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    2021-2022学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高二下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

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    这是一份2021-2022学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高二下学期第一次月考数学(文)试题(解析版),共14页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知复数,其中是虚数单位,则在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    【答案】B
    【分析】根据复数四则运算求得,从而判断对应的点的象限.
    【详解】,所以在复平面内z对应的点位于第二象限.
    故选:B.
    2.已知i为虚数单位,复数,,若它们的和为实数,差为纯虚数,则a,b的值分别为
    A.,B.,4C.3,D.3,4
    【答案】A
    【解析】根据复数的加减运算法计算可得.
    【详解】解:,
    为实数,所以,解得.
    因为为纯虚数,所以且,解得且.故,.
    故选:
    【点睛】本题考查复数的加减运算,属于基础题.
    3.已知抛物线,则抛物线的焦点到其准线的距离为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】将抛物线方程化为标准方程,由此确定的值即可.
    【详解】由可得抛物线标准方程为:,,
    抛物线的焦点到其准线的距离为.
    故选:D.
    4.,则与分别为( )
    A.与B.与
    C.与0D.0与
    【答案】C
    【分析】利用正弦函数和常数导数公式,结合代入法进行求解即可.
    【详解】因为,所以,所以,,
    故选:C
    5.对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:,,,,则下列说法中不正确的是( )
    A.用相关指数来刻画回归效果,的值越小,说明模型的拟合效果越好
    B.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
    C.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
    D.若变量y和x之间的相关系数,则变量y与x之间具有线性相关关系
    【答案】A
    【分析】根据相关指数、回归直线方程、残差、相关系数等知识对选项逐一分析,由此确定正确选项.
    【详解】A,用相关指数来刻画回归效果,的值越接近,说明模型的拟合效果越好,所以A选项错误.
    B,由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心,正确.
    C,残差平方和越小的模型,拟合的效果越好,正确.
    D,接近,变量y与x之间具有线性相关关系,正确.
    所以错误的为A.
    故选:A
    6.已知一系列样本点…的回归直线方程为若样本点与的残差相同,则有
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】分别求得两个残差,根据残差相同列方程,由此得出正确选项.
    【详解】样本点的残差为,样本点的残差为,依题意,故,所以选C.
    【点睛】本小题主要考查残差的计算,考查方程的思想,属于基础题.
    7.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率.
    【详解】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.
    依题意可知,△BF1F2是正三角形.
    ∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
    ∴,即椭圆的离心率.
    故选:A
    8.曲线在处的切线如图所示,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】由图可知切线斜率为,∴.
    故选:C.
    9.函数的单调递减区间为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】先求导数,令求解不等式可得答案.
    【详解】由题可知,由,解得.
    所以单调递减区间为.
    故选:A.
    10.已知函数,则( )
    A.函数在上单调递增
    B.函数在上有两个零点
    C.函数有极大值16
    D.函数有最小值
    【答案】C
    【分析】对求导,研究的单调性以及极值,再结合选项即可得到答案.
    【详解】,由,得或,由,得,
    所以在上递增,在上递减,在上递增,
    所以极大值为,极小值为,所以有3个零点,且无最小值.
    故选:C
    11.已知函数在处取得极小值,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】由导数与极值与最值的关系,列式求实数的值.
    【详解】
    由条件可知,,,
    解得:,,
    检验,时,
    当,得或,函数的单调递增区间是和,
    当,得,所以函数的单调递减区间是,
    所以当时,函数取得极小值,满足条件.
    所以.
    故选:A
    12.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且与直线交于两点,若中点的横坐标为,则此双曲线的标准方程是
