2021-2022学年江西省赣州市十六县（市）十九校高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江西省赣州市十六县（市）十九校高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省赣州市十六县（市）十九校高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．命题“，”的否定是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题“，”的否定是“”.故选：A2．求证：．证明：因为和都是正数，所以为了证明，只需证明，展开得，即，只需证明．因为成立．所以不等式成立．上述证明过程应用了（       ）A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．间接证法【答案】B【分析】根据分析法的概念求解即可.【详解】解：由题知，证明过程是由结论出发，寻求结论成立的充分条件的过程，故是分析法证明.故选：B3．“”是“且”的（       ）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对不等式进行化简，由不等式看出两个命题之间的关系，结合充分和必要条件的性质即可判断结果．【详解】由得且，或且；所以且，而且则“”是“且”的必要不充分条件．故选：C4．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、西、戍、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戍亥子…天干地支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戍年乙亥年丙子年…  2021年是中国共产党成立100周年，这一百年，中国由贫穷落后到全面建成了小康社会．到2049年，新中国成立100年，我们国家将建成富强、民主、和谐、美丽的社会主义现代化国家．使用干支纪年法，2021年是辛丑年，2049年是（       ）年．A．甲申              B．丙戌              C．戊寅              D．己巳【答案】D【分析】分析天干地支纪年法的规律，即得解.【详解】解：根据题意，天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．由天干地支纪年法中，对应的规律可得，2021年是辛丑年，可以推知2049年时，天干中对应的是“已”，地支中对应的是“巳”，所以2049年是己巳年．故选：D．5．已知事件A与B独立，当时，若，则（       ）A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1【答案】C【分析】由独立事件的定义直接判断.【详解】因为事件A与B独立， ，所以，则.故选：C6．该程序框图输出的值为（       ）A．2 B．6 C．14 D．30【答案】C【分析】根据该程序框图可知，该程序是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案.【详解】模拟该程序框图的运行，可得：，，满足条件，执行循环体，则，，满足条件，执行循环体，则，，此时不满足条件，退出循环，输出.故选：C.7．已知两个随机变量x，y的取值如下表，若x，y呈线性相关，且得到的线性回归方程，则（       ）x2345y5.5543.5 A． B．C． D．【答案】C【分析】根据随机变量x，y的取值变化可得，求出、可得答案.【详解】因为y随着x的增大而减小，所以， ，，所以.故选：C.8．若函数在区间上的平均变化率为5，则t等于（       ）A． B．2 C．3 D．1【答案】C【分析】利用平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数在区间上的平均变化率为5，所以，解得：或.因为区间，所以，所以.故选：C9．已知复数z有（i是复数单位）成立则复数：满足（       ）A． B． C．对应的点在复平面的第二象限 D．【答案】D【分析】由复数的除法运算求得，然后验证各选项．【详解】由得，B错；复数的模是非负实数，不可能是虚数，A错，对应点坐标为，在坐标轴上，C错；，D正确．故选：D．10．下列说法：①命题“，若，则”是真命题：②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设﹐将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3：③已知是双曲线的一个焦点，则点F到双曲线E的渐近线的距离等于b．正确的个数是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】对于①，先求出其逆否命题，再判断逆否命题的真假，从而可判断出原命题的真假，对于②，由，两边取对数，对应，从而可求出c，k的值，对于③，先求出以曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解判断【详解】对于①，命题“，若，则”的逆否命题为“若，则”为真命题，所以原命题是真命题，所以①正确，对于②，由，两边取对数，得，令，则，因为，所以，所以，所以②正确，对于③，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，取一条渐近线方程，即，则到直线的距离为，即点F到双曲线E的渐近线的距离等于b，所以③正确，故选：D11．已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点坐标后将用坐标表示，结合在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程，二者联立后化简即可得出离心率的取值范围.【详解】设，在椭圆上，，，两边都乘以化简后得：，，，又因为椭圆离心率，.故选：A.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12．已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解.【详解】由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有最大值，且，又当时，，且，当时，，．其图象如图所示：①当，由，得，即，则，此时不等式的整数解有无数多个，不合题意；②当时，由得或．当时，，有无数个整数解；当时，其解集为(0,1)的子集，不含有整数解；故不合题意；③当时，由得或，当时，其解集为(0,1)，不含有整数解；当时，若不等式有且仅有四个整数解，又，，，，且，因为在递增，在递减，所以四个整数解只能为2、3、4、5，所以， 即所以实数的取值范围为．故选：B.二、填空题13．是等差数列，若m，n，p，，则；类比以上结论有：是等比数列，若m，n，p，，则_____________．【答案】【分析】类比等差数列的结论及等比数列的性质可得．【详解】解：若m，n，p，，则；类比以上结论有：是等比数列，若m，n，p，，则；证明：设等比数列的公比为，则，，因为，所以，即；故答案为：14．已知函数，则切点的横坐标为1时的切线方程为_____________．