2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第一次联考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，集合，那么为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：由补集的定义可知： .

本题选择B选项.

2．函数的部分图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据奇偶性排除BD，求出特殊值排除C，即可得到选项.

【详解】由题：函数，，

所以为奇函数，排除BD选项，

计算，排除C选项，A选项图象大致符合要求.

故选：A

【点睛】此题考查函数图象的辨析，考查对函数基本性质的掌握，此类题常用排除法解决.

3．下列4个说法中正确的有（       ）

①命题“若，则”的逆否命题为“若则”；

②若，则；

③若复合命题：“”为假命题，则p，q均为假命题；

④“”是“”的充分不必要条件．

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

【答案】C

【分析】①由逆否命题的意义即可判断出正误；

②由否命题的意义即可判断出正误；

④由解得或，即可判断出结论；

③若为假命题，则、至少有一个为假命题，即可判断出正误．

【详解】解：对于①，因为命题“若p，则q”的逆否命题为“若，则”，所以①是正确的；

对于②，因为存在量词命题的否定为，所以②是正确的；

对于③，若“”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以③是错误的；

对于④，因为，所以或，

所以“”是“”的充分不必要条件，所以④是正确的．

故选：C

【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．函数是奇函数的充要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用奇函数的定义“函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f（-x）=-f（x），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a、b的值即可．

【详解】∵函数是奇函数，

∴f（-x）=-f（x），

即，

∵x不恒为0，

∴，可得a=0，

又，可得b=0，

∴a=0且b=0，等价于，

因此，函数是奇函数的充要条件是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于已知函数奇偶性求参数问题，奇函数利用f（-x）=-f（x），求解，偶函数利用f（-x）=f（x）求解，属于中等题.

5．已知函数f(x)＝log2x的值域是[1，2]，则函数φ(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为（       ）

A．[，2] B．[2，4]

C．[4，8] D．[1，2]

【答案】A

【分析】由f(x)值域求其定义域范围，结合φ(x)＝f(2x)＋f(x2)列不等式组求定义域

【详解】∵f(x)的值域为[1，2]，即1 ≤ log2x ≤ 2，

∴2≤x≤4

∴f(x)的定义域为[2，4]，

∴φ(x)＝f(2x)＋f(x2)应满足，解得≤ x ≤ 2

∴φ(x)的定义域为[，2]

故选：A

【点睛】本题考查了求函数的定义域，由函数的值域求定义域，再求由此函数构成的复合函数定义域

6．已知函数可表示为

则下列结论正确的是（       ）A． B．的值域是

C．的值域是 D．在区间上单调递增

【答案】B

【解析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.

【详解】A. ，所以该选项错误；

B. 由表得的值域是，所以该选项正确；

C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；

D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.

故选：B

【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.

7．已知，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：把化为同底数的幂， 是对数化简后也可化为2的幂，这样由指数函数的性质可比较大小.

详解：，，，

∴，

故选C.

点睛：在幂和对数比较时，能化为同底数的，化为同底数的幂或对数，利用指数函数或对数函数性质比较，不能化为同底数的，或不同形式的数可与中间值比较，如与0或1比较，最后可得结论.

8．已知函数，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用分段函数以及已知条件求出，然后求解函数值即可．

【详解】解：函数，且，

可得：，可得，

则.

故选：D.

【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，分段函数函数值的求法，考查计算能力．

9．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法：

①浮萍每月的增长率为1；

②第5个月时，浮萍面积就会超过；

③浮萍每月增加的面积都相等；

④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（       ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【答案】C

【分析】利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.

【详解】因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为

对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确；

对于②：当时，，故②正确；

对于③：第二个月比第一个月增加

第三个月比第二个月增加，故③错误；

对于④：由题，所以，所以，故④正确；

故选：C

10．已知函数，若，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由奇偶性和单调性定义确定函数的奇偶性与单调性，然后再解函数不等式．

【详解】由题意，是偶函数，

设，则，∴，，

∴，∴在上是增函数，

由得，∴，，解得．

故选：A．

【点睛】本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性和单调性解函数不等式是常用方法．

11．已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的值为

A． B．

C．0 D．

【答案】D

【详解】试题分析：当时，，所以，因为是偶函数，所以，即，所以，，同理可得，，作出函数的图象如图所示：

在一个周期上，当时，直线与曲线恰有两个不同的交点；当时，直线与曲线相切，并和曲线在上的图象有一个交点．因为函数的最小正周期为，所以实数的值是或（），故选D．

考点1、函数的解析式；2、函数的奇偶性；3、函数的周期性；4、函数的图象．

12．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由f（x）的导函数形式可以看出ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点，

令g（x）=ex-kx，g′（x）=ex-k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．

【详解】∵函数的定义域是（0，+∞），

∴ ．

x=1是函数f（x）的唯一一个极值点

∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．

∴ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点，

令g（x）=ex-kx

g′（x）=ex-k

①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的

g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解

②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk

0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x＞lnk时，g′（x）＞0，g（x）单调递增.

∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk

∴k-klnk≥0

∴0＜k≤e

综上所述，k≤e．

故选A．

【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．属于中档题．

二、填空题

13．已知函数，，则曲线在处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义求得在点处的切线方程.

