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湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题（解析版）
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这是一份湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体高二（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．已知集合S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x|x2+x＝0}，则S∪T＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．已知，则＝（ ）
A． B．1 C． D．
3．当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约（ ）年．（参考数据：log20.6790＝﹣0.5585）
A．3000 B．3100 C．3200 D．3300
4．已知3sinα﹣4cosα＝0，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，则（ ）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作．已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（ ）
A．252 B．250 C．182 D．180
7．在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为S1，不过球心的任意非圆面的截面的面积为S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2
C．S1＜S2 D．S1、S2的大小关系不定
8．若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于函数f（x）＝|sin2x|的结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的最小正周期是π
10．已知正三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，PB⊥CM，，则（ ）
A．PB⊥CA
B．PB⊥PA
C．该三棱锥的体积是
D．该三棱锥的外接球的表面积是3π
11．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
12．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则（ ）
A．当n＝2时，
B．当n＝4时，
C．当n＝k（k≥2且k∈N*）时，
D．当n＝2k（k≥2且k∈N*）时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝﹣2，a6＝3，则Sn的最小值为 ．
14．宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中，BC＝，AB＞BC，那么的值为 ．
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝ ．
16．2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，，，AQ＝QP＝PB，则PQ＝ （用θ表示）；据调研发现，当OP最长时该奖杯比较美观，此时θ的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝2，，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，求四边形ABCD的面积．
19．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X，求X的数学期望．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
．
20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）证明：四边形BB1ED是矩形；
（2）求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值．
21．双曲线C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y＝±2x的距离为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其渐近线分别交于M，N（从左至右）两点．
（ⅰ）证明：AM＝BN；
（ⅱ）是否存在这样的直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝xaeax+b（其中e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝6e3x﹣5e3．
（1）求a，b；
（2）设函数，若g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．已知集合S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x|x2+x＝0}，则S∪T＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【分析】先分别求出集合S，T，然后由集合并集的定义求解即可．
解：因为集合S＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，
又T＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，
所以S∪T＝{﹣1，0，1}．
故选：D．
2．已知，则＝（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】由已知利用求解．
解：∵，
∴＝|z|2＝，
故选：B．
3．当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约（ ）年．（参考数据：log20.6790＝﹣0.5585）
A．3000 B．3100 C．3200 D．3300
【分析】设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，则，，解出t的值．
解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，
依题意，有，，
设距今约t年，碳14衰减为原来的（1﹣p）t＝（2）t＝67.90%，
结合参考数据：，可得t≈3200．
故选：C．
4．已知3sinα﹣4cosα＝0，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式和二倍角公式，即可求解．
