湖南省长沙市雅礼中学等十六校2022届高三下学期第二次联考数学试题

大联考雅礼十六校2022届高三第二次联考

数学

雅礼中学 南雅中学 宁乡一中 浏阳一中 常德一中 永州一中 邵阳二中 郴州二中

慈利一中 衡东一中 凤凰一中 芷江民中 韶山学校 武汉二中 孝感高中 重庆八中

审定：陶军 李金桐 华康 伊岚龜 校对：李云皇 何建伟

总分：150分 时量：120分钟

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，下列选项中均为A的元素的是

A． （1）（2） B． （1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）

2.某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为

A． 2         B．           C．        D． 1

3.有一个非常有趣的数列{}叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数。由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知。用上式估算出的1n5与实际的1n5的误差绝对值近似为（　　）

A． 0.003         B．0.096         C． 0.121           D． 0.216

4.在正三角形ABC中，M为BC中点P为三角形内一动点，且满足，则最小值为

A． 1        B．         C．           D．

5.已知的一条切线与f（x）有且仅有一个交点，则

A．          B．

C．            D．

6. 从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为

A． 360      B．630         C．1170         D． 840

7.已知数列{}满足则∈

A． （，） B． （，） C． （，） D． （，）

8. P、Q、R是等腰直角三角形ABC（）内的点，且满足，∠ACQ=，则下列说法正确的是

A．

B．

C．

D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.下列说法正确的有

A． 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据就是中位数

B． 分层抽样为保证每个个体等可能入样，需在各层中进行简单随机抽样

C． 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则事件A与事件B互为对立事件

D． 线性回归分析中，的值越小，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好

10.已知曲线C：，焦点为、F2，0（0，0），过A（0，2）的直线1与C交于M、N两点，则下列说法正确的有

A．是C的一条对称轴

B． C的离心率为

C． 对C上任意一点P皆有

D．最大值为

11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动。勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（　　）A

A． 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a

B． 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为a

C． 勒洛四面体的截面面积的最大值为

D． 勒洛四面体的体积

12. 下列不等式正确的有

A．            B.

C．             D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数，则=

14.设函数，参数，过点（0，1）作曲线C：的切线（斜率存在）则切线斜率为___________

15.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为___________

16.坐标平面上有一环状区域由圆的外部与圆的内部交集而成。某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的x轴上方的某区域R。他设计扫描棒黑、白两端分别在半圆、上移动。开始时扫描棒黑端在点A（，0），白端在的点B。接着黑、白两端各沿着、逆时针移动，直至白端碰到的点（-2，0）便停止扫描，则B坐标___________；扫描棒扫过的区域R的面积为___________ 。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤

17.△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c。若，求c的最小值。

18.已知数列{}满足∈N*，为该数列的前n项和。

（1）求证：数列{}为递增数列；

（2）求证：。

19. “不关注分数，就是对学生的今天不负责：只关注分数，就是对学生的未来不负责。”为锻炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下：

（1）设。试建立y关于x的非线性回归方程和（保留2位有效数字）；

（2） 从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月（）的净利润（保留1位小数）

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

②参考数据：

20.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P—ABC，，二面角的大小为θ，则。

（1）当a、时，证明以上三面角余弦定理：

（2）如图2，四棱柱中，平面⊥平面ABCD，，

①求的余弦值：

②在直线上是否存在点P，使BP//平面?若存在，求出点P的位置：若不存在，说明理由。

21.已知曲线C：，，分别为C的左、右焦点，过作直线l与C交于A，B两点，满足，且。设e为C的离心率

（1）求;

（2）若，且，过点P（4，1）的直线与C交于E，F两点，上存在一点T使。求工的轨迹方程

22.已知函数，且正数a，b满足

（1）讨论f（x）的单调性：

（2）若的零点为，，且m，n满足，求证：。（其中……是自然对数的底数）