2021-2022学年上海市金山区高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市金山区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．双曲线的虚半轴长是（       ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【解析】由双曲线方程求出的值可得结果

【详解】解：由题意得，

所以，

所以双曲线的虚半轴长为3

故选：A

2．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（       ）

A．10 B．9 C．8 D．5

【答案】B

【解析】先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离．

【详解】抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，

由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.

故选:B．

3．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】圆可化为，由题意可得圆心，半径是1，又因为是圆的切线且，可得，从而得出P点的轨迹方程．

【详解】圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．

故选：B．

【点睛】本题考查圆的切线性质，圆的标准方程及圆的定义，属于基础题．

4．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设内层椭圆方程为，由题可知外层椭圆可设成 ，再根据直线与椭圆的位置关系可求出，即可利用求出离心率．

【详解】设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，

外层椭圆可设成 ，

设切线A C的方程为, 与联立得：

，由, 则,

 同理可得,, 则,

因此．

故选：D.

二、填空题

5．经过、两点的直线斜率为______.

【答案】

【分析】利用斜率公式可求得结果.

【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.

故答案为：.

6．过直线 与直线 的交点， 圆心为的圆的标准方程是_____.

【答案】

【分析】先求出两直线的交点坐标，再求这点到圆心的距离就是半径，从而可求出圆的标准方程

【详解】由，得，

所以直线 与直线 的交点为，

所以圆的半径为，

所以所求圆的标准方程为，

故答案为：

7．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________

【答案】

【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.

【详解】由可得，

所以圆心为，

由可得，所以直线的斜率为，

所以与直线垂直的直线的斜率为，

所以所求直线的方程为：，即，

故答案为：.

8．求直线与直线的夹角为________.

【答案】

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，

直线的斜率为，倾斜角为，

故直线与直线的夹角为，

故答案为：．

9．若直线与互相垂直，则实数的值为________．

【答案】

【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.

【详解】两直线与互相垂直.

所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.

10．记为等差数列{}的前n项和，若，，则=_________.

【答案】18

【分析】根据等差数列通项和前n项和公式即可得到结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由，得，解得，

所以．

故答案为：18．

11．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；

【答案】4

【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．

【详解】因为，

所以.

故答案为：4

【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．

12．求过点 的圆 的切线方程__________.

【答案】或

【分析】利用几何法求出切线的斜率，即可得到切线方程.

【详解】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；

当斜率存在，设其为k，则切线可设为.

所以，解得：或.

所以切线方程为：或.

故答案为：或.

13．已知，到直线的距离相等，则实数a为________.

【答案】1或

【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出．

【详解】两点，到直线的距离相等，

，化为．

，

解得或．

故答案为：1或．

14．已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为，则实数______.

【答案】

【分析】由几何法求圆的弦长的方法求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求得答案．

【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，

则，解得.

故答案为：．

【点睛】本题考查运用几何法求圆的弦长，以及点到直线的距离的公式的应用，属于基础题．

15．已知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________

【答案】或

【分析】直线恒经过定点，利用斜率公式求解即可

【详解】由题意，直线恒经过定点，

由直线的斜率公式，可得，

要使直线与线段有公共点，或

故答案为：或

【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题

16．已知､分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为2，点在双曲线上，且，则三角形的面积为___________.

【答案】

【分析】由点到该双曲线的渐近线的距离为2，可得的值，再依据双曲线定义和，可得的值，由三角形面积公式可得三角形的面积.

【详解】双曲线的渐近线的方程为，右焦点

由点到该双曲线的渐近线的距离为2可得，，则

由，可得

则三角形的面积为

故答案为：

三、解答题

17．已知直线

(1)若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；

(2)直线与直线平行，求与之间的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．

（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．

【详解】(1)直线，令，，则

(2)直线与直线平行，则，得

当时，直线，即满足条件

此时直线与之间的距离为

18．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）.

【解析】（1）由，，成等差数列可得，然后结合公比为2求出即可；

（2）直接根据公式求出答案即可.

【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列

所以，所以，解得

所以

（2）

【点睛】本题考查的是等差中项的应用、等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于基础题.

19．若点为圆 的弦的中点．求：

（1）直线的方程；          

（2）△的面积．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由圆中弦的中点与圆心所在直线与弦垂直有，即可求，结合所过的点写出弦所在方程.

（2）由弦心距、半径与弦长的几何关系求弦长，应用点线距离公式，求圆心到直线AB的距离，即可求△的面积．

【详解】（1）∵圆心C(1,0)，M(2,-1)，即，而

∴，则AB：.

（2）设圆心C到直线AB的距离为，即，而，

∴.

20．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，其焦点为，.

（1）求椭圆的标准方程；                                 

（2）已知点在椭圆上，且，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设椭圆方程，由椭圆过点，其焦点为，，求出、、，即可求出椭圆方程；

（2）由点在椭圆上，且，可求出，由焦点坐标可求出，由此可求出的面积.

【详解】（1）由题意，椭圆过点，其焦点为，，

所以设椭圆方程，

则，，所以，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）由题意，点在椭圆上，且，

由椭圆定义知，，所以，

又椭圆焦点为，，所以，

，所以，

所以的面积.

【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆定义的应用，属于基础题.

21．已知 ， 如图， 曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆雉曲线的焦点， 点 ， 为曲线 所在圆雉曲线的焦点

(1)若 ， 求曲线 的方程;

(2)如图， 作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线， 交曲线 于点 ， 求弦 的中点 的轨迹方程；

【答案】(1)和

(2)，

【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出曲线方程；

（2）设直线，，，，联立直线与椭圆方程，消元，根据及结合图象得到，再利用韦达定理得到，即可得解；

【详解】(1)解：因为，，所以，解得，

所以曲线的方程为和；

(2)解：曲线的渐近线为，设直线

则

又由数形结合知，所以

设点，，，

则

所以，，

所以，即点的轨迹为，；