解：∵3sinα﹣4cosα＝0，
∴sinα＝，
∵sin2α+cos2α＝1，
∴，解得cos，
∴ 或，
∴sin2α＝2sinαcosα＝．
故选：C．
5．已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，则（ ）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解：由对数运算公式得，，，，易知log23＞log43＞log63，
∴c＞b＞a．
故选：A．
6．为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作．已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（ ）
A．252 B．250 C．182 D．180
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，将分好的2组安排到两个展区，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，有（+﹣1）＝90种分组方法，
②将分好的2组安排到两个展区，有＝2种安排方法，
则有90×2＝180种选派方法，
故选：D．
7．在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为S1，不过球心的任意非圆面的截面的面积为S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2
C．S1＜S2 D．S1、S2的大小关系不定
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出不过球心的任意非圆面的截面面积S2和过球心的截面面积S1，比较即可．
解：如图所示，
设球心O到不过球心的任意非圆面的截面的距离为d，
则该截面的面积为S2＝π[（22﹣d2）﹣（12﹣d2）]＝3π，
而过球心O的截面的面积为S1＝π（22﹣12）＝3π，
所以S1＝S2．
故选：A．
8．若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【分析】分点在圆上，圆内，圆外三种情况分别讨论即可求出Q的轨迹．
【解答】设圆C的半径为r，
①若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有|QA|+|QC|＝r＞|AC|，
故点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以B正确；
②若点A与C重合，则有，
故点Q的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，所以A正确；
③若点A在圆C上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C，故Q与C重合，
故点Q的轨迹是一个点；
④点A在圆C外，如图（4）所示，
则|QA|＝|QP|＝|PC|+|QC|＝r+|QC|，所以|QA|﹣|QC|＝r＜|AC|，故点Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线右支，
当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时，Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线左支，所以C正确；
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于函数f（x）＝|sin2x|的结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的最小正周期是π
【分析】直接利用函数的图象和性质的应用判断A、B、C、D的结论．
解：作出函数f（x）的图像如下：
由图像易知，函数为偶函数，故A正确；
函数的单调性在单调递增，故C正确；
函数的最大值为1，故B错误；
函数的最小正周期为，故D错误；
故选：AC．
10．已知正三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，PB⊥CM，，则（ ）
A．PB⊥CA
B．PB⊥PA
C．该三棱锥的体积是
D．该三棱锥的外接球的表面积是3π
【分析】取AC中点N，连接PN，BN，可得AC⊥平面PBN，得PB⊥AC判断；进一步证明PB⊥平面PAC，得PB⊥PA判断B；求解三角形得PC，求得三棱锥体积判断C；然后求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式判断D．
解：取AC中点N，连接PN，BN，
∵三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，∴PN⊥AC，BN⊥AC，
又PN∩BN＝N，∴AC⊥平面PBN，得PB⊥AC，故选项A正确；
又PB⊥CM，且AC∩CM＝C，∴PB⊥平面PAC，得PB⊥PA，故选项B正确；
又三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，∴PA⊥PC，且PA＝PB＝PC，
在Rt△PMC中，设PC＝2x，则PM＝x，而CM＝，
由勾股定理解得PC＝1，故三棱锥的体积为＝，故C错误；
其外接球半径为，外接球表面积为＝3π，故D正确．
故选：ABD．
11．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，结合题意，可得圆心到直线的距离小于，由此列式求得a的范围，结合选项得答案．
解：圆C的圆心为（1，a），半径为r＝2，
由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则∠CAB＜45°，
设圆心C到直线l的距离为d，则，
则，整理可得a2﹣4a+1＜0，解得，
∵直线l不过圆心C，则2a﹣2≠0，解得a≠1．
∴．
结合选项可得满足条件的实数a的值可能是ACD．
故选：ACD．
12．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则（ ）
A．当n＝2时，
B．当n＝4时，
C．当n＝k（k≥2且k∈N*）时，
D．当n＝2k（k≥2且k∈N*）时，
【分析】利用随机变量的概率，结合相互独立事件的概率公式，对四个选项依次分析判断即可．
解：对于A，当n＝2时，，故选项A正确；
对于B，当n＝4时，因为X≥Y，且X+Y＝4，可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2，
所以，故选项B错误；
对于C，当n＝k（k≥2且k∈N*）时，则，故选项C正确；
对于D，，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝﹣2，a6＝3，则Sn的最小值为 ﹣3 ．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据S4＝﹣2，S6＝3即可计算出Sn再结合二次函数的性质即可得到Sn的最小值．
解：设等差数列{an}的公差为d，由S4＝﹣2，得4a1+d＝﹣2，即2a1+3d＝﹣1①，
