2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二下学期期中考试数学试题（平行班）（解析版 ）

吉林一中2021—2022学年度下学期期中考试

高二数学（平行班）试卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，全集，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】因为或，，

所以，，因此，.

故选：A.

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解.

【详解】解：由题意，，即，

所以，

所以函数的定义域为，

故选：A.

3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（　　）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.

【详解】函数是奇函数,
若，则，

则，

即成立,即充分性成立，

若，满足是奇函数，当时

满足，此时满足，

但，即必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，

所以A选项正确.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.

4. 若随机变量，且，则（    ）

A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态分布的对称即可计算结果.

【详解】解：根据正态分布的对称性，

.

故选：A.

5. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可.

【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中，

所以，

所以，，

，.

故BD错误，AC正确.

故选：BD

6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ）

A  B. {－1，0，1}

C. {－1，0，1，2} D. {0，1，2}

【答案】B

【解析】

【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案.

【详解】,

令，令，

二次函数开口向上，对称轴为，，

所以，也即.

所以.

故选：B

7. 2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可．

【详解】事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，

则P（AB），P（B），

P（A|B），

故选：A．

【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

8. 已知函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，得函数为偶函数，且当时，为单调递增函数，进而将问题转换为，再结合奇偶性，对数函数单调性解不等式即可.

【详解】解：由题知，函数的定义域为，，

所以为偶函数，

因为当时，，

所以，当时，为单调递增函数，

所以，当时，为单调递减函数，

因为,

所以即为，

所以，即，所以.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（    ）

A. 目标未被命中的概率为 B. 目标恰好被命中一次的概率为

C. 目标恰好被命中两次的概率为 D. 目标被命中的概率为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解.

【详解】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误；

对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，

概率为，故B错误；

对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确；

对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确；

故选：CD

10. 已知（），则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 当时，n=5

C. 若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13 D. 当n=4时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得，从而可求出的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当时，将代入结合可求得的值

【详解】，A正确；

的系数，则，所以，B正确；

若的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数，则n等于12，当n为奇数，则n等于11或13，C错误；

当时，，

令，则，又，

所以，D正确.

故选：ABD

11. 袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（    ）

A. 抽取次后停止取球的概率为

B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为

C. 取球次数的期望为

D. 取球次数的方差为

【答案】BD

【解析】

【分析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.

【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，

则，，.

对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；

对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；

对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；

对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.

故选：BD.

12. 已知函数，则（    ）

A. 在单调递增

B. 的值域为

C. 的图象关于直线对称

D. 的图象关于点对称

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的性质分别判断每个选项即可.

【详解】对于A，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，，，所以的图象不关于直线对称，故C错误；

对于D，，，，则的图象关于点对称，故D正确.

故选：AD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

13. 函数的单调递增区间是__________.

【答案】（2，+∞）

【解析】

【分析】

根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.

【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，

，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：

14. 幂函数在上单调递增，则m的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.

【详解】解：因为函数是幂函数，

则有，解得或，

当时，函数在上单调递增，符合题意，

当时，函数在上单调递减，不符合题意.

所以的值为

故答案为：

15. 设，若是的最小值，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.

【详解】解：当时，，

任设，则，

当时，，，

所以，所以，

当时，，，

所以，所以，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值为，

又因为是的最小值，所以且，解得.

故答案为：.

16. 某同学高考后参加国内3所名牌大学，，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，，招生考试的概率分别为，，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为___________；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值．

【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，

该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，

该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，

由得，，

，即，

解得或，

又，，

，

，

该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为．

故答案为：，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列为等差数列，公差，前n项和为，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前n项和为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据，且，，成等比数列．列出方程，即可解出，即可得出答案.

（2）由（1）知，代入，再利用裂项相消求出，即可说明.

【详解】（1）由题意得：，，

整理得，因为，所以，

所以，．

（2），，

，

即．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，裂项相消法求数列的前项和.属于基础题.常见的裂项相消: .

18. 根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：

现要建立关于的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一；模型二，即使画出关于的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为.

（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；

（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为.

附：参考数据：，其中，.

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.

【答案】（1）；（2）模型二的拟合效果更好.

【解析】

【分析】（1）首先换元令，先求得和，再根据数据和参考公式求得模型二的方程；（2）利用残差公式，求模型二的残差，比较大小，即可判断.

【详解】（1）令，则模型二可化为关于的线性回归问题，则

，，

则由参考数据可得，

，

则模型二的方程为；

（2）由模型二的回归方程可得，，

，，，

，

∴，

故模型二的拟合效果更好.

19. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：

（1）求出表中x，y的值；

（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；

（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的分布列与均值．

附：，．

附表：

【答案】（1），   

（2）见解析    （3），分布列见解析

【解析】

【分析】（1）设被抽取的20人中，男、女生人数分别为；根据分层抽样的原理，求得，进而求得x，y的值；

（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论

（3）X可能的取值为0，1，2，3，根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出X的数学期望.

【小问1详解】

设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则,

 所以，．

【小问2详解】

列联表如下：

的观测值，

所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．

【小问3详解】

的可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

，

所以．

其分布列如下表：

20. 已知函数.

（1）若时，存在，使得不等式成立，求的最小值；

（2）若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）

【答案】（1）；（2）.

【解析】

分析】

(1)由存在使不等式成立，只需，利用导数即可得的最小值；

(2)分类讨论a保证在上是单调函数，从而确定a的范围

【详解】（1）存在，使得不等式成立，则只需，

∵，

∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

∴在处取得极小值，即，又，

∴，

∴，

∴，

故；

（2），

当时，，则在上单调递增；

当时，∵，∴，

∴，则在上单调递增；

当时，设，函数开口向下，其对称轴，

故只需，即，此时上单调递减，

综上可得，.

【点睛】本题考查了利用导数解决不等式能成立问题，及利用导数研究函数的单调性求参数范围，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.

21. 设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.

（1）求抛物线方程和椭圆方程；

（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

【答案】（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.

【解析】

【分析】（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；

（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.

【详解】（1）由已知得，，，

所以抛物线方程为，椭圆方程为.

（2）设直线方程为：，

由消去得，，

设，则

因为

所以或（舍去），所以直线方程为：.

由消去得，.

设，则

所以

令，则，

所以，

当且仅当时，即时，取最大值.

【点睛】本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.

22. 吉林化工集团是是集炼油、烯烃、合成树脂橡胶、合成氨于一体的特大型综合性石油化工生产企业，其子公司-星云化工厂即将交付客户一批产品“星云军防冻液”，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．

（2）已知每件产品检验的成本为10元，若有不合格品进入用户手中，则工厂需要对每件不合格品赔付110元，现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，

（ⅰ）若余下的产品不再作检验，以（1）中作为的值，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，试求．

（ⅱ）以（ⅰ）检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】（1），   

（2）（ⅰ）；（ⅱ）应该作检验

【解析】

【分析】（1）由二项分布的概率公式求解即可，再根据导数研究单调性即可得；

（2）（ⅰ）令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，，进而根据期望的性质求解即可；

（ⅱ）计算全部作检验的费用，作比较即可得答案.

【小问1详解】

解：根据题意，，

所以，，

令得，

所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减；

所以，当时，取得最大值，即.

【小问2详解】

解：（ⅰ）由（1）知每件产品合格的概率为，

所以，令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，

则，即，

所以，.

（ⅱ）若对余下的产品作检测，则这一箱产品所需的检测费用为，

所以，应该对余下的产品作检测.