2021-2022学年浙江省湖州市三贤联盟高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省湖州市三贤联盟高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．若，则=（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据组合数公式直接求解即可

【详解】由，得，

，解得或（舍去），

故选：C

2．函数的导函数记为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据求导公式求出导函数即可得解.

【详解】解：由，得，

所以.

故选：B.

3．甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】甲乙丙三人各自有5种选法，根据分步乘法计算原理，可得答案.

【详解】甲乙丙三名学生每人都从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科，

即可看作甲乙丙依次选择一科，分三步完成，每一步都有5种选法，

故共有 种选法，

故选：D

4．已知随机变量的分布列如下表，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由期望公式可得，结合分布列的性质有，再应用方差公式求.

【详解】由题设，，即，则，

而，

所以.

故选：C

5．袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球，

则，，

因此，.

故选：D.

6．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由图像判断出的单调性，得到的正负，解不等式即可.

【详解】由图像可得：在上单增，在上单减，在上单增，所以

在上，在上，在上.

不等式可化为：

或，解得：或.

故原不等式的解集为.

故选：A

7．已知函数，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由定义知为奇函数，应用导数研究单调性，将问题转化为上求的取值范围.

【详解】由题设，，即在R上为奇函数；

在上，故在上递增，易知：在R上递增，

又，则，即上；

令，则，故上，递增；上，递减，而，，此时；

综上，的最小值为.

故选：A

8．若函数在区间(0，1)上不单调，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对求导并将问题转化为在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.

【详解】由题设，，又在(0,1)上不单调，

所以在(0,1)上存在变号零点，而，

则在(0,1)上递增，只需，即.

故选：B

9．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（       ）

A．在第9条斜线上，各数之和为55

B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C．在第条斜线上，共有个数

D．在第11条斜线上，最大的数是

【答案】A

【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为判断A选项，再根据杨辉三角得到第n条斜线上的数为：，进而判断BCD.

【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，

其规律是，

所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A错误；

第1条斜线上的数：，

第2条斜线上的数：；

第3条斜线上的数：，

第4条斜线上的数：，

第5条斜线上的数：，

第6条斜线的数：，

……，

依此规律，第n条斜线上的数为：，

在第11条斜线上的数为，最大的数是，

由上面的规律可知：n为奇数时，第n条斜线上共有个数；

n为偶数时，第n条斜线上共有共有个数，

所以第n条斜线上共，故C正确；

由上述每条斜线的变化规律可知：在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.

故选：A.

二、多选题

10．对于离散型随机变量，它的数学期望和方差，下列说法正确的是（       ）

A．是反映随机变量的平均取值 B．越小，说明越集中于

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据离散型随机变量的期望和方差表示的意义，以及期望与方程的性质，可直接判断出结果.

【详解】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB正确；

由期望和方差的性质可得，，，即C正确，D错；

故选：ABC.

11．有名男生、名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（       ）

A．排成前后两排，女生排前排，男生排后排，共有种方法

B．全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法

C．全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法

D．全体排成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边，共有种方法

【答案】AB

【分析】利用排列计数原理可判断AB选项；利用捆绑法可判断C选项；利用间接法可判断D选项.

【详解】对于A选项，排成前后两排，女生排前排，男生排后排，共有种方法，A对；

对于B选项，全体排成一排，男生互不相邻，则男女的排列为“男女男女男女男”，

共有种方法，B对；

对于C选项，全体排成一排，女生必须站在一起，即将女生捆绑，形成一个“大元素”，

共有种方法，C错；

对于D选项，全体排成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边，

如下图所示，以集合表示甲排在最左边，集合站在最右边，全集表示全排，

所以，满足条件的排法种数为，D错.

故选：AB.

12．已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．函数既存在极大值又存在极小值 B．函数存在个不同的零点

C．函数的最小值是 D．若时，，则的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用导数研究的单调性判断极值情况，再结合零点存在性定理判断零点个数，进而确定最小值，应用数形结合判断参数t的最值.

【详解】由题设，，

所以上，递减；上，递增；上，递减；

故在上取极小值，上取极大值，A正确；

又，，，当趋于正无穷时无限趋向于0且，故存在两个不同零点，B错误；

由B分析知：在上值域为，在上值域为，在上，故在R上的值域为，即最小值是，C正确；

由上分析可得如下函数图象：要使时，只需即可，故的最大值为，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．一个质量为的物体做直线运动，设位移（单位：）与时间（单位：秒）之间的关系为，并且物体的动能．则物体开始运动后第5秒时的动能为_______（单位：）

【答案】150

【分析】由位移与瞬时速度的关系有，将代入求速度，结合动能公式求第5秒时的动能.

【详解】由题设，，则第5秒时的速度，

所以.

故答案为：150.