又a6＝3，得a1+5d＝3②，联立①②解得a1＝﹣2，d＝1，所以Sn＝﹣2n+×1＝n2﹣n，
由于n∈N+，根据二次函数性质可知当n＝2或3时Sn有最小值，且最小值为S2＝S3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中，BC＝，AB＞BC，那么的值为 1 ．
【分析】由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由向量数量积的定义，计算可得所求值．
解：由黄金矩形的定义，可得AB＝1，BC＝，
∴＝•（）＝+•＝＝1，
故答案为：1．
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝ ．
【分析】设过F（1，0）的直线方程为x＝my+1，联立直线与抛物线方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，再结合韦达定理和抛物线的定义，即可求解．
解：设过F（1，0）的直线方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，
由韦达定理，可得y1y2＝﹣4，则，
∵由抛物线的定理，可得|FA|＝x1+1＝4，
∴x1＝3，，
∴，．
故答案为：．
16．2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，，，AQ＝QP＝PB，则PQ＝ 10sinθ （用θ表示）；据调研发现，当OP最长时该奖杯比较美观，此时θ的值为 ．
【分析】作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，则∠AOC＝θ，由扇形的半径为10可得AB，OC的值，设设AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，再由
，可得AB的值，求出PM的值，进而求出PQ的值，再求出OP的表达式，由三角函数的辅助角公式化简可得OP取到最大值时θ的值．
解：作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，则∠AOC＝θ，则AB＝20sinθ，OC＝10cosθ．
设AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，
因为∠PBA＝∠QAB＝60°，所以，，
EF＝QP＝x，所以AB＝2x，
所以AB＝20sinθ＝2x，即x＝10sinθ．
所以，
所以＝，
因为sin2θ∈[﹣1，1]，所以当sin2θ＝1，
即时，OP2最大，
故答案为：10sinθ，．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝2，，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，将四边形分割为△ABD和△BCD，设∠CBD＝θ，通过正弦定理构建方程组求解θ，从而判断△ABD、△BCD的形状，进而求面积．
解：如图，连接BD，设∠CBD＝θ（0°＜θ＜90°）．
在△ABD中，由正弦定理得，，即，
在△BCD中，同理有，，即
从而有，化简得，
因此有，∴θ＝60°．
于是知四边形ABCD是由边长为2的正△BCD和腰长为2，顶角∠ABD＝30°的等腰△ABD构成，
所以四边形ABCD的面积为．
19．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X，求X的数学期望．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
．
【分析】（1）结合分层抽样同比例的定义，即可求解．
（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（3）计算参加社区服务时间超过1小时的概率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．
解：（1）由已知，该校有女生400人，故，得m＝8，从而n＝20+8+12+8＝48．
（2）作出列联表如下：
超过1小时的人数
不超过1小时的人数
合计
男
20
8
28
女
12
8
20
合计
32
16
48
，
所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．
（3）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，所以X～B（60，），
且，k＝0，1，2，⋯，60．
故X的数学期望．
20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）证明：四边形BB1ED是矩形；
（2）求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值．
【分析】（1）连接B1E，DE，利用线面平行的判定定理证明B1B∥平面A1ACC1，由线面平行的性质定理证明B1B∥DE，即可证明四边形BB1ED为平行四边形，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面ACC1A1，从而得到BD⊥DE，即可证明四边形BB1ED为矩形；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DBB1E和平面ABB1A1的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．
解：（1）连接B1E，DE，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，所以B1B∥A1A，
因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，
所以B1B∥平面A1ACC1，
因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，
所以B1B∥DE，因此A1A∥DE，
因为点D是AC的中点，所以E为A1C1中点，所以B1B＝DE，
所以四边形BB1ED为平行四边形，
在正△ABC中，因为D是AC的中点，所以BD⊥AC，
由题意可知，A1D⊥平面ABC，又BD，BC⊂平面ABC，
所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，又AC∩A1D＝D，
所以BD⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面ACC1A1，则BD⊥DE，
故四边形BB1ED为矩形；
（2）由（1）可知，DB，AC，A1D两两垂直，
以DB，AC，A1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
设AD＝1，则，
在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，所以，
故D（0，0，0），A（0，﹣1，0），，，
所以，，，
设平面DBB1E的法向量为，
则，即，
令c＝﹣1，则，
设平面ABB1A1的法向量为，
