2021-2022学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内表示的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数单位的周期性，结合共轭复数的定义和复数在复平面对应点的坐标进行判断即可.

【详解】因为，

所以，在复平面内表示的点的坐标为，它在第四象限，

故选：D

2．要证明“是无理数”，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是（       ）

A．反证法 B．归纳法 C．分析法 D．综合法

【答案】A

【分析】由各类证明方法的特点判断

【详解】要证明“是无理数”，直接证明不易证明，故可采用反证法

故选：A

3．某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下关系：

已知y与x的线性回归方程为，则当广告支出费用为5万元时，残差为（       ）A．40 B．30              C．20              D．10

【答案】C

【分析】根据回归方程求出时的值，即可求出残差.

【详解】当时，，所以残差为.

故选：C.

4．下列推理属于类比推理的是（       ）

A．人都要吃饭，小张是人，所以小张也要吃饭

B．硫酸能和氢氧化钠发生中和反应，所以酸和碱能发生中和反应

C．由两个三角形相似，得到对应的角相等

D．由地球上有金矿，人们猜想到火星上也有金矿

【答案】D

【分析】根据类比推理的定义即可求解.

【详解】对于A，人和小张不属于两个相同或相似的对象，不是并列关系，而是小张属于人，为包含关系，故A不正确；

对于B，与A类似，硫酸和氢氧化钠与酸和碱也属包含关系，故B不正确；

对于C，由三角形相似推出角相等是归纳推理，由特殊前提推出普遍性结论，故C不正确；

对于D，金星和地球属于两个相似对象，并列关系。故D正确.

故选：D.

5．当用反证法证明命题“设a，b为实数，则关于x的方程至少有一个实根”时，要做的假设是（       ）

A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根

C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根

【答案】A

【分析】由反证法的概念判断

【详解】由题意，应假设方程没有实根

故选：A

6．如图，把空间中直线与平面的位置关系：①直线在平面内；②直线不在平面内；③直线与平面相交；④直线与平面平行，依次填入结构图中的， ， ，中，则正确的填写顺序是（       ）

A．①③②④ B．②①③④ C．③②①④ D．①④③②

【答案】B

【解析】根据空间中直线与平面的位置关系结构图，即可得出依次填入结构图中的，，，对应结果．

【详解】因为空间中直线与平面的位置关系包括直线在平面内和直线不在平面内两种,

其次，直线不在平面内又包括直线与平面相交和直线与平面平行两种，

所以依次填入结构图中的，，，是②①③④．

故选：B．

【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系知识结构图，是基础题．

7．设有下面四个命题：

：若复数z满足，则；

：若复数z满足，则；

：若复数，满足，则；

：若复数，则．

其中正确的是（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】由复数的概念对命题逐一判断

【详解】对于，若复数z满足，则，为真命题，

对于，若，满足，，故为假命题，

对于，若，，满足，，故为假命题，

对于，若复数，则，为真命题．

故选：D

8．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

A．若的观测值为=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；

C．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；

D．以上三种说法都不正确.

【答案】C

【详解】试题分析：要正确认识观测值的意义，观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误，故选C．

【解析】独立性检验．

9．下列说法不正确的是（       ）

A．回归分析中，的值越大，说明残差平方和越小

B．若一组观测、、满足，若恒为，则

C．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法

D．画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号

【答案】D

【分析】根据相关指数与残差的关系可判断AB选项的正误；利用回归分析的概念可判断C选项的正误；利用残差图可判断D选项的正误.

【详解】对于A，回归分析中，的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A对；

对于B，若一组观测、、满足，若恒为，则，B对；

对于C，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，C对；

对于D，残差图中横坐标可以是样本编号，也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D错.

故选：D.

10．若x是正实数，根据基本不等式有，，，…，以此类推，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给出的前三个式子不难发现结果的系数成等比数列，x的次数规律为，据此即可归纳出结果.

【详解】由题可知，使用基本不等式后的结果系数2,4,8,…成等比数列，通项为，

x的次数为，故通项为，

故.

故选：C.

11．下列说法正确的是（       ）

①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法;

②独立性检验就是选取一个假设H0条件下的一个小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的"不合理"现象，则作出拒绝H0的推断;

③独立性检验一定能给出明确的结论.

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

【答案】A

【分析】根据独立性检验思想的意义对选项中的问题分析、判断正误即可得出答案．

【详解】解：对于①，独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法，命题正确；

对于②，独立性检验就是选取一个假设条件下的小概率事件，

若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝的推断，正确；

对于③，独立性检验与样本的选取有关，不一定正确，故命题错误．

综上，正确的命题是①②．

故选：A．

12．如果正数满足，那么（　　）

A．，且等号成立时的取值唯一

B．，且等号成立时的取值唯一

C．，且等号成立时的取值不唯一

D．，且等号成立时的取值不唯一

【答案】A

【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．

二、填空题

13．已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为___________.

