第8讲 计数原理与概率统计（2022年高考真题）（解析版）

第8讲 计数原理与概率统计

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题（理））某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（       ）

A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

【答案】D

【解析】

【分析】

该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决

【详解】

该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，

则此时连胜两盘的概率为

则

；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，

则

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为

则

则

即，，

则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；

与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

2．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（       ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【解析】

【分析】

利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】

因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

3．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

4．（2022·全国·高考真题（理））某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（       ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】

【分析】

由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】

讲座前中位数为,所以错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，

讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.

故选:B.

5．（2022·全国·高考真题（文））从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】

从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，

其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.

故选：C.

二、填空题

6．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．

【答案】##．

【解析】

【分析】

根据正态分布曲线的性质即可解出．

【详解】

因为，所以，因此．

故答案为：．

7．（2022·全国·高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

【答案】##0.3

【解析】

【分析】

根据古典概型计算即可

【详解】

从5名同学中随机选3名的方法数为

甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率

故答案为：

8．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

【答案】-28

【解析】

【分析】

可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】

因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

9．（2022·全国·高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

【答案】.

【解析】

【分析】

根据古典概型的概率公式即可求出．

【详解】

从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．

故答案为：．

三、解答题

10．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【答案】(1)岁；

(2)；

(3)．

【解析】

【分析】

（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；

（3）根据条件概率公式即可求出．

(1)

平均年龄

       （岁）．

(2)

设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以

．

(3)

设任选一人年龄位于区间，任选一人患这种疾病，

则由条件概率公式可得

．

11．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附，

【答案】(1)答案见解析

(2)（i）证明见解析；(ii)；

【解析】

【分析】

(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.

(1)

由已知，

又，，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)

(i)因为，

所以

所以，

(ii)

由已知，，

又，，

所以

12．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【解析】

【分析】

（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．

(1)

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

(2)

依题可知，的可能取值为，所以，

,

，

，

.

即的分布列为

期望.

13．（2022·全国·高考真题（文））某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：

并计算得．

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数．

【答案】(1)；

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．

(1)

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值

样本中10棵这种树木的材积量的平均值

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，

平均一棵的材积量为

(2)

则

(3)

设该林区这种树木的总材积量的估计值为，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得，解之得．

则该林区这种树木的总材积量估计为