2021-2022学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高二下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
展开1.已知复数,其中是虚数单位,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【分析】根据复数四则运算求得,从而判断对应的点的象限.
【详解】,所以在复平面内z对应的点位于第二象限.
故选:B.
2.已知i为虚数单位,复数,,若它们的和为实数,差为纯虚数,则a,b的值分别为
A.,B.,4C.3,D.3,4
【答案】A
【解析】根据复数的加减运算法计算可得.
【详解】解:,
为实数,所以,解得.
因为为纯虚数,所以且,解得且.故,.
故选:
【点睛】本题考查复数的加减运算,属于基础题.
3.已知抛物线,则抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】将抛物线方程化为标准方程,由此确定的值即可.
【详解】由可得抛物线标准方程为:,,
抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选:D.
4.,则与分别为( )
A.与B.与
C.与0D.0与
【答案】C
【分析】利用正弦函数和常数导数公式,结合代入法进行求解即可.
【详解】因为,所以,所以,,
故选:C
5.对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据:,,,,则下列说法中不正确的是( )
A.用相关指数来刻画回归效果,的值越小,说明模型的拟合效果越好
B.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
C.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
D.若变量y和x之间的相关系数,则变量y与x之间具有线性相关关系
【答案】A
【分析】根据相关指数、回归直线方程、残差、相关系数等知识对选项逐一分析,由此确定正确选项.
【详解】A,用相关指数来刻画回归效果,的值越接近,说明模型的拟合效果越好,所以A选项错误.
B,由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心,正确.
C,残差平方和越小的模型,拟合的效果越好,正确.
D,接近,变量y与x之间具有线性相关关系,正确.
所以错误的为A.
故选:A
6.已知一系列样本点…的回归直线方程为若样本点与的残差相同,则有
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】分别求得两个残差,根据残差相同列方程,由此得出正确选项.
【详解】样本点的残差为,样本点的残差为,依题意,故,所以选C.
【点睛】本小题主要考查残差的计算,考查方程的思想,属于基础题.
7.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率.
【详解】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.
依题意可知,△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
∴,即椭圆的离心率.
故选:A
8.曲线在处的切线如图所示,则( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【详解】由图可知切线斜率为,∴.
故选:C.
9.函数的单调递减区间为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】先求导数,令求解不等式可得答案.
【详解】由题可知,由,解得.
所以单调递减区间为.
故选:A.
10.已知函数,则( )
A.函数在上单调递增
B.函数在上有两个零点
C.函数有极大值16
D.函数有最小值
【答案】C
【分析】对求导,研究的单调性以及极值,再结合选项即可得到答案.
【详解】,由,得或,由,得,
所以在上递增,在上递减,在上递增,
所以极大值为,极小值为,所以有3个零点,且无最小值.
故选:C
11.已知函数在处取得极小值,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】由导数与极值与最值的关系,列式求实数的值.
【详解】
由条件可知,,,
解得:,,
检验,时,
当,得或,函数的单调递增区间是和,
当,得,所以函数的单调递减区间是,
所以当时,函数取得极小值,满足条件.
所以.
故选:A
12.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且与直线交于两点,若中点的横坐标为,则此双曲线的标准方程是
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】先求出双曲线的方程,然后与直线方程联立方程组,经消元得二元一次方程,再根据韦达定理及中点的横坐标可得、的一个方程,又双曲线中有,则另得、的一个方程,最后解、的方程组即得双曲线方程.
【详解】设双曲线方程为.
将代入,整理得.
由韦达定理得,则.
又抛物线的焦点,所以,解得,,
所以双曲线的方程是.故选C.
【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题,同时考查双曲线的标准方程与性质等.
二、填空题
13.设复数,x,,且,则满足的复数z共有______个.
【答案】4
【分析】方法一(代数运算):联立方程组求解;
方法二(几何意义):利用复数的几何意义求解﹒
【详解】方法一(代数运算):由,得.又,联立,解得,
故答案为:4
方法二(几何意义):由,知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆.又,故复数在复平面内对应的点落在直线上,显然直线与单位圆有四个交点,
故答案为:4
14.函数的导函数为______.