【答案】【分析】先求出切点坐标，即可求出切线方程.【详解】由题意可得：，即切点（1，-1）.因为，所以，所以在（1，-1）处的切线方程为：.故答案为：.15．若复数z满足，则|z|的最大值为______________．【答案】14【分析】利用复数的三角不等式即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，所以|z|的最大值为14.故答案为：1416．设分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则______________．【答案】【分析】设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．【详解】解：设双曲线的半焦距为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，因为，在中，，，由余弦定理可得．故答案为：．三、解答题17．已知命题p：“关于x的方程有实数根”，命题q：“”，命题r：“”．(1)若“p且q”是真命题，求m的取值范围：(2)若q是r的充分不必要条件，求t的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出命题为真时参数的取值范围，依题意，均为真命题，即可得到不等式组，解得即可；（2）令，，依题意，即可得到不等式组，解得即可；【详解】(1)解：命题为真则，解得，若“且”是真命题，则，均为真命题，即，解得．的取值范围是；(2)解：命题：“”，命题：“”，令，，因为是的充分不必要条件，所以，所以（等号不同时成立），解得，即；18．金月网站统计了某网红火锅店在2021年8月至12月的顾客人数y（单位：千人），得到以下数据：（表1）月份x89101112顾客人数y1012141316 （表2） 喜欢不喜欢总计男  100女 55 总计110   (1)根据表1中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？(2)为调查顾客对该网红火锅的喜欢情况，随机抽查了200名顾客，得到如上列联表，请填写上面的2×2列联表（表2），并判断是否有99%的把握认为“顾客是否喜欢该网红火锅与性别有关”（参考公式：相关系数，，，参考数据：）注：r与的计算结果精确到0.001．临界值表：0.100.050.01k2.7063.8416.635 【答案】(1)可用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)列联表见解析，有99%的把握认为“顾客是否喜欢该网红火锅与性别有关”.【分析】(1)由已知数据结合相关系数公式求，根据计算结果判断；(2)分析数据关系，填写列联表，计算的值，比较其与临界值的大小，由此作出判断.【详解】(1)由已知可得，，所以，因为所以可用线性回归模型拟合y与x的关系；(2)由已知抽查的顾客总人数为200，其中男性顾客100人，喜欢该网红火锅的顾客有110人，故女性顾客共100人，不喜欢该网红火锅的顾客有90人，又女性顾客中不喜欢该网红火锅的人数为55，故女性顾客中喜欢该网红火锅的人数为45，所以男性顾客中喜欢该网红火锅的人数为65，不喜欢的人数为35，故列联表如下： 喜欢不喜欢总计男6535100女4555100总计11090200 所以，又，所以有99%的把握认为“顾客是否喜欢该网红火锅与性别有关”.19．已知，函数．(1)求函数的极值：(2)若函数无零点，求的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【分析】（1）求导后，根据的正负可得的单调性，由极值定义可求得结果；（2）根据单调性可知，则只需，解不等式即可.【详解】(1)由题意得：定义域为，；令，解得：，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值.(2)由（1）知：的极小值即为的最小值，即；若无零点，则，即，，解得：，则的取值范围为.20．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为1，且，A，B是抛物线E上异于O的两点(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB恒过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）由抛物线的定义（或焦半径公式）求得得抛物线方程；（2）设，设方程为，代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，代入得出的关系，然后观察直线方程得定点坐标．【详解】(1)由题意，，抛物线方程为；(2)设，设方程为，由得，，即，，，，，，所以直线方程为，过定点．21．已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)求函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)【分析】（1）求导后，根据的正负可得结论；（2）将原不等式化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可得，由可得结果.【详解】(1)，当时，；当时，；的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)当时，原不等式可化为：；令，则，令，则，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，当时，，即；当时，，即；在上单调递减，在上单调递增，，，即，实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解决此类问题的基本思路是采用参变分离的方式，将问题转化为或恒成立的形式，从而通过或的方式求得结果.22．曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴为轴的正半轴，与极坐标系取相同的单位长度，建立直角坐标系．(1)求曲线的直角坐标方程；(2)直线的极坐标方程是，射线与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据极坐标与直角坐标的互化求解即可；（2）根据题意，得，，进而得.【详解】(1)解：因为曲线的极坐标方程为，所以，，故直角坐标方程为，即.(2)解：直线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为，因为，射线与曲线的交点为，与直线的交点为，所以，，即；，即；所以，.23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为m，正数a，b满足，求的最小值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据绝对值的几何意义，分，，三种情况讨论求解. （2）利用绝对值三角不等式求出，再利用基本不等式进行求解.【详解】(1)解：当时，不等式可化为，解得，即；当时，不等式可化为，解得，即；当时，得，解得，即 ；综上所述，不等式的解集为或．(2)解：，所以，即，所以（当且仅当且，即 时取等号）即的最小值为．