则，即，
令x＝1，则，
设二面角A﹣BB1﹣E的大小为θ，由图可知，
则，
故所求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值为．
21．双曲线C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y＝±2x的距离为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其渐近线分别交于M，N（从左至右）两点．
（ⅰ）证明：AM＝BN；
（ⅱ）是否存在这样的直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设双曲线的标准方程，利用点到直线的距离公式求出b，由渐近线方程可得，从而求出a的值，即可得到答案；
（2）（i）设出直线l的方程，联立方程组（λ＝0或λ＝1），分λ＝1时和λ＝0时，由韦达定理求出AB和MN的中点坐标，由此确定线段AB，MN的中点重合，即可证明结论；
（ii）利用（i）中的结论，得到韦达定理，然后由弦长公式结合韦达定理求出|MN|，|AB|，将，转化为|MN|与|AB|的关系，列出关于k的方程，求解即可得到答案．
【解答】（1）解：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），
因为焦点F（c，0）到渐近线的距离为b，故b＝2，
又，所以a＝1，
故所求双曲线C的方程为；
（2）（ⅰ）证明：设过点P的直线l：y＝kx+2，
联立方程组（λ＝0或λ＝1），
消去y可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣4λ＝0，且△＞0，k∈（﹣2，2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）．
当λ＝1时，，即AB中点横坐标为，
当λ＝0时，，即MN中点横坐标为，
故线段AB，MN的中点重合，所以AM＝BN；
（ⅱ）解：由（ⅰ）可得，，
，，
所以，
，
又，
所以，满足△＞0，
故存在这样的直线．
22．已知函数f（x）＝xaeax+b（其中e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝6e3x﹣5e3．
（1）求a，b；
（2）设函数，若g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出切点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，由已知的切线方程，构造关于a，b的方程组，求解即可；
（2）将不等式转化为在（0，+∞）上恒成立，构造，即求解m≤[φ（x）]min，利用导数以及零点的存在性定理，判断函数φ（x）的单调性，求解φ（x）的最小值，即可得到m的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝xaeax+b，
则f（1）＝ea+b，故切点为（1，ea+b），
f'（x）＝axa﹣1eax+axaeax，则f'（1）＝2aea，
又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝6e3x﹣5e3，
所以ea+b＝6e3﹣5e3，且2aea＝6e3，
解得a＝3，b＝0，
所以f（x）＝x3e3x；
（2）由题意，g（x）＝xe3x﹣mx﹣lnx≥1在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
令，
所以m≤[φ（x）]min，
因为，
令h（x）＝3x2e3x+lnx，
则，故h（x）在（0，+∞）单调递增，
又，，
由零点存在性定理可知，存在唯一，使h（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增；
所以，
由h（x0）＝0，可得，
所以，
所以，即，
故3x0＝﹣lnx0，且，
所以，
故所求m的取值范围（﹣∞，3]．
2020-2021学年湖南省长沙市三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体高二（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．已知集合S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x|x2+x＝0}，则S∪T＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．已知，则＝（ ）
A． B．1 C． D．
3．当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约（ ）年．（参考数据：log20.6790＝﹣0.5585）
A．3000 B．3100 C．3200 D．3300
4．已知3sinα﹣4cosα＝0，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
5．已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，则（ ）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作．已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（ ）
A．252 B．250 C．182 D．180
7．在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为S1，不过球心的任意非圆面的截面的面积为S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2
C．S1＜S2 D．S1、S2的大小关系不定
8．若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于函数f（x）＝|sin2x|的结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的最小正周期是π
10．已知正三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，PB⊥CM，，则（ ）
A．PB⊥CA
B．PB⊥PA
C．该三棱锥的体积是
D．该三棱锥的外接球的表面积是3π
11．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
12．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则（ ）
A．当n＝2时，
B．当n＝4时，
C．当n＝k（k≥2且k∈N*）时，
D．当n＝2k（k≥2且k∈N*）时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝﹣2，a6＝3，则Sn的最小值为 ．
14．宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中，BC＝，AB＞BC，那么的值为 ．
