2021-2022学年河南省焦作市普通高中高二下学期期中考试试题数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省焦作市普通高中高二下学期期中考试试题数学（文）试题

一、单选题

1．（       ）

A．－2－5i B．2－i C．2＋i D．5－i

【答案】A

【分析】由复数除法运算直接求解.

【详解】.

故选：A.

2．如图是“集合”的知识结构图，则属于“基本运算”的下属知识点的是（       ）

A．列举法 B．基本关系 C．相等关系 D．并集

【答案】D

【分析】根据知识结构图即得.

【详解】根据知识结构图可知属于“基本运算”的下属知识点为并集，交集，补集.

故选：D.

3．由样本数据，，…，得到y关于x的线性回归方程为y＝－0.2x＋3，若，则（       ）

A．2.5 B．2.8 C．3.2 D．3.4

【答案】B

【分析】由线性回归方程必过样本中心点，代入即可求出答案.

【详解】线性回归方程必过样本中心点，所以.

故选：B.

4．抛物线的焦点坐标为（       ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【解析】根据抛物线焦点在轴上，焦点坐标为即可求解.

【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，所以，

故焦点坐标为：，

故选：D

5．在等差数列中，若，则（       ）

A．2 B．3 C．5 D．7

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式直接计算可得.

【详解】设等差数列的公差为，

则由可得，即，即.

故选：C.

6．若复数z满足，则的最小值为（       ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】令且，将问题转化为圆上点到原点距离最小即可.

【详解】令且，

所以等价于，即圆心为，半径为2的圆，

则表示圆上点到原点的距离，故的最小值为1.

故选：B

7．已知且，则（       ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】D

【分析】由已知条件，利用万能公式可得，结合范围即可求.

【详解】由，，

所以，即，

又，可得.

故选：D

8．盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设事件A为“甲取出的有红球”，事件B为“取出两个红球”，求出，，由条件概率公式可求.

【详解】设事件A为“甲取出的有红球”，事件B为“取出两个红球”，

则，,

则.

故选：B.

9．观察如图所示的数阵，则下列选项中的数不在该数阵中的是（       ）

A．91 B．101 C．111 D．121

【答案】A

【分析】观察数阵可得第行有个数，且第行最后一个数为，每行的数列是公差为的等差数列，观察选项，为平方数，可以从D选项开始考虑，可判断第11行的数构成等差数列，即可判断B，C，D选项，再由第10行的数构成等差数列判断A选项.

【详解】由题，观察可知第行有个数，且第行最后一个数为，每行的数列是公差为的等差数列，所以第11行有11个数，最后一个数为，故排除D选项；

设第11行的数构成等差数列，则，所以，故排除B选项；

因为，令，则，解得，即111为第11行的第6个数，故排除C选项；

因为第10行有10个数，最后一个数为，设第10行的数构成等差数列，则，所以，

因为，设，解得，不为正整数，故不在该数阵中，

故选：A

10．设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由可得，由可得，进而判断两集合关系，即可得到答案.

【详解】由，则，解得；

由，方程的两根为，，

则，解得，

因为 ，所以是的充分不必要条件，

故选：A

11．北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（       ）

参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．

参考数据：

A．12 B．18 C．36 D．48

【答案】C

【分析】设男生人数为，则女生人数为，且，写出列联表并应用卡方计算公式，结合已知条件确定卡方值的范围，即可确定x值，进而可得男生可能人数.

【详解】设男生人数为，则女生人数为，且，

所以，可得，

故男生人数为，则男生人数可能为36.

故选：C

12．已知函数，若对任意都有，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将条件转为判断在上单调递增，由在上恒成立，求得的范围.

【详解】由条件，化为，

构造，则在上单调递增，

∴在上恒成立，

∴，即在上恒成立，

令

∴，.

故选：B

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

二、填空题

13．已知复数是纯虚数，则实数______．

【答案】

【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得.

【详解】，

又为纯虚数，，解得：.

故答案为：.

14．规定：符号表示大于或等于x的最小整数，若在下面的算法框图中输入的a，b分别为0.3和－1.8，则输出的结果是______．

【答案】

【分析】由条件有，则，可得出答案.

【详解】根据题意，由，则

所以

故答案为：.

15．用模型拟合变量y与x的关系时，为了求出回归方程，设，得到线性回归方程z＝－0.5x＋2，则______．

【答案】

【分析】对两边取对数，利用对数运算性质计算，再与线性回归方程比对即可得解.

