2021-2022学年云南省曲靖市第一中学高二下学期 期中考试 数学试题 word版

曲靖一中2023届高二年级春季学期期中考试

数 学 试 卷

考试时间：120分钟   试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．曲靖市爨文化博物馆在曲靖一中校园内，博物馆有面向校内、校外两道大门，两道大门都可以进出，一个参观者随机从一道大门进入，参观完毕之后随机从一道大门走出，这位参观者从校内大门进出的概率等于（　　）

A.      B.   　  C. 　  D.

2．从１,２,３,４,５,６,７,８,９共9个数字中任取两个数字书写减法算式（仅仅是两个数字相减）给小学一年级学生（还没学习负数）训练，共可以写出（   ）个不同的算式．

A.      B.   　  C. 　  D.

３．展开式中的系数等于（    ）

A.     　B.      C.   　D.  

４．先后随机投掷质地均匀的骰子三次，以第一次向上的面上的数字为空间直角坐标系中点的横坐标，第二次向上的面上的数字为纵坐标，第三次向上的面上的数字为竖坐标，那么组成横坐标、纵坐标、竖坐标都是偶数的点的概率等于（    ）

A.       B.   　 C. 　  D.

５. 已知集合，，则集合的关系是（　　）

A.        　B.     　　C.       D.

６．曲靖一中某班级有学生58人，其中男生29人，从该班级中随机地有放回地抽取一人，连续抽58次,抽到女生的次数的期望等于(    )

    A.48     B．30      C. 29      D.28

７.已知双曲线的渐近线经过椭圆与抛物线的交点，则以双曲线的两焦点为某直径端点的圆的方程是（　　）

A.         B.    C.         D.

８.曲靖一中紫薇大酒店开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，A同学一天午餐随机地选择一个餐厅就餐．如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不去一楼就餐的概率等于0.9；如果中午去二楼餐厅就餐，那么当晚去二楼就餐的概率等于0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么晚上不去三楼就餐的概率等于0.8. 还知道A同学晚上选择在一楼与三楼就餐的概率相等.那么,A同学晚上选择在一楼、二楼、三楼就餐的概率分别等于（　）

A.     B.       C.     D.

二、多选题：本题共４个小题，选对一项记3分，选错一项或不选记0分，全部选对记5分，满分20分．

9.已知集合，，下列结论中成立的是（   ）

A.     B.      C.       D.

10.已知样本数据的均值和标准差都是10，下列判断正确的是（   ）

A. 样本数据均值和标准差都等于10； 

B. 样本数据均值等于31、标准差等于30；

C. 样本数据的标准差等于0.1，方差等于1；

D. 样本数据的标准差等于2、方差等于4；

11.已知事件,,，下列结论正确的是（    ）

A.   　　B．　　 C.  

12.下列不等式中错误的是(    )

A.．           B.．

C.．     D. 集合的全部元素之和等于2022

三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分．

13.曲靖一中2023届某班级有56名学生,其中男生32人,按性别进行分层抽样抽组一个志愿服务组,如果服务组有6名女生,则服务组中的男生人数是            

14.函数的值域(用区间表示)是　　　　　　　　　　　

15.曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份月考中,理科考试学生人数为820人,假设数学成绩,那么全年级数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是        人.

参考统计数据:, ,

.

三、解答题:本题共6道小题,满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

　　（2021·全国高考文科试题，表述作过改变）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）根据小概率的独立性检验,分析甲机床生产的产品质量与乙机床生产的产品质量是否有差异.

18.（本小题满分12分）

已知函数．

　　⑴若不等式的解集是实数集，求的取值范围；

⑵若不等式的解集是实数集，求的取值范围；

⑶时，求的取值集合．

19.（本小题满分12分）

(选择性必修第三册第5题）语文老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求:

⑴抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

⑵他能及格的概率,以及抽到他能背诵的课文数的期望.

20.（本小题满分12分）

曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份组织了一次月考,A同学为了探究学生的数学学习情况是否对物理学习情况存在影响,A同学在某班随机抽取10名同学的数学与物理的成绩( 表示数学成绩, 表示物理成绩)如下: 、 、 、、、、、、、．

　　⑴ 计算样本中变量与的相关系数，根据计算结果判断样本中物理成绩与数学成绩的相关情况；

⑵ 建立变量与之间的经验回归方程(精确到小数点后的的两位数），该班Ｂ同学的数学成绩是140分,A同学可以估计Ｂ同学的物理成绩大约是多少?

⑶用⑴⑵中的结果估计该班、估计全年级学生物理成绩与数学成绩的关联情况是否可靠？为什么？

21．（本小题满分12分）

已知为坐标原点，点，曲线上动点到点的距离等于动点到定直线的距离的倍．直线:与曲线交于不同的两点，.

（1）求曲线的方程；

（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.

22. （本小题满分12分）

已知函数．

⑴当时，求函数的图象在点处的切线的方程．

⑵已知，讨论函数的图象与直线的公共点的个数．

答案：DCAB－ACBD

三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分．

答案：13．8    14．     15．672人（填673人也算正确）   16．

13.曲靖一中2023届某班级有56名学生,其中男生32人,按性别进行分层抽样抽组一个志愿服务组,如果服务组有6名女生,则服务组中的男生人数是            

解答:班级中有男生32人,则有女生人,分层抽样抽取的比例,则抽取的男生人数为,所以志愿服务组中有男生8人.