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝ ．
16．2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，，，AQ＝QP＝PB，则PQ＝ （用θ表示）；据调研发现，当OP最长时该奖杯比较美观，此时θ的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝2，，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，求四边形ABCD的面积．
19．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X，求X的数学期望．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
．
20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）证明：四边形BB1ED是矩形；
（2）求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值．
21．双曲线C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y＝±2x的距离为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其渐近线分别交于M，N（从左至右）两点．
（ⅰ）证明：AM＝BN；
（ⅱ）是否存在这样的直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝xaeax+b（其中e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝6e3x﹣5e3．
（1）求a，b；
（2）设函数，若g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．已知集合S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x|x2+x＝0}，则S∪T＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【分析】先分别求出集合S，T，然后由集合并集的定义求解即可．
解：因为集合S＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，
又T＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，
所以S∪T＝{﹣1，0，1}．
故选：D．
2．已知，则＝（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】由已知利用求解．
解：∵，
∴＝|z|2＝，
故选：B．
3．当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约（ ）年．（参考数据：log20.6790＝﹣0.5585）
A．3000 B．3100 C．3200 D．3300
【分析】设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，则，，解出t的值．
解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，
依题意，有，，
设距今约t年，碳14衰减为原来的（1﹣p）t＝（2）t＝67.90%，
结合参考数据：，可得t≈3200．
故选：C．
4．已知3sinα﹣4cosα＝0，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式和二倍角公式，即可求解．
解：∵3sinα﹣4cosα＝0，
∴sinα＝，
∵sin2α+cos2α＝1，
∴，解得cos，
∴ 或，
∴sin2α＝2sinαcosα＝．
故选：C．
5．已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，则（ ）
A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解：由对数运算公式得，，，，易知log23＞log43＞log63，
∴c＞b＞a．
故选：A．
6．为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作．已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（ ）
A．252 B．250 C．182 D．180
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，将分好的2组安排到两个展区，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①将8人分为2组，要求每组至少3人且3名女志愿者不能单独成一组，有（+﹣1）＝90种分组方法，
②将分好的2组安排到两个展区，有＝2种安排方法，
则有90×2＝180种选派方法，
故选：D．
7．在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为S1，不过球心的任意非圆面的截面的面积为S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2
C．S1＜S2 D．S1、S2的大小关系不定
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出不过球心的任意非圆面的截面面积S2和过球心的截面面积S1，比较即可．
解：如图所示，
设球心O到不过球心的任意非圆面的截面的距离为d，
则该截面的面积为S2＝π[（22﹣d2）﹣（12﹣d2）]＝3π，
而过球心O的截面的面积为S1＝π（22﹣12）＝3π，
所以S1＝S2．
故选：A．
8．若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【分析】分点在圆上，圆内，圆外三种情况分别讨论即可求出Q的轨迹．
【解答】设圆C的半径为r，
①若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有|QA|+|QC|＝r＞|AC|，
故点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以B正确；
②若点A与C重合，则有，
故点Q的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，所以A正确；
③若点A在圆C上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C，故Q与C重合，
故点Q的轨迹是一个点；
④点A在圆C外，如图（4）所示，
则|QA|＝|QP|＝|PC|+|QC|＝r+|QC|，所以|QA|﹣|QC|＝r＜|AC|，故点Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线右支，