【答案】
【分析】先化简,再求导即可.
【详解】因为,
所以.
故答案为:.
15.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A,B两变量进行回归分析,分别得到散点图与残差平方和如下表:
则试验结果体现拟合A,B两变量关系的模型拟合精度高的同学是_______.
【答案】丁
【分析】根据散点图中各样本点条状分布越均匀,同时残差平方和越小,即可判断其线性回归模型的拟合效果越好.
【详解】对于已经获取的样本数据,表达式中为确定的数,
则残差平方和越小,越大,由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好,
故答案为:丁.
16.设,同时为椭圆与双曲线的左、右焦点,设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M,椭圆与双曲线的离心率分别为,,O为坐标原点,若,则___________.
【答案】2
【分析】设,,根据椭圆和双曲线定义可得,.根据,得到,在焦点三角形中使用勾股定理化简可得.
【详解】根据题意,如图所示:
设,,焦距为2c,由椭圆定义可得,由双曲线定义可得,解得,.
当时,则,
所以,即,由离心率的公式可得.
故答案为:2
三、解答题
17.求解下列问题:
(1)求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
(2)求焦点在轴上,焦距是16,的双曲线的标准方程.
【答案】(1)长轴长,短轴长,离心率,焦点,顶点.
(2)
【分析】(1)先将椭圆方程转化为标准方程,从而求得正确答案.
(2)根据已知条件求得,由此求得正确答案.
【详解】(1)椭圆可化为,
所以,
所以长轴长,短轴长,离心率,
焦点,顶点.
(2)依题意,
,,
由于双曲线焦点在轴上,所以双曲线的标准方程为.
18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.
(1)求的值;
(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成答题卡中的列联表,并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关?
临界值表:,其中.
【答案】(1),;
(2)列联表见解析,有.
【分析】(1):由频率分布直方图可知,,由中间三组的人数成等差数列可知,即可求解结果;
(2):先求出周平均消费不低于300元的人数,即可完成列联表,进而求出卡方值即可判断结果.
【详解】(1)由频率分布直方图可知,,
由中间三组的人数成等差数列可知,可解得,
(2)周平均消费不低于300元的频率为,
因此100人中,周平均消费不低于300元的人数为人.
所以列联表为
所以有的把握认为消费金额与性别有关.
19.已知抛物线的焦点在直线上
(1)求抛物线的方程
(2)设直线经过点,且与抛物线有且只有一个公共点,求直线的方程
【答案】(1)
(2)的方程为、、
【分析】(1)求得点的坐标,由此求得,进而求得抛物线的方程.
(2)结合图象以及判别式求得直线的方程.
【详解】(1)抛物线的焦点在轴上,且开口向上,
直线与轴的交点为,则,
所以,抛物线的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,直线与抛物线只有一个公共点.
那个直线的斜率存在时,设直线的方程为,
,,
,解得或.
所以直线的方程为或.
综上所述,的方程为、、.
20.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:
(1)求关于的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,当价格元/时,日需求量的预测值为多少?
参考公式:线性回归方程,其中
【答案】(1);(2).
【详解】试题分析:(1)将数据代入回归直线方程的计算公式,计算的鬼鬼直线方程为;(2)将代入回归直线方程,可求得预测值为.
试题解析:
(1)由所给数据计算得
,,
,
,
.所求线性回归方程为.
(2)由(1)知当时,,故当价格元/时,日需求量的预测值为.
点睛:本题主要考查回归直线方程的求解,考查利用回归直线方程来预测的案例.在计算回归直线方程的过程中,一般采用分步计算的方法,即先计算出,两个均值计算出来后计算和,由此计算出的分子和分母,计算出之后再代入公式求的值,最后回归直线方程是,的位置不能弄反了.
21.已知函数.
(1)求函数在上的单调区间和极值;
(2)若在区间上,函数总有最小值,求出的取值范围.
