2021-2022学年甘肃省张掖市临泽县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

临泽一中2021-2022学年第二学期期中考试

高二数学试卷（文科）

一、选择题

1. 已知集合，，则为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】解不等式求得集合，由此求得.

【详解】.

所以，

由于，

所以．

故选：B

2. 若（是虚数单位），则的共轭复数为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数．

【详解】，∴．

故选：C．

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．

3. 我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类.全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（    ）

A. 158石 B. 159石 C. 160石 D. 161石

【答案】D

【解析】

【分析】

利用抽取的米夹谷的频率估计总体的频率计算.

【详解】由题意可知这批米内夹谷约为(石).

故选：D.

【点睛】本题考查简单随机抽样，用样本频率估计总体，属于基础题.

4. 设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ）

A. 双曲线 B. 直线 C. 线段 D. 射线

【答案】D

【解析】

【分析】由条件可得，即可得答案．

【详解】因为，所以动点M的轨迹是射线．

故选：D

5. 在等比数列中，已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合等比数列的通项公式、充分、必要条件的知识确定正确选项.

详解】依题意，

；

且；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由对数函数、三角函数、指数函数的性质可比较出大小.

【详解】因为，，，

所以.

故选：D

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用两角和差的余弦公式化简得到，两边同时平方再结合平方关系以及二倍角公式即可求出结果.

【详解】由得，化简得，

所以，故，.

故选：B.

8. 直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】由条件求出参数，再根据切线的性质.

【详解】圆的圆心为，半径为，

因为直线平分圆的周长，

所以直线经过，所以，故，

由已知，，，圆的半径为3，

所以，

故选：B.

9. 设x，y满足约束条件，则z=2x+y的范围是（    ）

A. [3，6] B. [2，3] C. [-6，3] D. [-6，6]

【答案】D

【解析】

【分析】画出x，y满足的约束条件表示的可行域，再利用几何意义求出2x+y的最大值和最小值即得.

【详解】约束条件表示的可行域，如图中阴影△ABC：

目标函数z=2x+y，即y=-2x+z表示斜率为-2，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0：2x+y=0，

平移直线l0使其过点C时的直线纵截距最小，z最小；平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最大，z最大，

由得点C(-2，-2)，；由得点A(4，-2)，，

所以z=2x+y的范围是：[-6，6].

故选：D

10. 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】取中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可.

【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.

由条件知：，则，

故选：C.

11. 已知是双曲线的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法不正确的是（    ）

A. 双曲线C的渐近线方程为 B. 点M的横坐标为

C. 的面积为 D. 以为直径的圆的方程为

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以为直径的圆的方程，点坐标，的面积然后判断各选项．

【详解】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；

，以为直径的圆的方程是，D错；

由得或，由对称性知点横坐标是，B正确；

，C正确．

故选：D．

12. 若函数在区间上有2个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意即方程在区间上有2个实数根，设分析出其单调性和奇偶性，从而得出，即由函数的单调性可得答案.

【详解】函数在区间上有2个零点

即方程在区间上有2个实数根

设，则为偶函数.且

当时，，当时，在上单调递增，且

所以在上单调递减，则在上单调递增，

又时，；时，，则的大致图像如图.

所以方程在区间上有2个实数根满足

则，设，则在上恒成立

所以

故选：A

二、填空题

13. 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.

由图判断从___________日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

【答案】5

【解析】

【分析】结合方差越大，说明数据的波动性越大，然后根据图表即可判断.

【详解】因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图可知从5日开始连续5，6，7三天的空气质量指数方差最大，

故答案为：5

14. 已知向量与的夹角为，，，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量数量积的运算律和定义可直接构造方程求得结果.

【详解】，.

故答案为：.

15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．

【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，

从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，

而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，

所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．

，，

所以所求表面积为．

故答案为：．

16. 已知为等差数列的前n项和，，，设，且数列的前n项和为，则使恒成立的实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】先求得数列的通项公式，由此求得，利用错位相减求和法求得，由分离常数，从而求得的取值范围.

