2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年广西梧州市岑溪市高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．若集合M＝{－1，0，1}，集合N＝{0，1，2}，则M∪N＝(       )

A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}

【答案】D

【分析】根据集合的并集运算方法计算即可.

【详解】∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，

∴M∪N＝{－1，0，1，2}.

故选：D.

2．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数运算法则直接求解即可.

【详解】.

故选：A.

3．已知向量，，“”是“或”的（       ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】分别判断充分性和必要性即可.

【详解】由题意，由或可得，

由还可得到非零向量，满足．

故向量是或的必要不充分条件．

故选：B.

4．下列区间中，函数单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出的单调区间，然后对进行取值，求出具体的一个单调增区间，考查选项中的区间与增区间的包含关系即可得解.

【详解】，令，，

解得，.当 时，单调递增区间为，，故在单调递增.

故选:A.

5．设实数x，y满足，则的最小值为（       ）

A． B． C．4 D．2

【答案】C

【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，

目标函数可化为直线，

当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，

又由，解得，

所以目标函数的最小值为.

故选：C.

6．双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为（       ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】由题可得，即可求出离心率.

【详解】由已知一条渐近线的倾斜角为60°，可得渐近线斜率，

∴，故.

故选：D.

7．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】根据以及可求出结果.

【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，

所以．

而，∴．

故选：C．

8．如图，在正方体中，为的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出截面，然后可得答案.

【详解】如图，过点，，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为C.

故选：C

9．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（       ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】先得到圆心的轨迹为圆，然后利用该圆的圆心到原点的距离减去该圆的半径可得解.

【详解】依题意，半径为2的圆经过点，

所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，

所以圆心到原点的距离的最小值为.

故选：B.

10．已知为球的球面上两点，过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，且为等边三角形，则球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得，再根据为等边三角形可以得到球的半径，即可得到答案.

【详解】过弦的平面截球所得截面面积的最小值为，

则以为直径的截面面积为最小值，则

为等边三角形

球的半径为

则球的表面积为.

故选：D.

11．已知随机变量X，Y分别满足，，且期望，又，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可得，再由可得.

【详解】且，知，

所以，

又，，所以.

故选：D.

12．已知整数数列满足，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用累加法可得解.

【详解】因为，且是整数数列，

所以，

则，，，，

累加得

故，

故选：B.

二、填空题

13．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.

【详解】由题设，则切线的斜率，而，

所以曲线在点的切线方程为，即.

故答案为：

14．的展开式中x的系数为___________（用数字作答）.

【答案】

【分析】首先写出展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得；

【详解】解：展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中的系数为；

故答案为：

15．若，，且，则实数的值为_____．

【答案】或

【分析】运用正切两角和公式及对数的运算性质可求解.

【详解】因为，所以，

即，

化简得，

所以或，

解得或.

故答案为：或

16．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则______.

【答案】

【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解.

【详解】如图所示：

由抛物线的定义可得，.

又，

所以点为线段的中点，

又因为点，

所以，又点B在抛物线上，

所以，

解得.

故答案为：

三、解答题

17．已知等差数列{}的前n项和为，．

(1)求等差数列{}的通项公式；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}的首项和公差，由此求得.

（2）根据等比数列前项和公式求得.

【详解】(1)设等差数列{}的首项为，公差为，

，所以.

(2)，

，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以.

18．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，的周长为6，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角可求出；

（2）根据周长得到，再根据余弦定理可求出，然后由三角形的面积公式可得结果.

【详解】(1)∵，

∴由正弦定理得：，

∴，

∵，∴，

∵，∴.

(2)∵的周长为6，得，

由余弦定理得：.

可得，即.解得，

∴，

所以的面积为.

19．“冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加.各国运动员在赛场上全力以赴、奋勇争先，为我们带来了一场冰与雪的视觉盛宴.本届奥运会前，为了分析各参赛国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系，某体育爱好者统计了近年相关冰雪运动赛事（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如下茎叶图.

(1)计算并比较茎叶图中“欧洲地区”国家和“其它地区”国家获金牌的平均次数（记为）和方差（记为，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由.

(2)记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关（假设该样本可以反映总体情况）.

附：，其中.

【答案】(1)答案见解析

(2)列联表见解析，没有

【分析】（1）由茎叶图及平均值的定义计算，再由方差的定义计算，据此作出结论，说明理由即可；

（2）根据所给数据列出2×2列联表，计算，与所给参考数据比较得出结论.

【详解】(1)由茎叶图中数据，得

由此可见（开放式问题，能够做出判断并自圆其说即可）：

（例）.可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其他国家”，因为，这足以说明欧洲国家的实力更强劲、发挥更稳定；

.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为条件不足，无法判定这个样本是否足以反映整体的情况，利用平均值和方差进行分析未必客观；

.不可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，因为样本中欧洲国家的数量少于其他国家的数量，就可能存在图中的数据本就来自于实力较强的欧洲国家的情况.

(2)由题意得2×2列联表如下：

由独立性检验，的观测值，

所以没有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关.

20．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点．

(1)证明：；

(2)若，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，，证明平面，得答案；

（2）结合（1）和已知条件，得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】(1)证明：取中点，连接，．

为等边三角形，．

，是的中点，为中点，∴．

又，平面．

(2)解：因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，所以，

所以两两垂直，以中点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

因为

所以，

设平面的法向量为，，

则，即，令，故，

设平面的法向量为，，

则，即，令，故

所以，

所以二面角的余弦值

21．已知椭圆的离心率为，点为椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过且斜率存在的直线AB交椭圆C于A、B两点，记，若t的最大值和最小值分别为、，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合离心率和可求出，即可得解；

（2）设直线AB的方程为，设点，，联立直线和椭圆方程，根据韦达定理得到，，利用，求出，再根据判别式法求出和，再相加即可得解.

【详解】(1)椭圆的离心率，又，∴.

∵椭圆经过点，所以，解得，

∴椭圆C的方程为.

(2)设直线AB的方程为，设点，，

由消去并整理得.

因为点在椭圆内部，则，

由韦达定理可得：，（），

，，

则

∴，

整理得：，

即，，

若，可得，此时；

若，即当时，则，

整理可得，解得，

所以，，

所以.

22．设函数．

(1)若，当时，求证：；

(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）构造利用导数研究其单调性，进而可得即可证结论.

（2）由题设得，构造并讨论的范围，利用导数研究的符号，即得的符号，即可判断的区间单调性，结合区间零点个数确定m的范围.

【详解】(1)令，则，

当有，即在单调递减，又，

所以，即，即，

所以当时，得证.

(2)由，，可得，

令且，其开口向上且对称轴为，又，，

当时，，即，单调递增，则，

此时在上没有零点，不合题意；

当时，则，设使得，

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，

因为，要使在上存在唯一零点，则满足，解得，

当时，在上恒成立，即，在上递减，

所以，故在上没有零点，不合题意.

综上，实数m的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：第二问，对求导后构造且，根据二次函数的性质、讨论并结合区间零点个数，利用导数判断符号即的符号.