当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时，Q的轨迹是以A、C为焦点的双曲线左支，所以C正确；
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于函数f（x）＝|sin2x|的结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是偶函数
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的最小正周期是π
【分析】直接利用函数的图象和性质的应用判断A、B、C、D的结论．
解：作出函数f（x）的图像如下：
由图像易知，函数为偶函数，故A正确；
函数的单调性在单调递增，故C正确；
函数的最大值为1，故B错误；
函数的最小正周期为，故D错误；
故选：AC．
10．已知正三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，PB⊥CM，，则（ ）
A．PB⊥CA
B．PB⊥PA
C．该三棱锥的体积是
D．该三棱锥的外接球的表面积是3π
【分析】取AC中点N，连接PN，BN，可得AC⊥平面PBN，得PB⊥AC判断；进一步证明PB⊥平面PAC，得PB⊥PA判断B；求解三角形得PC，求得三棱锥体积判断C；然后求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式判断D．
解：取AC中点N，连接PN，BN，
∵三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，∴PN⊥AC，BN⊥AC，
又PN∩BN＝N，∴AC⊥平面PBN，得PB⊥AC，故选项A正确；
又PB⊥CM，且AC∩CM＝C，∴PB⊥平面PAC，得PB⊥PA，故选项B正确；
又三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，∴PA⊥PC，且PA＝PB＝PC，
在Rt△PMC中，设PC＝2x，则PM＝x，而CM＝，
由勾股定理解得PC＝1，故三棱锥的体积为＝，故C错误；
其外接球半径为，外接球表面积为＝3π，故D正确．
故选：ABD．
11．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，结合题意，可得圆心到直线的距离小于，由此列式求得a的范围，结合选项得答案．
解：圆C的圆心为（1，a），半径为r＝2，
由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则∠CAB＜45°，
设圆心C到直线l的距离为d，则，
则，整理可得a2﹣4a+1＜0，解得，
∵直线l不过圆心C，则2a﹣2≠0，解得a≠1．
∴．
结合选项可得满足条件的实数a的值可能是ACD．
故选：ACD．
12．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则（ ）
A．当n＝2时，
B．当n＝4时，
C．当n＝k（k≥2且k∈N*）时，
D．当n＝2k（k≥2且k∈N*）时，
【分析】利用随机变量的概率，结合相互独立事件的概率公式，对四个选项依次分析判断即可．
解：对于A，当n＝2时，，故选项A正确；
对于B，当n＝4时，因为X≥Y，且X+Y＝4，可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2，
所以，故选项B错误；
对于C，当n＝k（k≥2且k∈N*）时，则，故选项C正确；
对于D，，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝﹣2，a6＝3，则Sn的最小值为 ﹣3 ．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据S4＝﹣2，S6＝3即可计算出Sn再结合二次函数的性质即可得到Sn的最小值．
解：设等差数列{an}的公差为d，由S4＝﹣2，得4a1+d＝﹣2，即2a1+3d＝﹣1①，
又a6＝3，得a1+5d＝3②，联立①②解得a1＝﹣2，d＝1，所以Sn＝﹣2n+×1＝n2﹣n，
由于n∈N+，根据二次函数性质可知当n＝2或3时Sn有最小值，且最小值为S2＝S3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中，BC＝，AB＞BC，那么的值为 1 ．
【分析】由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由向量数量积的定义，计算可得所求值．
解：由黄金矩形的定义，可得AB＝1，BC＝，
∴＝•（）＝+•＝＝1，
故答案为：1．
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝ ．
【分析】设过F（1，0）的直线方程为x＝my+1，联立直线与抛物线方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，再结合韦达定理和抛物线的定义，即可求解．
解：设过F（1，0）的直线方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，
由韦达定理，可得y1y2＝﹣4，则，
∵由抛物线的定理，可得|FA|＝x1+1＝4，
∴x1＝3，，
∴，．
故答案为：．
16．2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，，，AQ＝QP＝PB，则PQ＝ 10sinθ （用θ表示）；据调研发现，当OP最长时该奖杯比较美观，此时θ的值为 ．
【分析】作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，则∠AOC＝θ，由扇形的半径为10可得AB，OC的值，设设AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，再由
，可得AB的值，求出PM的值，进而求出PQ的值，再求出OP的表达式，由三角函数的辅助角公式化简可得OP取到最大值时θ的值．
解：作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，则∠AOC＝θ，则AB＝20sinθ，OC＝10cosθ．
设AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，
因为∠PBA＝∠QAB＝60°，所以，，
EF＝QP＝x，所以AB＝2x，
所以AB＝20sinθ＝2x，即x＝10sinθ．
所以，
所以＝，
因为sin2θ∈[﹣1，1]，所以当sin2θ＝1，
即时，OP2最大，
故答案为：10sinθ，．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝2，，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，将四边形分割为△ABD和△BCD，设∠CBD＝θ，通过正弦定理构建方程组求解θ，从而判断△ABD、△BCD的形状，进而求面积．
解：如图，连接BD，设∠CBD＝θ（0°＜θ＜90°）．
在△ABD中，由正弦定理得，，即，
在△BCD中，同理有，，即
从而有，化简得，
因此有，∴θ＝60°．
