C

【解析】

【分析】

先求导，利用导函数得到极值，再求出端点值，比较得到最值.

【详解】

，令得：或，令得：，故在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是3，-17.

故选：C

5．C

【解析】

【分析】

根据相关指数的大小与模型拟合程度之间的关系可得出结论.

【详解】

由表格中的数据可知，丙模型的相关指数绝对值最大，因此，丙模型的拟合效果最好.

故选：C.

6．B

【解析】

【分析】

求得函数定义域与导函数，令，求得不等式解集即可.

【详解】

因为，其定义域为，又，

令，即，解得.

即的单调减区间为.

故选：B.

7．D

【解析】

【分析】

把圆C的参数方程化为直角坐标方程，判断出且l不过圆心，继而判断出圆C与直线l的位置关系.

【详解】

解：圆C的参数方程为：（为参数），化为直角坐标方程为：，圆心为C，半径为，又直线l的直角坐标方程为：，所以圆心C到直线l距离为，所以圆C与直线l相交，圆心C不在直线 l上，所以圆C与直线l的位置关系是：相交但直线不过圆心.

故选：D.

8．D

【解析】

【分析】

由复数的概念对命题逐一判断

【详解】

对于，若复数z满足，则，为真命题，

对于，若，满足，，故为假命题，

对于，若，，满足，，故为假命题，

对于，若复数，则，为真命题．

故选：D

9．D

【解析】

【分析】

利用导数求出的单调性即可选出答案.

【详解】

由可得，

所以由可得，由可得且，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故选：D

10．A

【解析】

【分析】

首先利用分子有理化，将分别化简，再比较分母的大小，即可判断选项.

【详解】

解析，，因为，所以，所以．

故选：A

11．B

【解析】

【分析】

设圆上除O(0，0)、A外任意一点为，根据几何关系求出ρ和θ的关系即可．

【详解】

如图，∵圆的圆心极径为3，圆的半径为3，∴圆过极点O，OC为圆的半径，设OA为圆的直径，

设圆上除O(0，0)、A外任意一点为，

则，，，

在Rt中，，．

故选：B﹒

12．C

【解析】

【分析】

将问题转化为函数与函数的图像只有一个交点，利用导数研究的极值或最值即可得到答案.

【详解】

令，则，

因为函数在区间上只有一个零点

则函数与函数的图像只有一个交点

又，

在上单调递增，

则

故选：C.

13．

【解析】

【分析】

根据极坐标和直角坐标之间的关系，先做出两个极坐标的直角坐标，根据两点之间的距离公式求出结果．

【详解】

先做出两个点A，B对应的直角坐标系中的坐标，

∴

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

先求出函数的导数，从而可得切线的斜率，故可得切线方程.

【详解】

，故，而，

故切线方程为，，

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

利用代入消元法消去cosα即可﹒

【详解】

∵，∴，∴x＝2×(－y)－1，即2y＋x＋1＝0，

又∵－1≤≤1，∴－1≤y≤1，

∴﹒

故答案为：.

16．##

【解析】

【分析】

由题知，，进而得，再检验满足条件即可.

【详解】

解：因为函数的极值点为，

所以，解得，

此时，

故当，，单调递增，当，，单调递减；

所以是函数的极小值点.

故答案为：

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用复数的乘法化简复数，利用是实数可求得实数的值；

（2）利用复数的除法化简复数，利用复数为纯虚数可求得实数的值.

(1)

解：，

因为是实数，则，解得.

(2)

解：为纯虚数，

则，解得.

18．(1)；

(2)最大值是13，最小值是－19.

【解析】

【分析】

（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果；

（2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值.

(1)

由题意知，，即切点为（1，－3），

又，所以

所以f（x）在处的切线方程为：，即；

(2)

，

令得；令得或，

故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，

函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，

又，

∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－19

19．(1)直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.

(1)

因为，

所以，即，

将，代入，得直线的直角坐标方程是．

由得曲线的普通方程是．

(2)

设曲线上任一点以，

则点到直线的距离

当时，，故曲线上的点到直线的距离的最大值为．

20．(1)男性，女性

(2)有，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）直接进行数据分析，即可求出对应的频率；

（2）套公式求出，对照参数下结论.

(1)

由题意知：400名消费者中男性购买生鲜食品的人数是300人，频率为．

400名消费者中女性购买生鲜食品的人数是100人，频率为．

(2)

由题意得： .

，

有97.5%的把握认为“电商消费者中购买生鲜食品与性别有关”．

21．(1)；；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据同角的三角函数关系式把曲线化成普通方程，根据直角坐标方程与极坐标方程互化公式求出曲线的直角坐标方程即可；

（2）根据参数的几何意义进行求解即可.

(1)

由，消去参数得，

所以曲线的普通方程为．

因为，

所以．

所以曲线的直角坐标方程为．

(2)

由（1）可知曲线的参数方程为（t为参数），

代入曲线的普通方程，得．

设A，B所对应的参数分别为，，则．

所以．

22．(1)答案见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）求导对分两种情况讨论得解；

（2）等价于，设再二次求导对分两种情况讨论得解.

(1)

解：由题意得.

当时，，故函数在区间上单调递增；

当时，在区间上，，在区间上，，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

(2)

解：由，可得，

设，则.

设，则，

所以函数在区间内为减函数，

则.

当在区间内为减函数，所以恒成立；

当时，，因为在区间内单调递减，

所以，在区间内，有，所以在区间内单调递增，所以，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围为.