【详解】由，求导，知，

又，则函数在点处的切线方程为.

故答案为：

14．若复数满足，则_____．

【答案】

【分析】设，则，利用复数相等，求出，的值，结合复数的模长公式进行计算即可．

【详解】设，则，

则由得，

即，

则，得，

则，

故答案为．

【点睛】本题主要考查复数模长的计算，利用待定系数法，结合复数相等求出复数是解决本题的关键．

15．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．

【答案】

【详解】由题意设所求双曲线的方程为，

∵点在双曲线上，

∴，

∴所求的双曲线方程为，即．

答案：

16．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可

【详解】设

,又有成立，

函数，即是上的增函数．

，，即,

，

故答案为：．

三、解答题

17．某化工厂为预测产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现收集了4组对照数据.

(1)请根据相关系数的大小判断回收率与之间是否存在高度线性相关关系；（精确到小数点后两位）

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测当时回收率的值.

参考数据：，，

【答案】(1)0.98，x与y高度线性相关

(2)，12

【分析】小问1：由题意计算可得，则与之间存在高度线性相关关系；

小问2：由题意求得回归方程为.据此预测当时，．

【详解】(1)

     所以，x与y高度线性相关

(2)根据最小二乘法

     所以，回归方程                    

当时，

18．已知，，以为邻边作平行四边形

(1)求点的坐标；

(2)过点A的直线l交直线BC与点E，若，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)和

【分析】（1）根据，设列出方程，求得的值，即可求解；

（2）要使，得到点B，C到直线l 的距离之比为2，分直线l的斜率存在和不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】(1)解：由题可知，以为邻边作平行四边形，可得，

所以，

设且，则可得，

解得，所以的坐标为.

(2)解：要使，则点B，C到直线l 的距离之比为2，

当斜率存在时，设l的方程为，即

所以由，可得，即，解得，

所以直线l的方程为.

当直线斜率不存在时，l的方程为，此时，仍符合题意.

综上：l的方程为和.

19．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数及中位数（精确到个位）;

(2)现准备从成绩在的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在的概率.

【答案】(1)103；

(2)

【分析】（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；

（2）设成绩在的位同学位，成绩在的位同学为，利用列举法求出人中随机选出人交流发言的基本事件数和位同学成绩恰在内的事件数，再根据古典概型即可求出结果．

【详解】(1)解：该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

．          

因为成绩在的频率为，设中位数，则

所以，

(2)解：设成绩在的位同学位，成绩在的位同学为.

从中选出位同学，基本事件为

共个，而位同学成绩恰在内的事件有3个，       …

所以人中随机选出人交流发言，恰好抽到人成绩在的概率为.

20．已知E是曲线上任一点，过点E做x轴的垂线，垂足为H，动点D满足.

(1)求点D的轨迹的方程；

(2)若点P是直线l：上一点，过点P作曲线的切线，切点分别为M，N，求使四边形OMPN面积最小时的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）相关点法求轨迹，设动点坐标为，找出与点E的关系，带入椭圆方程即可.

（2）四边形OMPN面积最小时，第一步确定点P的位置，利用面积公式求出的值

【详解】(1)设

由得，，所以

所以，点D的轨迹方程为

(2)由圆的切线性质知，切线长

所以，四边形面积，

所以，当OP最小时，面积最小.

而OP的最小值即为O到直线的距离，此时

又因为，所以

21．设椭圆过两点，O为坐标原点

(1)求椭圆E的方程;

(2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）将椭圆上的两点代入椭圆方程中，再解方程即可；

（2）先将转化为，再直线与椭圆联立，建立方程后进一步化简直线方程即可获得解决.

【详解】(1)因为椭圆E: （a，b>0）过两点，

所以，解得，得，所以椭圆E的方程为.

(2)由（1）知，设

由可知，，所以，   

即：

所以   （※）

联立直线和椭圆方程，消去y，得：

由所以   

代入方程※，可得，即得

所以，所以，

所以，直线l 的方程为

所以，过定点或，根据题意，舍去

所以，直线过定点

22．已知抛物线的焦点为F，直线与y轴交于点P与抛物线交于点Q，且

(1)求抛物线E的方程；

(2)过F的直线l抛物线E相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，探究是否存在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）设点，由点Q在抛物线上和，利用抛物线的定义求解；

（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，求得及的中点M，再得到线段的垂直平分线方程，与抛物线方程联立，求得求得及的中点N, G根据四点共圆，则为圆心，由求解；方法2:根据 四点共圆，利用点差法得到，，，，，再由垂直关系求解.

【详解】(1)解：设点，

由题意得，解得

所以抛物线的方程为

(2)，设，

直线的方程为由，得，

，

所以，

，

所以的中点

所以线段的垂直平分线为，

将抛物线方程代入得，

所以，，，

所以，

的中点，       

四点共圆，

所以为圆心，

即，

解得，

故直线的方程为

方法2:设，

垂直平分，且四点共圆，

，由点差法得，

，，，，，

于是，，

，

直线的方程为