14.函数的值域(用区间表示)是　　　　　　　　　　　

解答：，,,时,,时,则函数在区间上递减，在区间上递增，．

且是； 是．

所以，函数的值域是

15.曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份月考中,理科考试学生人数为820人,假设数学成绩,那么全年级数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是        人.

参考统计数据:, ,

.

解答:

.

    ,数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是672人.

16.函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是　　　　　　　　　　

解答：二次函数在区间上递增，反比例函数在上增函数，指数函数在上递增，则函数在上递增，原问题等价于：

．

　　所以，的取值范围是．

说明：题目用两个一百年的四个时间节点、今年年号和二次函数、反比例函数、指数函数单调性，以及全称判断、特称判断知识为载体，创编交汇性题目，考查思维素养，不需要任何计算，渗透思想教育．

三、解答题:本题共6道小题,满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

　　（2021·全国高考文科试题，表述作过改变）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）根据小概率的独立性检验,分析甲机床生产的产品质量与乙机床生产的产品质量是否有差异.

附：，

　　解：⑴甲机床生产的产品中的一级品的频率为；　　…………………………………  2分

　　乙机床生产的产品中的一级品的频率为.   　…………………………………………  4分

⑵作零假设:

：甲机床生产的产品质量与乙机床生产的产品质量没有差异.

,

　　根据小概率的独立性检验,推断不成立则，可以认为甲机床生产的产品与乙机床生产的产品质量有差异. 　　　　…………………………………………………………………………………  10分

18.（本小题满分12分）

已知函数．

　　⑴若不等式的解集是实数集，求的取值范围；

⑵若不等式的解集是实数集，求的取值范围；

⑶时，求的取值集合．

　　解：⑴“不等式的解集是实数集”等价于：

且，解得．

　　所以，的取值范围是． ……………………………………………………………　４分

⑵“不等式的解集是实数集”等价于:“不等式的解集是实数集”,又等价于：“且”，解得．

所以，的取值范围是．……………………………………………………………　８分

⑶时，则

．

若，则时恒成立，符合要求．

所以，的取值集合是．　　　　……………………………………………………………　12分

19.（本小题满分12分）

(选择性必修第三册第5题）语文老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求:

⑴抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

⑵他能及格的概率,以及抽到他能背诵的课文数的期望.

解:⑴设随机抽取的3篇课文中该同学能背诵的篇数为,则

,,,.

所以,抽到该同学背诵的课文的数量的分布列为:

…………………………………………………　6分

事件与相互独立,则该同学能及格的概率：

  　……………………………………………… 9分

抽到该同学能背诵的课文数量的期望.…………… 12分

20.（本小题满分12分）

曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份组织了一次月考,A同学为了探究学生的数学学习情况是否对物理学习情况存在影响,A同学在某班随机抽取10名同学的数学与物理的成绩( 表示数学成绩, 表示物理成绩)如下: 、 、 、、、、、、、．

　　⑴ 计算样本中变量与的相关系数，根据计算结果判断样本中物理成绩与数学成绩的相关情况；

⑵ 建立变量与之间的经验回归方程(精确到小数点后的的两位数），该班Ｂ同学的数学成绩是140分,A同学可以估计Ｂ同学的物理成绩大约是多少?

⑶用⑴⑵中的结果估计该班、估计全年级学生物理成绩与数学成绩的关联情况是否可靠？为什么？

参考公式与数据：

相关系数；最小二乘斜率参数估计：, ．

，，，，，．

解：⑴ ，

．

，

．

比较题目所给参考数据进行估算，取，，则

或．

，非常接近１，所以物理成绩与数学成绩呈现正相关而且是强线性相关关系．

…………………………………………………………………………　6分

⑵，．

所以，变量与之间的经验回归方程：．

时，．

所以，该班Ｂ同学的数学成绩是140分时，A同学可以估计Ｂ同学的物理成绩约为108分左右．

…………………………………………………………………………　10分

⑶用此样本估计估计全年级学生物理与数学的关系不可靠，原因是：样本容量太小，并且样本具有随机性，此样本的数据太“集中”，样本的代表性不强．尤其是该样本取自于一个班级，用于估计全年级的情况时，代表性就更差了．…………………………………………………　12分

21．（本小题满分12分）

已知为坐标原点，点，曲线上动点到点的距离等于动点到定直线的距离的倍．直线:与曲线交于不同的两点，.

（1）求曲线的方程；

（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.

解答：（1）已知点，设．

过点作直线的垂线，垂足为，则点满足，代入坐标得： ，化简即得曲线的方程为：

．         　　　　　　………………………………………………………………５分

（2）由得，.

设，，则，，

∴

．

又点到直线的距离.

所以的面积，当且仅当即时，的面积取最大值, 最大值等于1．

的面积取最大值时，直线的方程为.　　…………………………………　12分

22. （本小题满分12分）

已知函数．

⑴当时，求函数的图象在点处的切线的方程．

⑵已知，讨论函数的图象与直线的公共点的个数．

解⑴：时，，．

，切点为．

所以，所求的切线的方程为，即．　………………………… ５分

⑵时，函数的图象就是轴正半轴，与直线有且只有一个公共点．

时，联立与消去得．

设，则．

当时，，在上递增,，,因此有一个零点．

当时，令得，当时，时，则在上递减，在上递增， ．当时，时．

设，则，，，时，时，在上递增、在上递减，

．

所以，时；时，；时，．

综上可知，

或时，公共点的个数1；

时，公共点的个数2；

时，公共点的个数0．   ……………………………………………………………… 12分