【答案】(1)在单调递减区间为,单调递增区间为;极小值为,无极大值
(2)
【分析】(1)求出导函数,利用列表法研究单调性,求出极值;
(2)利用列表法判断出的单调性,由函数最小值,列不等式求出的取值范围.
【详解】(1)由,,
所以和在区间上随变化的情况如下:
所以在上单调递减区间为,单调递增区间为;
当时,取得极小值,极小值为,无极大值;
(2),列表得:
当,
由于在区间上,总有最小值,所以,
所以的取值范围为.
22.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)上点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1
(1)若y=f(x)在x=﹣2时有极值,求函数y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值;
(2)若函数y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,求b的取值范围.
【答案】(1) f(x)在[﹣3,1]上最大值为13 (2) [0,+∞).
【分析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数,利用导数几何意义结合切线方程及函数f(x)在x=﹣2时有极值即可列出关于a,b,c的方程,求得a,b,c的值,从而得到f (x)的表达式,求函数的导数f′(x),通过f′(x)>0,及f′(x)<0,得出函数的单调性,进一步得出函数的最值即可.
(2)方法一:求出导函数,令导函数大于大于0在区间[﹣2,1]上恒成立,通过对对称轴与区间位置关系的讨论,求出f′(x)的最小值,令最小值大于等于0,求出b的范围.
方法二:求出导函数,令导函数大于大于0在区间[﹣2,1]上恒成立,分离出参数b,构造新函数m(x),利用基本不等式求出m(x)的最大值,令b大于等于m(x)的最大值即可.
【详解】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,求导数得f′(x)=3x2+2ax+b,
过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:y﹣f(1)=f′(1)(x﹣1)
即y﹣(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x﹣1)
故,即,∵有y=f(x)在x=﹣2时有极值,
故f′(﹣2)=0,
∴﹣4a+b=﹣12,则,解得a=2,b=﹣4,c=5,
f(x)=x3+2x2﹣4x+5.
f′(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x﹣4=(3x﹣2)(x+2)
f(x)极大=f(﹣2)=(﹣2)3+2(﹣2)2﹣4(﹣2)+5=13,f(1)=13+2×1﹣4×1+5=4
∴f(x)在[﹣3,1]上最大值为13.
(2)方法一:y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,
又f'(x)=3x2+2ax+b,由(1)知2a+b=0,∴f'(x)=3x2﹣bx+b,
依题意f'(x)在[﹣2,1]上恒有f'(x)≥0,
即g(x)=3x2﹣bx+b≥0在[﹣2,1]上恒成立.
①在x1时,即b≥6,g(x)最小值=g(1)=3﹣b+b>0,∴b≥6,
②在x2时,即b≤﹣12,g(x)最小值=g(﹣2)=12+2b+b≥0,则b∈∅,
③在﹣21时,即﹣12<b<6,g(x)最小值0,
综合上述讨论可知,b取值范围是:[0,+∞).
解法二:(1)y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,
又f'(x)=3x2+2ax+b,由(1)知2a+b=0,∴f'(x)=3x2﹣bx+b,
依题意f'(x)在[﹣2,1]上恒有f'(x)≥0,即g(x)=3x2﹣bx+b≥0在[﹣2,1]上恒成立∴b3(x﹣1)6(x≤1),
令m(x)=3(x﹣1)3[﹣(x﹣1)+()]≤﹣3(2)=﹣6,(x≤1),
∴3(x﹣1)6最大值为0,∴()max=0,∴b≥0,
∴b取值范围是:[0,+∞).
【点评】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识,考查计算能力,属于中档题.
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
男性
女性
合计
消费金额
20
40
60
消费金额
25
15
40
合计
45
55
100
0
1
2
﹣
0
+
0
↓
↑
1
+
0
﹣
0
+
↑
↓
↑
x
﹣3
(﹣3,﹣2)
﹣2
(﹣2,)
(,1)
1
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
8
增函数
极大值13
减函数
极小值
增函数
4
甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题: 这是一份甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题,共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分,本卷命题范围,已知圆,则等内容,欢迎下载使用。
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2022-2023学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高二下学期期中数学试题含解析: 这是一份2022-2023学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高二下学期期中数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。