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】先求出双曲线的方程,然后与直线方程联立方程组,经消元得二元一次方程,再根据韦达定理及中点的横坐标可得、的一个方程,又双曲线中有,则另得、的一个方程,最后解、的方程组即得双曲线方程.
    【详解】设双曲线方程为.
    将代入,整理得.
    由韦达定理得,则.
    又抛物线的焦点,所以,解得,,
    所以双曲线的方程是.故选C.
    【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题,同时考查双曲线的标准方程与性质等.
    二、填空题
    13.设复数,x,,且,则满足的复数z共有______个.
    【答案】4
    【分析】方法一(代数运算):联立方程组求解;
    方法二(几何意义):利用复数的几何意义求解﹒
    【详解】方法一(代数运算):由,得.又,联立,解得,
    故答案为:4
    方法二(几何意义):由,知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆.又,故复数在复平面内对应的点落在直线上,显然直线与单位圆有四个交点,
    故答案为:4
    14.函数的导函数为______.
    【答案】
    【分析】先化简,再求导即可.
    【详解】因为,
    所以.
    故答案为:.
    15.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A,B两变量进行回归分析,分别得到散点图与残差平方和如下表:
    则试验结果体现拟合A,B两变量关系的模型拟合精度高的同学是_______.
    【答案】丁
    【分析】根据散点图中各样本点条状分布越均匀,同时残差平方和越小,即可判断其线性回归模型的拟合效果越好.
    【详解】对于已经获取的样本数据,表达式中为确定的数,
    则残差平方和越小,越大,由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好,
    故答案为:丁.
    16.设,同时为椭圆与双曲线的左、右焦点,设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M,椭圆与双曲线的离心率分别为,,O为坐标原点,若,则___________.
    【答案】2
    【分析】设,,根据椭圆和双曲线定义可得,.根据,得到,在焦点三角形中使用勾股定理化简可得.
    【详解】根据题意,如图所示:
    设,,焦距为2c,由椭圆定义可得,由双曲线定义可得,解得,.
    当时,则,
    所以,即,由离心率的公式可得.
    故答案为:2
    三、解答题
    17.求解下列问题:
    (1)求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
    (2)求焦点在轴上,焦距是16,的双曲线的标准方程.
    【答案】(1)长轴长,短轴长,离心率,焦点,顶点.
    (2)
    【分析】(1)先将椭圆方程转化为标准方程,从而求得正确答案.
    (2)根据已知条件求得,由此求得正确答案.
    【详解】(1)椭圆可化为,
    所以,
    所以长轴长,短轴长,离心率,
    焦点,顶点.
    (2)依题意,
    ,,
    由于双曲线焦点在轴上,所以双曲线的标准方程为.
    18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.
    (1)求的值;
    (2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成答题卡中的列联表,并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关?
    临界值表:,其中.
    【答案】(1),;
    (2)列联表见解析,有.
    【分析】(1):由频率分布直方图可知,,由中间三组的人数成等差数列可知,即可求解结果;
    (2):先求出周平均消费不低于300元的人数,即可完成列联表,进而求出卡方值即可判断结果.
    【详解】(1)由频率分布直方图可知,,
    由中间三组的人数成等差数列可知,可解得,
    (2)周平均消费不低于300元的频率为,
    因此100人中,周平均消费不低于300元的人数为人.
    所以列联表为
    所以有的把握认为消费金额与性别有关.
    19.已知抛物线的焦点在直线上
    (1)求抛物线的方程
    (2)设直线经过点,且与抛物线有且只有一个公共点,求直线的方程
    【答案】(1)
    (2)的方程为、、
    【分析】(1)求得点的坐标,由此求得,进而求得抛物线的方程.
    (2)结合图象以及判别式求得直线的方程.
    【详解】(1)抛物线的焦点在轴上,且开口向上,
    直线与轴的交点为,则,
    所以,抛物线的方程为.
    (2)当直线的斜率不存在时,直线与抛物线只有一个公共点.
    那个直线的斜率存在时,设直线的方程为,
    ,,
    ,解得或.
    所以直线的方程为或.
    综上所述,的方程为、、.
    20.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:
    (1)求关于的线性回归方程;
    (2)利用(1)中的回归方程,当价格元/时,日需求量的预测值为多少?
    参考公式:线性回归方程,其中
    【答案】(1);(2).
    【详解】试题分析:(1)将数据代入回归直线方程的计算公式,计算的鬼鬼直线方程为;(2)将代入回归直线方程,可求得预测值为.
    试题解析:
    (1)由所给数据计算得
    ,,