【详解】设的公差为d，由，得，解得，

故数列的通项公式为，所以．

则①，

②，

由①－②得，

所以．

因为等价于恒成立，

而，

所以．

故答案为：

三、解答题

17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由余弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；

（2）首先求出，再利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得；

【小问1详解】

解：因为，由余弦定理可得，

即，

所以．

因为，所以．

【小问2详解】

解：由于，所以，

由正弦定理，即，解得，

又，

所以的面积为．

18. 为调查电影《长津湖》在国庆假期的上映满意度，抽取了男女各25人对这部电影的满意度进行调查，统计数据如表所示．

（1）如果随机抽查1人，那么抽到满意的概率是多少？抽到非常满意的女性的概率是多少？

（2）能否有99.9%的把握认为性别和满意度有关？

附：．

【答案】（1）抽到满意的概率是，抽到非常满意的女性的概率是   

（2）有99.9%的把握认为性别和满意度有关

【解析】

【分析】（1）对电影满意的人数有24人，非常满意的女性有19人，则随机抽查1人，即可得出抽到满意的概率和抽到非常满意的女性的概率.

（2）由列联表数据算出，与10.828比较即可得出结论.

小问1详解】

随机抽查1人，抽到满意的概率是，抽到非常满意的女性的概率是；

【小问2详解】

根据列联表，可得，故有99.9%的把握认为性别和满意度有关．

19. 如图，在三棱锥中，，，，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，是的中点，求与平面所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】(1)在中，利用余弦定理可得，再利用勾股定理可得，由平面，可得，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；

(2)取中点，连接，，根据面面垂直的性质定理可得平面，从而可得即为直线与平面所成的角，在中，由即可求解.

【详解】解：(1)证明：在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，从而，由勾股定理得，.

又因为平面，平面，所以，

由于平面，平面，，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

(2)取中点，连接，，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，故即为直线与平面所成的角，

因为，，

所以，，所以，

则，

所以与平面所成角的正切值为.

20. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且满足．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若，，成等差数列，求该数列的公差．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）由向量的坐标表示，列方程求抛物线参数p，写出抛物线方程.

（2）设直线，，，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，根据等差中项的性质，结合抛物线的定义求参数m，进而由即可求出公差.

【详解】（1）由题设知：，设点，

由，即，

∴，，代入，得，又，

∴，则抛物线的方程为．

（2）设直线，则，消去得：，满足，即，

设点，，则，，

若，，成等差数列，则，即，即，即．

∴此时直线与抛物线联立方程为，即，，

又∵公差满足，而，

∴，即．

【点睛】关键点点睛：

（1）由向量的坐标表示求抛物线参数，写出抛物线方程.

（2）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理、等差中项的性质及抛物线的定义求数列公差即可.

21. 已知函数，且函数在处的切线为．

（1）求a，b的值并分析函数单调性；

（2）若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；函数在上单调递减，在上单调递增   

（2）

【解析】

【分析】（1）由得，根据函数在处的切线为，由和切点在切线上求解；分别由和求其单调性.

（2）由（1）知，和函数的单调性，根据函数恰有两个零点，由零点存在性定理求解.

【小问1详解】

解：由得，

由题意知，

即，解得，

又，而切点在切线上，

所以，解得，

则，令，得，令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增；

【小问2详解】

由（1）知，

且函数在上递减，在上单调递增，而

因为函数恰有两个零点，

所以函数在区间各有一个零点，

由零点存在性定理得，即，

解得；

∴．

四、请考生在两题中任选一题作答，如果多作按所作第一题计分

22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用三角函数的平方关系式曲线参数得到圆的普通方程，通过，求出圆的极坐标方程．

（2）设，，则有，解得极径与极角，设，，则有，解得极径与极角，然后求解线段的长．

【详解】解：（1）因为圆的参数方程为：（为参数），

所以圆的普通方程为，

又，，则．

所以圆的极坐标方程为；

（2）设，，则有，解得，

设，，则有，解得，

所以.

23. 设函数．

（1）求的解集；

（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，由，分类讨论，即可求解；

（2）由（1）知最小值为，根据不等式对任意实数x恒成立，得到，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数，

因为，所以或或，

解得    或或，

所以的解集为．

（2）由（1）可得当时，函数的最小值为，

因为不等式对任意实数x恒成立，

所以，即，所以，

故实数的取值范围是.