【详解】因，两边取对数得：，

令，则，而，于是得，即，

所以，，.

故答案为：.

16．已知矩形的周长为6，则将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为______．

【答案】

【分析】根据已知条件及圆柱的体积公式，再利用导数法求解最值即可.

【详解】设，则，

所以将周长为6的矩形绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积为

.则，

令，即，解得（舍）或.

当时，；

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减；

所以当，即，时，取得最大值为

所以将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，证明：数列是等比数列．

【答案】证明见解析.

【分析】设等比数列的公比为，由已知等式可求得，代入中，结合等比数列求和公式可求得，由此可推导得到，结论得证.

【详解】设等比数列的公比为，则，

由得：，又，，即，

，，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列.

18．已知复数．

(1)若，且，求的最小值；

(2)若，，且z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，结合基本不等式“1”的妙用的方法即可求解；

（2）由点在第二象限可知，点在第四象限可知，求解求并集即可.

【详解】(1)由题，因为，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

(2)当z在复平面内对应的点位于第二象限时， ，解得；

当z在复平面内对应的点位于第四象限时，，解得，

综上，.

19．近年来，随着互联网的发展，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为了解网约车在某省的发展情况，调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数，，数据如下表所示：

(1)由表中数据可知，y与x具有较强的线性相关关系，请利用相关系数r加以说明；

(2)建立y关于x的线性回归方程，并预测当A指标数为8时，B指标数的估计值．

附：相关系数

线性回归方程y＝bx＋a中，，．

【答案】(1)0.99，与具有较强的线性相关关系

(2)，估计值为

【分析】（1）直接利用公式计算得到，得到答案.

（2）计算得到回归方程为，代入数据计算得到答案.

【详解】(1)，，

，

=，

=，

相关系数，

因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系.

(2)由可知，，，

所以与之间线性回归方程为，当时，.

当指标数为8时，指标数的估计值为.

20．为调研2022届高三毕业生的一轮复习成果，某中学进行了一次测试，并从全校高三理科生中随机抽取了100名学生的物理学科成绩（满分100分），统计分数情况如图所示．

抽取的100名学生中男生分数情况如下表：

(1)从这100名学生中任取一名，求其物理学科分数不低于80分且低于90分的概率；

(2)若分数不低于80分的为成绩优秀，其余为成绩不优秀，请完善下面的2×2列联表，并分析有没有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关系．

参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d．

参考数据：

【答案】(1)0.5

(2)答案见解析

【分析】（1）由频率之和为1求得，计算出频率即可估计概率；

（2）完善列联表，计算出卡方值，和3.841比较即可得出.

【详解】(1)由频率分布直方图可知，解得，

则物理学科分数在的频率为，

所以其物理学科分数不低于80分且低于90分的概率为0.5；

(2)由已知可得列联表如下：

则，

所以没有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关系.

21．已知函数．

(1)若a＝2，求的单调区间；

(2)若函数存在最大值，且最大值大于0，求实数a的取值范围．

【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为;

(2)

【分析】（1）求导，分别解和，再结合定义域即可求出结果；

（2）分和对函数的单调性进行讨论，进而可以求出结果；

【详解】(1)因为，则，定义域为，所以，

令，即，所以；，即，所以；

因此的单调递增区间为，单调递减区间为;

(2)因为，所以，定义域为，

则，

若，，所以在上单调递减，因此函数无最大值，故不符合题意；

若，则时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增；故在处取得极大值，同时也是最大值，且，所以，即，故，

综上：实数a的取值范围为.

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

22．已知，是椭圆E：上的两点．

(1)求椭圆E的方程．

(2)若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】(1)

(2)定点，理由见解析.

【分析】（1）将代入椭圆方程即可求出；

（2）分斜率是否存在设出直线方程，利用即可求出.

【详解】(1)将，代入椭圆方程可得，解得，

所以椭圆方程为；

(2)若直线的斜率不存在，设直线方程为，由题可得为等腰直角三角形，则可将代入椭圆，解得（舍去）或，即直线方程为；

若直线的斜率存在，设方程为，设，

联立方程，可得，

则，可得，

①，②，

由题可得，则，即，

代入①②，整理可得，解得或，

若，直线为，经过点,不符合，

若，直线为，经过定点，

综上所述，直线l过定点.