14．随着第二十四届冬奥会在北京和张家口成功举办，冬季运动项目在我国迅速发展．调查发现两市擅长滑雪的人分别占全市人口的，这两市的人口数之比为．现从这两市随机选取一个人，则此人恰好擅长滑雪的概率为______

【答案】0.054

【分析】利用乘法公式分别求得A、B市中选到擅长滑雪的人概率，再应用互斥事件的加法公式求从两市随机选取一个人恰好擅长滑雪的概率.

【详解】由题设，选取A市的人概率为，选取B市的人概率为，

所以A市中选到擅长滑雪的人概率为；B市中选到擅长滑雪的人概率为；

综上，从这两市随机选取一个人，恰好擅长滑雪的概率为.

故答案为：

15．的展开式中，记项的系数为，则______

【答案】

【分析】分别利用二项式定理求出和的展开通项求解即可.

【详解】表示的系数，即中含的系数和中的常数项相乘的结果，即，

表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，

表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，

表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，

所以.

故答案为：.

16．函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______

【答案】

【分析】利用导数可证明函数在上递增，不妨设，则不等式恒成立，即不等式恒成立，令，，则可得函数在上递增，故在恒成立，从而可得出答案.

【详解】解：，

因为，

所以，

所以函数在上递增，

又因函数在上递增，

不妨设，

当时，，符合题意，

当时，不等式恒成立，

即不等式恒成立，

即不等式恒成立，

令，，

则时，，

所以函数在上递增，

，

则在恒成立，

即在恒成立，

令，，

则，

所以函数在上递增，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．

(1)求的值；

(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.

（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．

【详解】(1)由题设，，整理得，解得（舍）或；

(2)由（1）知：二项式展开式通项为，

当时为含的项，故，解得.

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在闭区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用导数的几何意义求处切线的斜率，进而写出切线方程即可.

（2）根据导数的符号判断的符号，进而确定在闭区间上的单调性，即可求最值.

【详解】(1)由，得，则，

又切点为，所求切线方程为；

(2)令得：，又，

所以时，单调递减，时，单调递增，

所以，.

19．从中任取个数字，从中任取个数字．

(1)组成无重复数字的五位数，其中能被整除的有多少个？

(2)一共可组成多少个无重复数字的五位数？

(3)组成无重复数字的五位数，其中奇数排在奇数位上的共有多少个？

【答案】(1)216

(2)1224

(3)396

【分析】（1）根据能被整除确定个位数字为，然后从中任取个，从中任取个，再将取出的四个数字作全排列即可得解；

（2）按照五位数中是否含分两类，可求出结果；

（3）按照个奇数排的位置分三类计数，再相加可求出结果.

【详解】(1)因为被整除的数的个位必为，所以先从中任取个，有种，从中任取个，有种，然后将得到的个数字在前面四个位置上作全排列，有种，所以满足题意的五位数共有个.

(2)若五位数中含，则不能排在首位，有种，然后从中任取个，有种，从中任取个，有种，然后将得到的个数字在剩余的四个位置上作全排列，有种，

此时，共有个；

若五位数中不含，则从中任取个有种，从中任取个有种，将取出的个数字作全排，有种，此时共有个，

综上所述：满足题意的五位数共有个.

(3)若个奇数排在万位和百位上，有个；

若个奇数排在万位和个位上，有个；

若个奇数排在百位和个位上，有个，

所以满足题意的五位数共有个.

20．设函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)递增区间为，，递减区间为；

(2).

【分析】（1）利用导数研究的符号，即可得的单调区间.

（2）讨论、、，结合的极值，要使恰有一个零点，有极大值小于0或极小值大于0，即可求参数范围.

【详解】(1)由题设，，而，则，

由于的关系为：

所以的递增区间为，，递减区间为；

(2)当时，由（1），极大值，极小值，

要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；

当时单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；

当时，递增区间为，，递减区间为；

极大值，极小值，

要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；

综上：.

21．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为.

(1)求该嘉宾获得公益基金元的概率；

(2)求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；

(3)求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．

【答案】(1)；

(2)；

(3)分布列见解析，元.

【分析】（1）由嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，应用独立事件乘法公式求概率即可.

（2）由题设确定基本事件，进而应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率.

（3）由嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望.

【详解】(1)由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，

所以；

(2)记=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，则互斥，且.

又，，

所以；

(3)由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，

，，，.

随机变量的分布列为：

所以元.

22．已知函数有两个极值点．

(1)求实数的取值范围；

(2)设函数的两个极值点分别为，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得有2个不同的根，令，则 有2个不同的正根，利用根的判别式及韦达定理得到不等式，解得即可；

（2）依题意可得，即可得到，即可得到，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得证；

【详解】(1)解：因为定义域为，

所以，因为函数的两个极值点，

有2个不同的根，

令，则 有2个不同的正根，所以且，解得；

(2)解：由（1）知，当且仅当时有两个极值且，因为，所以，

所以，

又，，，则，

设，

则.

函数在上单调递减，

，

.