2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．某校高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生，现要从该校全体学生中抽取人进行视力检查，应从高三年级抽取（       ）人

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设从高三年级抽取人，根据已知条件可得出关于的等式，由此可求得结果.

【详解】设从高三年级抽取人，由题意可得，解得.

故选：B.

3．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为，则的值分别为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．

【详解】组数据的中位数为17，，

乙组数据的平均数为，

，

得，

则，

故选：D．

【点睛】方法点睛：本题主要考查茎叶图的应用，方法如下：

（1）根据中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数，结合题意求得结果；

（2）根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键.

4．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．

【详解】圆可化为，

所以点与圆心连线所在直线的斜率为，

则所求直线的斜率为，

由点斜式方程，可得，

整理得.

故选：A.

5．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为，化为十进制数即可得出结果.

【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为，化为十进制数为.

故选：B.

【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.

6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（        ）

A． B．6 C． D．

【答案】D

【解析】用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得.

【详解】执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.

故选D．

【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.

7．已知中，的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点的轨迹方程是

A．（） B．（）

C．（） D．（）

【答案】C

【详解】由题，，且，所以点轨迹是以为焦点，6为长轴长，4为焦距的椭圆，去掉长轴端点，故选择C.

点睛：求轨迹方程问题是建立在对圆锥曲线知识整体掌握的基础之上，考查学生对圆锥曲线的综合掌握.常用的求轨迹方程方法有直接法、相关点法、定义法、参数方程法、交轨法等.本题主要考查定义法求轨迹方程，定义法求轨迹方程的一般步骤为（1）判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量；（3）求轨迹方程.

8．椭圆上一点，椭圆的两个焦点为，若，则的面积是（       ）

A．14 B．8 C．7 D．4

【答案】C

【分析】根据椭圆的标准方程及定义，再结合勾股定理，就可解得，再计算的面积即可.

【详解】∵椭圆的方程为，

∴又∵∴

设，由椭圆定义及勾股定理，

可得，∴，

∴，∴三角形的面积.

故选：C

9．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（       ）

A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处

【答案】A

【分析】设仓库到车站的距离为x km，由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0，根据x=10的费用，求出k1、k2，再利用基本不等式即可求解.

【详解】设仓库到车站的距离为x km，

由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0．

由当x=10时，两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1=20，k2=，

故y1+y2=x≥2=8，

当且仅当x，即x=5时取等号，

故选：A．

【点睛】本题考查了函数模型的应用，基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

10．当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】曲线 是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），结合图形得，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围．

【详解】如图，曲线是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，A（-2，0），B（2，0），

直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），故

若直线kx-y+2k-4=0与圆相切时，圆心O（0，0）到直线的距离：

解得

结合图形，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是 故选C.

【点睛】本题考查直线和圆相交的交点个数问题，一般有两种解法：几何法，代数法.

11．正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（       ）

A．5 B． C． D．

【答案】D

【分析】作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.

【详解】如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，

由且，得是平行四边形，则且，

又且，得且，则共面，

故平面截该正方体所得的截面为.

又正方体的棱长为2，，，，，

故的面积为.

故选：D.

12．已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（       ）

A．[8，12] B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围

【详解】由，得，则，

圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，

因为

，

因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，

所以，即，

所以，所以，

所以的取值范围为，

故选：C

二、填空题

13．已知向量， 与垂直，则__________．

【答案】

【详解】向量，与垂直，故，即，故答案为.

14．假设你在如图所示的圆面图上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________．

【答案】

【分析】设圆的半径为，分别求出圆的面积与三角形的面积，再根据几何概型的计算方法计算即可得解.

【详解】解：设圆的半径为，则，

故，

所以落到阴影部分(等腰三角形)的概率是.

故答案为：.

15．设是椭圆左，右焦点，P为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为___．

【答案】

【分析】由题， 先利用得出，故为腰，再利用角度关系，得出与的关系，即可变形求解.

