2021-2022学年广东省江门市第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省江门市第二中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省江门市第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线的点斜式方程求解.【详解】解：因为直线的倾斜角，所以直线的斜率为1，又直线经过点，所以直线的方程为，即，故选：B2．已知，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】,,故选：D3．已知等差数列中，，，则（       ）A．100 B．99 C．98 D．97【答案】C【分析】根据条件先计算等差数列的通项公式，再代入计算得到答案.【详解】，，解得 故，故选【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型.4．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆方程和焦点坐标可求得，进而可得离心率.【详解】由焦点坐标可知：，解得：，又，的离心率.故选：A.5．圆与圆的位置关系是（       ）A．相离 B．相交 C．内含 D．外切【答案】D【分析】由圆的方程得到两圆的圆心和半径，通过比较圆心距与半径关系即可判断.【详解】由题，圆的圆心为，半径为2；圆，即，所以圆心为，半径为；所以两圆圆心距离为，所以两圆外切.故选：D6．，分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，结合三角形中位线定理、等边三角形的判定进行求解即可.【详解】如图所示：因为，分别是正方体的棱和的中点，所以，在正方体中，有，所以四边形是平行四边形，因此，因此是和所成的角，设该正方体的棱长为，因为，所以是等边三角形，因此，故选：C7．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（       ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为．故选：C．8．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则A．1020 B．1010 C．510 D．505【答案】D【详解】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D.二、多选题9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（       ）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则B．直线l的方向向量， 平面的法向量是， 则C．两个不同的平面的法向量分别是，则D．直线的方向向量， 平面的法向量是，则【答案】AC【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，且，所以，选项A正确∶对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项B错误；对于C，两个不同的平面的法向量分别是，且，所以，选项C正确；对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，选项D错误．故选∶ AC10．已知曲线.（       ）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．记等差数列的前项和为.若，，则（       ）A． B． C．的最大值为30 D．的最大值为15【答案】ACD【分析】根据已知求出首项和公差，即可依次判断.【详解】设等差数列的公差为，则由题可得，解得，，，，故A正确；，故B错误；当或4时，取得最大值为30，故C正确；由于，所以的最大值为，故D正确.故选：ACD.12．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（       ）A．无解 B．的解为C．的最小值为2 D．的最大值为2【答案】BC【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可．【详解】解：，设，，，则，若，则，则的轨迹是以，为焦点的椭圆，此时，，即，，即椭圆方程为，当时，得，得，得，故A错误，B正确，关于对称点为，则，当三点共线时，最小，此时，无最大值，故C正确，D错误，故选：BC.三、填空题13．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.【答案】17【分析】根据双曲线的定义可求点与另一个焦点的距离.【详解】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.因为点与一个焦点的距离等于1，而，故点与该焦点同在轴的上方或下方，故点与另一个焦点的距离为，故答案为：.14．直线与间的距离为3，则_______.【答案】或【分析】利用平行线间距离公式求解即可.【详解】由题，可知，所以两平行线间距离为，解得或，故答案为：或15．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则=_______．【答案】【分析】利用空间向量的线性运算直接求解【详解】由题意 =故答案为：16．抛物线上的点到直线的距离最小值是________.【答案】【分析】设出抛物线上动点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可得结果.【详解】设抛物线一点为，该点到直线的距离为，当，即时，取得最小值为，故答案为：.四、解答题17．已知：的顶点，，．（1）求AB边上的中线CD所在直线的方程；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）11.【分析】（1）直接利用已知条件求出AB边上的中点，即可求直线的方程．（2）利用所求出的直线方程利用分割法求出三角形的面积，或者求出及直线AB的方程，可得点C到直线AB的距离，求出三角形的面积.【详解】（1）∵线段AB的中点D的坐标为，所以，由两点式方程可得，AB边上的中线CD所在直线的方程为，即．（2）法1：因为，点A到直线CD的距离是，所以的面积是．法2：因为，由两点式得直线AB的方程为：，点C到直线AB的距离是，所以的面积是．【点睛】本题考查直线方程求法与点到直线距离公式应用，属于基础题.18．已知等差数列的前项和为，首项，公差为.(1)若，求通项公式和的最小值；(2)求证：，，也成等差数列.【答案】(1)，有最小值为(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列通项公式即可得到通项公式，结合等差数列前项和公式及二次函数性质即可求得的最小值，需注意；（2）根据等差数列前项和公式分别求得，，，再利用等差中项的性质判断，，三者关系即可证明.【详解】(1)因为，，所以，所以，因为，所以当或时，的最小值为.(2)证明：由题，，，，则，，因为，所以，，也成等差数列19．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为.(1)求双曲线的标准方程；(2)抛物线的准线过双曲线的左顶点，斜率为1的直线过双曲线的右顶点且交抛物线于两点，求.【答案】(1)(2)24【分析】（1）设双曲线的方程为，再由求解；（2）易得双曲线的左、右顶点分别为和，从而得到抛物线方程和直线方程，再利用弦长公式求解.【详解】(1)解：椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，即，依题得，解得，所以双曲线的方程为.(2)双曲线的左、右顶点分别为和，所以，抛物线的方程为，直线的方程为，且过抛物线的焦点，联立消去得：，设，则20．已知直线被圆截得的弦长为．（1）求的值；（2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程．【答案】（1）a =1；（2） 或.【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可．（2）判断点与圆的位置关系，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离求解即可；②当过斜率不存在，判断直线与圆是否相切，推出结果．【详解】（1）依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，代入化简得，解得或，又，所以；（2）由（1）知圆，又在圆外，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，切线方程为，②当过斜率不存在，易知直线与圆相切，综合①②可知切线方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．21．已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△P'AB为等边三角形（如图1所示），△P'AB沿着AB折起到△PAB的位置，且使平面PAB⊥平面ABCD，M是棱AD的中点（如图2所示）．(1)求证：PC⊥BM；(2)求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，可证OB、OE、OP两两垂直，从而建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为0可证PC⊥BM；（2）求出直线的方向向量和法向量后可求线面角的正弦值，从而可求余弦值.【详解】(1)取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，因为ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，所以OE⊥AB，PO⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面，平面平面，故平面，而平面，所以PO⊥OE，所以OB、OE、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，），C（1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0），，，所以，所以PC⊥BM；(2)由（1）知，，，设平面PBM的法向量为，故即，令，.则，设PC与平面PBM成角为θ，故，因为为锐角，故．22．已知直线与椭圆相交于，两点．   （1）若椭圆的离心率为，焦距为，求椭圆的方程；（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为，求线段的长及的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据椭圆的离心率为，焦距为，建立方程求解参数从而求得椭圆的方程；（2）直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理可求得线段长度，求出点到直线的距离，即可求得的面积．【详解】（1）椭圆的离心率为，焦距为，所以，得，所以，则椭圆的方程为；（2）联立方程组得设，则，，所以由（1）知左焦点为，直线方程为，所以点到直线的距离为则的面积为．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．