2021-2022学年河北省石家庄市高二下学期第一次考试数学试题（解析版）

2021-2022学年河北省石家庄市高二下学期第一次考试数学试题

一、单选题

1．已知，则n＝（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解.

【详解】解：，整理得，

解得（舍），．

故选：C．

2．某中学为了拓宽学生的视野，在本学期开设了七门校本课程，每名同学可自由选择其中的一门校本课程，现有4名同学去选，则不同的选法的种数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分步计数原理直接求解即可.

【详解】4同学每人有7种选择，所以共有种．

故选：B．

3．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】解：

，.

将代入得.

故选：D．

4．已知函数，则该函数的极小值为（       ）

A． B．3 C．0 D．1

【答案】A

【分析】利用函数的极小值的定义求解.

【详解】解：由题意得，

令，得或－1，

当或时，，当时，，

所以，

所以极小值为e．

故选：A．

5．五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、微、羽，如果将这五个音排成一排，宫不排在第一位，羽不排在最后一位，且这两个音不相邻，则不同的排列顺序有（       ）

A．30种 B．36种 C．42种 D．48种

【答案】C

【分析】根据羽音所在的位置进行分类讨论，再结合计数原理即可求出结果.

【详解】根据羽音所在的位置按从左到右依次为位置一、二、三、四分四类：

羽音排在位置一，则不同的排列顺序有（种）；

羽音排在位置二，则不同的排列顺序有（种）；

羽音排在位置三，则不同的排列顺序有（种）；

羽音排在位置四，则不同的排列顺序有（种）；

根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）．

故选：C．

6．已知函数在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由导函数在上恒成立，分离参数可得参数范围．

【详解】根据函数在区间（0，1）上单调递减，

所以恒成立，，

所以恒成立，所以，即．

故选：B．

7．第三方检测机构又称公正检验，指两个相互联系的主体之外的某个客体，我们把它叫做第三方．某县为创建文明城市，省里委托第三方检测机构对该县进行检测，现从8名检测人员中选派6人到该县甲、乙、丙三个单位检查，要求每个单位至少派1人，丙单位2人，则不同的选派方法总数为（       ）

A．4200 B．5880 C．1680 D．3360

【答案】B

【分析】由已知，不同的选派方法可分为三种情况，分别是：甲单位2人，乙单位2人，丙单位2人；甲单位3人，乙单位1人，丙单位2人；甲单位1人，乙单位3人，丙单位2人，然后列式加在一起即可完成求解.

【详解】分以下三种情况讨论：

①甲单位2人，乙单位2人，丙单位2人，不同的选派方法数为种；

②甲单位3人，乙单位1人，丙单位2人，不同的选派方法数为种；

③甲单位1人，乙单位3人，丙单位2人，不同的选派方法数为种．

综上所述，不同的选派方法数为种．

故选：B．

8．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列比较大小错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件可得，所以构造函数，求导后可得，从而可得g（x）在R上单调递增，然后分析判断

【详解】由已知，可得，

设，则，

∵，因此g（x）在R上单调递增，

所以，，

即

所以，

所以ABD正确，C错误，

故选：C．

二、多选题

9．下列各式中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知，四个选项可根据排列和组合数的计算公式以及组合数的性质逐项化简、计算，即可做出判断.

【详解】对于选项A，，故选项A正确；

对于选项B，，故选项B错误；

对于选项C，n应满足，解得，所以，故选项C正确；

对于选项D，由组合数的性质知：，选项D正确，

故选：ACD．

10．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的可能取值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由存在与直线垂直的切线，可得在有解，参变分离后求出a的取值范围即可.

【详解】函数的图象上存在与直线垂直的切线，即有解，

∴，即在内有解，

令，则，设，则，当且仅当，即时取等.