【详解】如图，直线交轴于点，

由题，结合椭圆性质得，，故直线在椭圆右顶点右侧，

，又是底角为的等腰三角形，

，

，

又，故

故答案为：

三、双空题

16．已知点A，B，C，D在同一个球的上，，，，则过三点的截面圆的半径为________；若四面体体积的最大值为4，则这个球的表面积为________．

【答案】     2    

【分析】在中利用余弦定理求出，可得为直角三角形，从而可求出过三点的截面圆的半径，的中点为外接圆的圆心，由底面的面积不变，所以当平面时，四面体的体积最大，则可求出，从而可求出外接球的半径，进而可求出球的表面积

【详解】在中，，，，

由余弦定理得，

所以，

所以，所以，所以为直角三角形，

所以是外接圆的直径，

所以过三点的截面圆的半径为2，

，

令的中点为，则为外接圆的圆心，

因为的面积为定值，所以当四面体的体积最大时，则底面上的高最大，

所以当平面时，四面体的体积最大，

所以，所以，得，

设四面体外接球的半径为，球心为，则

在直角中，，即，

解得，

所以球的表面积为，

故答案为：2，

四、解答题

17．的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求的面积．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.

试题解析：（1）因为向量与平行，

所以，

由正弦定理得，

又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.

（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，

得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，

因为c>0，所以c＝3.

故△ABC的面积为bcsinA＝.

【解析】平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.

18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.

【答案】（1）0.006；（2）；（3）.

【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；

（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；

（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.

【详解】（1）因为，

所以

（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为

（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，

即为；

受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是

又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，

故所求的概率为

【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.

19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据.

（1）请根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

参考公式：，.

【答案】（1）；（2）19.65（吨标准煤）.

【分析】(1)根据表格数据，计算，，，，再利用最小二乘法求，，最后得线性回归方程；

(2)利用(1)中的线性回归方程求解.

【详解】(1)由表中数据，计算得：，，

，，

所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

，

.

因此，所求的线性回归方程为.

(2)由(1)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：

（吨标准煤）.

20．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.

（1）求证：平面PBD；

（2）若，直线与平面所成的角为45°，求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；

（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积.

【详解】解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PD⊥AC，又，

故AC⊥平面PBD；

（2）因为PD⊥平面ABCD，

所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，

于是∠PBD=45°，

因此BD=PD=2.又AB= AD=2，

所以菱形ABCD的面积为，

故四棱锥P- ABCD的体积.

21．已知在正项等比数列中，,且的等差中项为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据条件列出等式，求解出等比数列的首项和公比，从而的通项公式可求；

（2）根据条件先求解出从而可求，然后利用裂项相消法求解出，再根据不等式恒成立采用分离参数法求解出的取值范围.

【详解】（1）因为且，所以，所以；

（2）因为，所以，

又因为，

所以，

又因为恒成立，所以恒成立，所以恒成立，

所以，且单调递减，所以，

所以.

【点睛】本题考查等比数列通项公式、裂项相消法求和以及和数列相关的不等式问题，主要考查学生的综合运用能力，难度一般.不等式恒成立求解参数范围的问题，可以采用分离参数的方法，还可以利用分类讨论进行分析.

22．已知椭圆：过点且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上存在三个不同的点，，，满足，求弦长的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据待定系数法求解即可得答案.

（2）设直线过、两点，先考虑直线垂直于轴时，易得，再考虑直线不垂直于轴时，设：，，，，根据题意与椭圆联立方程得，，，进而化简计算得，再根据在椭圆上得，再用弦长公式得：，最后结合即可求得弦长的范围.

【详解】解：（1）由题意知，，

又因为，解得，.

则椭圆标准方程为.

（2）因为，

所以由向量加法的意义知四边形为平行四边形.

设直线过、两点，

①若直线垂直于轴，易得：，，或者，，，

此时.

②若直线不垂直于轴，设：，，，，

将直线代入的方程得

故，，

因为，所以，，

则，，即.

因为在椭圆上，有，化简得.

验证，.

所以，

所以.

因为，则.

即，得.

综上可得，弦长的取值范围为.

【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆相交的弦的最值问题，考查数学运算能力，是中档题.