2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试数学试题 Word版

2021-2022学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期期中考试

（数学）

一．单选题（共8小题，满分40分）

1．1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a7＝12，a8＝9，则S12＝（　　）

A．60 B．90 C．120 D．180

2．等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4+log3a6＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．9

3．下列导数计算正确的是（　　）

A． B． 

C．（lnx+ex）′＝x+ex D．（xcosx）´＝cosx﹣xsinx

4．已知函数f（x）＝2ex﹣ax在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）

5．若数列{an}满足：a1＝1，且an+1＝，则a7＝（　　）

A．19 B．22 C．43 D．46

6．设a＝tan92°，b＝π2，c＝eπ，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（　　）

A．66 B．91 C．107 D．120

8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，那么下列结论中错误的是（　　）

A．函数y＝f（x）的图象可以是中心对称图形

B．∃x0∈R，使f（x0）＝0 

C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减 

D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0

二．多选题（共4小题，满分20分）

9．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S9＝S10＜S11，则（　　）

A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9

10．下列不等式正确的是（　　）

A．当x∈R时，ex≥x+1 B．当x＞0时，lnx≤x﹣1 

C．当x∈R时，ex≥ex D．当x∈R时，x≥sinx

11．已知数列{an}中的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，都有an+1≤Sn，则称{an}为“和谐数列”，下列结论正确的有（　　）

A．常数数列为“和谐数列” 

B．为“和谐数列” 

C．{2n+1}为“和谐数列” 

D．若公差为d的等差数列{an}满足{an+n}为“和谐数列”，则a1+d的最小值为﹣2

12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且

（x+1）f′（x）﹣f（x）＜x2+2x对x∈（0，+∞）恒成立．下列结论正确的是（　　）

A．2f（2）﹣3f（1）＞5 

B．若f（1）＝2，x＞1，则 

C．f（3）﹣2f（1）＜7 

D．若f（1）＝2，0＜x＜1，则

三．填空题（共4小题，满分20分）

13．已知数列{an}的前n项和，则数列{an}的第6项是 　   　．

14．若数列{an}的通项公式为，则该数列中的最小项的值为　   　．

15．已知a＞0，b＞0，直线y＝x+a与曲线y＝ex﹣b相切，则+的最小值是 　   　．

16．设函数f（x）＝，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式，恒成立，则正数k的取值范围是　   　．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣11，a2＝﹣9，且Sn+1+Sn﹣1﹣2Sn＝2（n≥2）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．

18．（12分）设数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

19．（12分）已知函数f（x）＝﹣a（x﹣lnx）+a（a为实数）．

（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a的取值范围．

20．（12分）在数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．

（1）证明：数列{an+n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点A（0，﹣2）的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a﹣2x（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2（x1＜x2），

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证：x1•x22＞．

2020级高二学年下学期期中（数学）考试

(答案)

1-8  BCDBC  BDC    9.BC  10.ABC  11.BD  12.CD

13.9       14.  12﹣14    15.  9      16.k≥1．

17.解：（1）由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，

解得an+1﹣an＝2（n≥2），

又a2﹣a1＝2，

所以{an}是公差为2的等差数列，

则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；

（2）由题知，

则，

由Tn＞0得，

解得，

所以n的最大值为5．

18.解：（1）∵数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1．

∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

＝3×[22n﹣3+22n﹣5+…+22﹣1]+2

＝3×+2＝2×4n﹣1＝22n﹣1．

（2）bn＝nan＝n×22n﹣1．

∴数列{bn}的前n项和Sn＝2+2×23+3×25+…+n×22n﹣1，

4Sn＝2×4+2×25+…+（n﹣1）22n﹣1+n•22n+1，

∴﹣3Sn＝2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1＝﹣n•22n+1，

可得Sn＝．

19.        解：（1）函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞），

．

当a＝﹣1时，ex﹣ax＝ex+x＞0，

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．

（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，1）内单调递减，

所以f（x）在（0，1）内不存在极值点；

当a＞0时，要使函数f（x）在（0，1）内存在唯一极值点，

则在（0，1）内存在唯一变号零点，

即方程ex﹣ax＝0在（0，1）内存在唯一根，所以．

设，则，所以g（x）在（0，1）内单调递减．

又g（1）＝e，所以a＞e，

即a的取值范围为（e，+∞）．

20．【解答】解：（1）证明：因为＝，

数列 {an+n} 是首项为 a1+1＝2，公比为2的等比数列，

那么，即 ．

（2）由（1）知，

＝＝．

21．解：（1）设F（c，0），由条件知⇒c＝．

又a2＝b2+c2，可得b2＝1，a2＝4，∴椭圆E的方程：．

（2）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）

将y＝kx﹣2代入椭圆E的方程：．得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，

当Δ＝16（4k2﹣3）＞0，即k2．，

从而|PQ|＝|x1﹣x2|＝．

又点O到直线PQ的距离d＝．

所以△OPQ的面积s△OPQ＝|PQ|＝

设＝t，则t＞0，∴．

当且仅当t＝2，k＝±等号成立，且满足Δ＞0，

所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．

22．【解答】解：对函数f（x）求导，得f′（x）＝+•﹣2＝．

（I）当a＝﹣2时，f′（x）＝＝，

因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由f′（x）＞0，得0＜x＜，

由f′（x）＜0，得x＞，

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．

（II）由f（x）＝0，得lnx+a﹣2x＝0，

（i）函数f（x）有两个不同零点x1，x2（x1＜x2），

等价于方程a＝2﹣有两个不同的实根．

设t＝，即方程＝t﹣有两个不同的实根．

设g（t）＝t﹣，g′（t）＝1﹣＝，

再设u（t）＝t2+lnt﹣1，

所以函数u（t）在（0，+∞）上单调递增，

注意到u（1）＝0，所以当0＜t＜1时，u（t）＜0，当t＞1时，u（t）＞0．

所以g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

当t→0时，g（t）→+∞，

当t→+∞时，g（t）→+∞，

当t＝1时，g（t）＝1，只需＞1，即所求a＞2，

即实数a的取值范围是（2，+∞）．

（ii）注意到t1＝，t2＝，要证x1•x22＞，只需证t1•t22＞．

由（i）知，0＜t1＜1＜t2，故有＝t2﹣，即t2＞．

下面证明：t1•t2＞1．

设h（t2）＝g（t2）﹣g（）＝（t2﹣）﹣（﹣）＝t2﹣﹣（t2+）lnt2，

有h′（t2）＝1+﹣（1﹣）lnt2﹣（t2+）•＝﹣（1﹣）lnt2＜0，

所以函数h（t2）在（1，+∞）上单调递减，

所以h（t2）＜h（1）＝0，

所以g（t2）﹣g（）＜0，故有g（）＞g（t2）＝g（t1）．

又0＜＜1，0＜t1＜1，且g（t）在（0，1）上单调递减，所以＜t1，即得t1•t2＞1．

因此t1•t22＞，结论得证．