故，所以时，方程在内有解．

故选：CD．

11．现有一公司面向社会公开招聘，有3名男生和3名女生进入到了最后的面试环节，每人都单独参加面试，下列说法正确的是（       ）

A．若三个女生的面试顺序是连续的，则有144种不同的安排方法

B．若男生和女生交替面试，则有36种不同的安排方法

C．若3名女生的面试顺序不同时相邻，则有576种不同的安排方法

D．若男生甲不在第一个面试，男生乙不在最后一个面试，则有504种不同的安排方法

【答案】ACD

【分析】AB选项结合分步计数原理即可求出结果；CD选项采用间接法即可求出结果.

【详解】对于A选项，不同安排方法种数为；

对于B选项，不同安排方法种数为；

对于C选项，采用间接法，6人的面试顺序的不同安排方法种数为，3名女生全相邻时，将3名女生看成一个整体，与3名男生一起看作4个对象，

共有种不同的安排方法，

所以3名女生的面试顺序不同时相邻时，不同的安排方法种数为；

对于D选项，采用间接法，6人的面试顺序的不同安排方法种数为，

男生甲在第一个面试或男生乙在最后一个面试的不同安排方法种数均为，

男生甲在第一个面试且男生乙在最后一个面试的不同安排方法种数为，

则符合条件的安排方法种数为，

故选：ACD．

12．若曲线与存在公共切线，则实数a的可能取值是（       ）

A．－1 B． C． D．

【答案】ABC

【分析】先分别设出切点，表示出两条切线，利用两条切线重合建立关系得到，构造函数，

求导确定值域，即可求出实数a的取值范围.

【详解】设曲线在点A（，）处的切线与在B（，）处的切线是公共切线，

曲线，，则，

所以切线方程为，即，

，，则，所以切线方程为，即，

∴，可得，

令，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，又时，，时，，又，

∴，解得.

故选：ABC．

三、填空题

13．高二（1）班第一学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现从中选取4人参加班级举办的辩论赛，要求这4人中既有男生又有女生，共有______种不同的选法（用数字作答）．

【答案】200

【分析】由已知，要求这4人中既有男生又有女生，可用从10人中任选4人作为总情况，减去4人都是男生和4人都是女生得情况，即可完成求解.

【详解】从10人中选取4人，有种选法，

4人全是男生，有种选法，4人全是女生，有种选法，

所以4人中既有男生又有女生，共有种选法．

故答案为：200.

14．已知函数f（x）的导函数为，且满足关系式，则f（1）＝______．

【答案】3

【分析】根据已知求出，得到函数的解析式，即得解.

【详解】函数，则，

当时，，因此，

所以，则，

故答案为：3

15．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止．若甲、乙两人途中在处相遇，则共有______种走法（用数字作答）．

【答案】256

【分析】由已知，分析甲从M必须经过到达N处的最短路径，即先走到需走4步，再走到N需走4步，然后列式，同理可得到乙从N必须经过到达M处的情况，然后把两种情况合在一起即可.

【详解】由已知，甲从M必须经过到达N处，最短路径为先走到需走4步，横向1步，纵向3步，再走到N需走4步，横向3步，纵向1步，走法有种，

同理得，乙从N必须经过到达M处，最短路径为先走到需走4步，横向3步，纵向1步，再走到M需走4步，横向1步，纵向3步，走法有种，

若甲，乙两人在处相遇，共有种走法.

故答案为：256.

16．已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为______．

【答案】

【分析】等价于，令，则不等式转化为，再构造函数，对分两种情况分析讨论得解.

【详解】恒成立，

令，则不等式转化为，

设函数，

显然，

当时，，则在（0，＋∞）上单调递增，故，符合题意；

当时，由于，故在（0，＋∞）上单调递增，存在满足，即在单调递减，单调递增，

因此时，，与题意矛盾．

综上所述，．

故答案为：（－∞，2]．

四、解答题

17．设函数．

(1)求f（x）在处的切线方程；

(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值是13，最小值是－19.

【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果；

（2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值.

