北京市平谷区2020-2021学年高二下学期期末数学试题

平谷区2020－2021学年度第二学期教学质量监控试卷

高二数学

2021.6

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．共150分，考试时间为120分钟．

2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名．

3.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．

4.考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好．

第Ⅰ卷  选择题（共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）

1.已知集合，集合，那么（    ）

A.（－1，3）        B.（1，3）        C.（－1，1）        D.

2.已知a＞b，c＞0，那么（    ）

A.        B.        C.        D.ac＞bc

3.已知，那么（    ）

A.        B.0        C.        D.

4.在展开式中，含x项的系数为（    ）

A.42        B.35        C.21        D.－35

5.已知等差数列，那么数列前6项和为（    ）

A.54        B.40        C.12        D.27

6.已知函数y＝f（x）的导函数图像，如图所示，那么函数y＝f（x）（    ）

A.在上单调递增               B.在x＝0处取得极小值

C.在x＝1处切线斜率取得最大值        D.在x＝2处取得最大值

7.由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（    ）

A.180        B.156        C.108        D.58

8.某商场举行“五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖．某顾客获得2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为（    ）

A.        B.        C.        D.

9.“a≤0”是“函数在区间上为单调增函数”的（    ）

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件

C.充要条件              D.既不充分也不必要条件

10.为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛．下表是报名的10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊．

已知两项成绩均排在前7名的只有5人，公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（    ）

A.2号员工参加市级比赛        B.3号员工参加市级比赛

C.7号员工参加市级比赛        D.8号员工参加市级比赛

第Ⅱ卷  非选择题（共110分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11.的展开式各项系数之和为        ．

12.已知各项均为正项的等比数列，则        ．

13.命题“”，此命题的否定是        命题．（填“真”或“假”）

14.已知不等式对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为        ．

15.“六一儿童节”到了！某演出团在电影院安排了3场演出．已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有        人．

三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16.（本小题13分）

已知数列，其前n项和为，满足        ．

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）当时，求n的最大值．

请你从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，接第一个解答计分．

17.（本小题14分）

口袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中黄球6个，红球4个．从中不放回的摸2次球，每次摸出一个球．

（Ⅰ）求至少摸到2个红球的概率；

（Ⅱ）若共摸出2个红球，求第三次恰好摸到红球的概率．

18.（本小题14分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间，并判断函数f（x）的零点个数．

19.（本小题15分）

近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：

（Ⅰ）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；

（Ⅱ）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）

20.（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）设函数，若，有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

21.（本小题14分）

在递增数列中，，设，记使得成立的n的最小值为．

（Ⅰ）设数列为1，3，4，5，写出的值；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）若，求数列的前2m项和公式．

平谷区2020—2021学年第二学期质量监控

高二数学                2021、7

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11.      12.        13.  真      14.  16       15.    

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. （本小题13分）

解：选①：

（I）因为，即

所以数列是首项为1，公差为4的等差数列． ………………3分

所以数列通项公式         ………………6分

（II）

  ………………10分

当，即

解得

所以的最大值为7． ………………13分

选②：

（Ⅰ）因为

所以当时，，即

又

两式相减，得：当

整理得   ………………4分

即数列是首项为1，公比为2的等比数列．

所以数列通项公式               ………………7分

（II）

                        ………………10分

当，即

解得

所以的最大值为6                 ． ………………13分

 选③：

（Ⅰ）因为，

      所以．            

      两式相减得 ， 

      即．     ………………4分    

      又因为                 ………………5分

      所以数列是常数列．            

所以数列的通项公式为． ………………7分

（Ⅱ）数列是常数列

所以                    ………………10分

当，即

所以的最大值为100.          ………………13分

17.（本小题14分）

解：（I）设“至少摸到2个红球”为事件A     ………………1分

设“摸到2个红球”为事件，“摸到3个红球”为事件，

因为事件与事件互斥，所以

，

或者，

所以

即至少摸到2个红球的概率为            ．………………7分

（II）解法一：设“第三次恰好摸到红球”为事件B，………………8分

事件B即为“在前2次中只摸到一个红球，第三次摸到第二个红球”，则有种情况．摸三次球，样本空间，

即第三次恰好摸到红球的概率为         ．………………14分

解法二：设“第三次恰好摸到红球”为事件B，………………8分

设“在前2次中只摸到一个红球”为事件，“第三次摸到第二个红球”为事件，

则    ………………14分

18.（本小题14分）

解：（I）函数定义域为，因，所以切点为．………………2分

又………………4分

所以即切线斜率为………………5分

所以切线方程是，即………………7分

（II）令     ………………8分

如表格，函数的单调增区间是和，单调减区间是．……………12分

又因为函数的极大值，………………13分

所以当时恒成立，

而函数在区间上单调递增，，，

所以存在，使得，即函数只有一个零点． ………………14分

19. （本小题15分）

解：（I）设“从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A，                        ………………1分

由表格可得：随机抽取的50名学生中，成绩在80分以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即．所以事件A包含21个样本点 ，因此                      ．………………4分

（II）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为．即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为                ．．………………6分

因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在80分以上的人数可取，且                     ．………………7分

，，

，．………………11分

所以随机变量的分布列

数学期望

或者，所以    ．………………13分

（Ⅲ）               ．．………………15分

20. （本小题15分）

解：（I），则，．………………2分

令，                   ．．………………3分

所以，即在区间上单调递减；

，即在区间上单调递增；

所以函数有极小值，无极大值． ．………………5分

（II）因为，有恒成立

设函数，

则恒成立                           ． ．………………6分

因为．………………8分

①当时，，

所以

即在区间上单调递减，在区间上单调递增．

因此函数在时有最小值      

当，即时，函数在区间恒成立   

                                                    ． ．………………10分

当时，令，

②当，即时，恒成立，即：函数在区间单调递增．所以函数，满足条件           ． ．………………11分

③当，即时，

若即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

函数在时有最小值，

而恒成立．所以满足条件．

若即时，在区间上单调递减，在区间，上单调递增． 而 ，，

所以函数在区间恒成立． ． ．………14分

综上，当时，函数在区间恒成立． ．………………15分

21.（本小题14分）

解：（Ⅰ）令时，的最小值

         令时，的最小值  

令时，的最小值         

令时，的最小值     ． ．………4分  

（Ⅱ）  由 ，即数列是首项为1，公比为2的等比数列

        所以使得成立的的最小值为：

        ， ， ， ，

， ，

  ，

所以

……． ．………9分

（Ⅲ）由题意，

对于正整数，由，得．

根据的定义可知 

当时，；当时，．

∴

．………14分