    .所求线性回归方程为.
    (2)由(1)知当时,,故当价格元/时,日需求量的预测值为.
    点睛:本题主要考查回归直线方程的求解,考查利用回归直线方程来预测的案例.在计算回归直线方程的过程中,一般采用分步计算的方法,即先计算出,两个均值计算出来后计算和,由此计算出的分子和分母,计算出之后再代入公式求的值,最后回归直线方程是,的位置不能弄反了.
    21.已知函数.
    (1)求函数在上的单调区间和极值;
    (2)若在区间上,函数总有最小值,求出的取值范围.
    【答案】(1)在单调递减区间为,单调递增区间为;极小值为,无极大值
    (2)
    【分析】(1)求出导函数,利用列表法研究单调性,求出极值;
    (2)利用列表法判断出的单调性,由函数最小值,列不等式求出的取值范围.
    【详解】(1)由,,
    所以和在区间上随变化的情况如下:
    所以在上单调递减区间为,单调递增区间为;
    当时,取得极小值,极小值为,无极大值;
    (2),列表得:
    当,
    由于在区间上,总有最小值,所以,
    所以的取值范围为.
    22.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)上点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1
    (1)若y=f(x)在x=﹣2时有极值,求函数y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值;
    (2)若函数y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,求b的取值范围.
    【答案】(1) f(x)在[﹣3,1]上最大值为13 (2) [0,+∞).
    【分析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数,利用导数几何意义结合切线方程及函数f(x)在x=﹣2时有极值即可列出关于a,b,c的方程,求得a,b,c的值,从而得到f (x)的表达式,求函数的导数f′(x),通过f′(x)>0,及f′(x)<0,得出函数的单调性,进一步得出函数的最值即可.
    (2)方法一:求出导函数,令导函数大于大于0在区间[﹣2,1]上恒成立,通过对对称轴与区间位置关系的讨论,求出f′(x)的最小值,令最小值大于等于0,求出b的范围.
    方法二:求出导函数,令导函数大于大于0在区间[﹣2,1]上恒成立,分离出参数b,构造新函数m(x),利用基本不等式求出m(x)的最大值,令b大于等于m(x)的最大值即可.
    【详解】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,求导数得f′(x)=3x2+2ax+b,
    过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:y﹣f(1)=f′(1)(x﹣1)
    即y﹣(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x﹣1)
    故,即,∵有y=f(x)在x=﹣2时有极值,
    故f′(﹣2)=0,
    ∴﹣4a+b=﹣12,则,解得a=2,b=﹣4,c=5,
    f(x)=x3+2x2﹣4x+5.
    f′(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x﹣4=(3x﹣2)(x+2)
    f(x)极大=f(﹣2)=(﹣2)3+2(﹣2)2﹣4(﹣2)+5=13,f(1)=13+2×1﹣4×1+5=4
    ∴f(x)在[﹣3,1]上最大值为13.
    (2)方法一:y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,
    又f'(x)=3x2+2ax+b,由(1)知2a+b=0,∴f'(x)=3x2﹣bx+b,
    依题意f'(x)在[﹣2,1]上恒有f'(x)≥0,
    即g(x)=3x2﹣bx+b≥0在[﹣2,1]上恒成立.
    ①在x1时,即b≥6,g(x)最小值=g(1)=3﹣b+b>0,∴b≥6,
    ②在x2时,即b≤﹣12,g(x)最小值=g(﹣2)=12+2b+b≥0,则b∈∅,
    ③在﹣21时,即﹣12<b<6,g(x)最小值0,
    综合上述讨论可知,b取值范围是:[0,+∞).
    解法二:(1)y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,
    又f'(x)=3x2+2ax+b,由(1)知2a+b=0,∴f'(x)=3x2﹣bx+b,
    依题意f'(x)在[﹣2,1]上恒有f'(x)≥0,即g(x)=3x2﹣bx+b≥0在[﹣2,1]上恒成立∴b3(x﹣1)6(x≤1),
    令m(x)=3(x﹣1)3[﹣(x﹣1)+()]≤﹣3(2)=﹣6,(x≤1),
    ∴3(x﹣1)6最大值为0,∴()max=0,∴b≥0,
    ∴b取值范围是:[0,+∞).
    【点评】
    本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识,考查计算能力,属于中档题.




    散点图
    残差平方和
    115
    106
    124
    103
    0.050
    0.010
    0.001
    3.841
    6.635
    10.828
    男性
    女性
    合计
    消费金额
    20
    40
    60
    消费金额
    25
    15
    40
    合计
    45
    55
    100
    0
    1
    2

    0
    +
    0


    1
    +
    0

    0
    +



    x
    ﹣3
    (﹣3,﹣2)
    ﹣2
    (﹣2,)

    (,1)
    1
    f′(x)

    +
    0

    0
    +

    f(x)
    8
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    极小值
    增函数
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