【详解】(1)由题意知，，即切点为（1，－3），

又，所以

所以f（x）在处的切线方程为：，即；

(2)，

令得；令得或，

故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，

函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，

又，

∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－19

18．从1到9这9个数字中取3个奇数和2个偶数，组成没有重复数字的五位数，求下列问题：

(1)能组成多少个这样的五位数？

(2)2个偶数排在一起的五位数有多少个？

(3)任意2个奇数都不相邻的五位数有多少个？

【答案】(1)7200

(2)2880

(3)720

【分析】（1）先从4个偶数中取2个，再从5个奇数中取3个，然后将取出的3个奇数和2个偶数进行全排列求解；

（2）先从4个偶数中取2个，再从5个奇数中取3个，然后将取出的两个偶数捆绑和取出的三位奇数进行全排列求解；

（3）先从4个偶数中取2个，再从5个奇数中取3个，然后将取出的两个偶数排好，再将3个奇数分别插入3个空隙中求解.

【详解】(1)解：分步完成：第一步，从4个偶数中取2个，有种情况；

第二步，从5个奇数中取3个，有种情况；

第三步，将取出的3个奇数和2个偶数进行全排列，有种情况．

所以符合题意的五位数的个数为；

(2)分步完成：第一步，从4个偶数中取2个，有种情况；

第二步，从5个奇数中取3个，有种情况；

第三步，将取出的两个偶数捆绑和取出的三位奇数进行全排列，

所以符合题意的五位数的个数为；

(3)分步完成：第一步，从4个偶数中取2个，有种情况；

第二步，从5个奇数中取3个，有种情况；

第三步，将取出的两个偶数排好，再将3个奇数分别插入3个空隙中，则符合题意的五位数的个数为．

19．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．

(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；

(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；

(3)计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．

【答案】(1)480

(2)360

(3)1140

【分析】（1）先排剩余四门课，“京剧”和“剪纸”课程不相邻，用插空法求解；

（2）由分步乘法原理求解；

（3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解.

【详解】(1)解：第一步，先将另外四门课排好，有种情况；

第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；

所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；

(2)解：第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；

第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；

第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；

因此，所有选课种数为.

(3)解：①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种；

②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种，

所以，当A任教2科时，共有种，

综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．

20．已知函数．

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)当时，求f（x）的极小值．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2)4.

【分析】（1）求导，令，结合定义域，分，讨论求解；

（2） 由，根据（1）的结论求解.

【详解】(1)解：，函数的定义域为（0，＋∞），

，

令，

①当时，即时，恒成立，

故恒成立，函数f（x）在（0，＋∞）单调递增；

②当时，即时，在（0，＋∞）的根为，

当时，，，函数f（x）在（0，）上单调递减；

当时，，，函数f（x）在（，＋∞）上单调递增

综上所述，时，函数f（x）在（0，＋∞）单调递增；

时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在土单调递增．

(2)当时，，

由（1）知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

所以函数的极小值为．

21．已知函数．

(1)若，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；

(2)若方程有三个不同的根，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答；

（2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有三个公共点求解作答.

【详解】(1)当时，函数定义域为，

求导得：，

则，而，则有，即，

所以所求切线方程为：．

(2)函数定义域为，

求导得：，

而方程，

则有三个不同的根，即直线与曲线有三个公共点，

令，则，

当时，，当或时，，

即函数在上单调递增，在和上单调递减，

因为，，

，

在同一坐标系内作出直线及函数的图象，

观察图象得，直线与曲线有三个公共点时，，

所以a的取值范围是．

22．已知函数

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）由已知，先对函数f（x）求导，得到，然后把参数a分为和两种情况去讨论函数f（x）的单调区间即可；

（2）由第（1）问通过参数a在不同范围函数f（x）的单调区间，可逐一去验证是否成立，在时，求解函数的极小值，然后解一个对数不等式即可完成求解.

【详解】(1)函数的定义域是（0，＋∞），

求导可得，

①当时，，f（x）在定义域上单调递减，

②当时，

当时，，f（x）单调递减，

当时，，f（x）单调递增，

综上所述，时，f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减，

时，f（x）在（0，）上单调递减，在单调递增．

(2)根据（1）可知，时，f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减，不可能满足，

时，，∵．

∴，满足

时，f（x）在（0，）上单调递减，在单调递增，

要想满足，满足即可，

∵，∴即

化简得，即，

∴，

综上所述，．