【答案】

【分析】化简求出，再代模长公式即可求解

【详解】由

，

故答案为：

14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是______．

【答案】16

【分析】根据算法图，直接列举计算即可求解.

【详解】①；②；③；

④；⑤，输出，结束.

故答案为：16

15．下列说法中错误的有______个．

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②在一个列联表中，由计算得，则其两个变量之间有关系的可能性是99.9%；

③设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

④线性回归方程必过．

【答案】2

【分析】根据统计的知识依次判断即可.

【详解】对①，方差反应一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故①正确；

对②，在一个列联表中，由计算得，因为，所以两个变量之间有关系的可能性小于99.9%，故②错误；

对③，一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故③错误；

对④，线性回归方程必过样本中心点，故④正确.

所以错误的有2个.

故答案为：2.

16．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________．

【答案】

【详解】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.

详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.

点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.

三、解答题

17．用分析法证明：．

【答案】证明过程见解析.

【分析】运用分析法，结合平方法进行证明即可.

【详解】欲证明，只需证明成立，

因为，

所以想证明，只需证明，

即证明，也就是证明，即证明，

因为显然成立，所以.

18．已知复数z在复平面内对应的点在直线上，且复数为实数.

(1)求复数z

(2)已知是方程的根，求实数a，b的值.

【答案】(1)或

(2)，

【分析】（1）待定系数法设复数，由题意列方程组求解

（2）计算出，代入方程求解

【详解】(1)由复数z在复平面内对应的点在直线上，设复数，

有，

由复数为实数，有，解得，

故复数或

(2)由，，可得，

由是方程的根，可得，

整理为，有，

解得，.

19．很多人都爱好抖音，为了调查手机用户每天使用抖音的时间，某通讯公司在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天使用抖音的时间（单位：h）分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图估计女性平均每天使用抖音的时间：（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)若每天玩抖音超过4h的用户称为“抖音控”，否则称为“非抖音控”，完成如下列联表，判断是否有90%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关．

【答案】(1)；

(2)列联表见解析，有90%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关．

【分析】（1）根据同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结合女性频率直方图进行求解即可；

（2）根据频率直方图，结合题意，利用卡方计算公式进行求解即可.

【详解】(1)估计女性平均每天使用抖间的时间为：

；

(2)在男性频率分布直方图中，

，

男性非抖音控人数为：，男性抖音控人数为；

女性非抖音控人数为：，女性抖音控人数为，所以填表如下：

所以，

因此有90%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关．

20．假设关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关统计资料如下表所示：

若由资料知y与x呈线性相关关系．

(1)求线性回归方程的回归系数，；

(2)估计当使用年限为10年时，维修费用是多少？

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】(1)，；

(2)12.38万元

【分析】（1）根据表中数据结合公式即可求出；

（2）将代入回归方程即可求出.

【详解】(1)由表中数据可得，

则，

，

所以，；

(2)回归直线方程为，则当时，，

所以估计当使用年限为10年时，维修费用是12.38万元.

21．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值等于同一个常数：

①；

②；

③；

④.

(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)推广的恒等式为，证明见解析.

【分析】(1) 选择①可以很容易求出该常数；

(2) 由题观察归纳出三角恒等式，再证明即可.

【详解】(1)

(2)观察①，②，③，④，结合(1)，归纳可得

证明如下：

.

22．首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：

并根据数据绘制散点图如图所示：

根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

其中，.

（1）（ⅰ）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）；

（ⅱ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中）

（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.

附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.相关指数：.

【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ）13.2百万元；（2）甲建立的回归模型拟合效果更好.

【解析】（1）（i）令，，则，根据最小二乘估计，，则，从而确定关于的回归方程即可. （ii）令，解得的取值范围即可.

（2）先计算甲建立的回归模型的残差，，再计算甲模型的相关指数，与乙模型的相关指数比较大小，即可.

【详解】（1）（ⅰ），令；

令，则.

根据最小二乘估计可知：

从而，故回归方程为，即.

（ⅱ）设，解得，即

故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿.

（2）甲建立的回归模型的残差：

则，从而，

即甲建立的回归模型拟合效果更好.

【点睛】思路点睛：

利用最小二乘法求回归直线方程的一般步骤：

（1）先由题中数据求出两变量的平均数、，

（2）再根据，，求出和，

（3）将系数代入回归直线方程，可得回归直线方程.