于是知四边形ABCD是由边长为2的正△BCD和腰长为2，顶角∠ABD＝30°的等腰△ABD构成，
所以四边形ABCD的面积为．
19．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X，求X的数学期望．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
．
【分析】（1）结合分层抽样同比例的定义，即可求解．
（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（3）计算参加社区服务时间超过1小时的概率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．
解：（1）由已知，该校有女生400人，故，得m＝8，从而n＝20+8+12+8＝48．
（2）作出列联表如下：
超过1小时的人数
不超过1小时的人数
合计
男
20
8
28
女
12
8
20
合计
32
16
48
，
所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．
（3）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，所以X～B（60，），
且，k＝0，1，2，⋯，60．
故X的数学期望．
20．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）证明：四边形BB1ED是矩形；
（2）求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值．
【分析】（1）连接B1E，DE，利用线面平行的判定定理证明B1B∥平面A1ACC1，由线面平行的性质定理证明B1B∥DE，即可证明四边形BB1ED为平行四边形，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面ACC1A1，从而得到BD⊥DE，即可证明四边形BB1ED为矩形；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DBB1E和平面ABB1A1的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．
解：（1）连接B1E，DE，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，所以B1B∥A1A，
因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，
所以B1B∥平面A1ACC1，
因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，
所以B1B∥DE，因此A1A∥DE，
因为点D是AC的中点，所以E为A1C1中点，所以B1B＝DE，
所以四边形BB1ED为平行四边形，
在正△ABC中，因为D是AC的中点，所以BD⊥AC，
由题意可知，A1D⊥平面ABC，又BD，BC⊂平面ABC，
所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，又AC∩A1D＝D，
所以BD⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面ACC1A1，则BD⊥DE，
故四边形BB1ED为矩形；
（2）由（1）可知，DB，AC，A1D两两垂直，
以DB，AC，A1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
设AD＝1，则，
在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，所以，
故D（0，0，0），A（0，﹣1，0），，，
所以，，，
设平面DBB1E的法向量为，
则，即，
令c＝﹣1，则，
设平面ABB1A1的法向量为，
则，即，
令x＝1，则，
设二面角A﹣BB1﹣E的大小为θ，由图可知，
则，
故所求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值为．
21．双曲线C的中心在原点O，焦点在x轴上，且焦点到其渐近线y＝±2x的距离为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，与其渐近线分别交于M，N（从左至右）两点．
（ⅰ）证明：AM＝BN；
（ⅱ）是否存在这样的直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设双曲线的标准方程，利用点到直线的距离公式求出b，由渐近线方程可得，从而求出a的值，即可得到答案；
（2）（i）设出直线l的方程，联立方程组（λ＝0或λ＝1），分λ＝1时和λ＝0时，由韦达定理求出AB和MN的中点坐标，由此确定线段AB，MN的中点重合，即可证明结论；
（ii）利用（i）中的结论，得到韦达定理，然后由弦长公式结合韦达定理求出|MN|，|AB|，将，转化为|MN|与|AB|的关系，列出关于k的方程，求解即可得到答案．
【解答】（1）解：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），
因为焦点F（c，0）到渐近线的距离为b，故b＝2，
又，所以a＝1，
故所求双曲线C的方程为；
（2）（ⅰ）证明：设过点P的直线l：y＝kx+2，
联立方程组（λ＝0或λ＝1），
消去y可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣4λ＝0，且△＞0，k∈（﹣2，2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）．
当λ＝1时，，即AB中点横坐标为，
当λ＝0时，，即MN中点横坐标为，
故线段AB，MN的中点重合，所以AM＝BN；
（ⅱ）解：由（ⅰ）可得，，
，，
所以，
，
又，
所以，满足△＞0，
故存在这样的直线．
22．已知函数f（x）＝xaeax+b（其中e是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝6e3x﹣5e3．
（1）求a，b；
（2）设函数，若g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）先求出切点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，由已知的切线方程，构造关于a，b的方程组，求解即可；
（2）将不等式转化为在（0，+∞）上恒成立，构造，即求解m≤[φ（x）]min，利用导数以及零点的存在性定理，判断函数φ（x）的单调性，求解φ（x）的最小值，即可得到m的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝xaeax+b，
则f（1）＝ea+b，故切点为（1，ea+b），
f'（x）＝axa﹣1eax+axaeax，则f'（1）＝2aea，
又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝6e3x﹣5e3，
所以ea+b＝6e3﹣5e3，且2aea＝6e3，
解得a＝3，b＝0，
所以f（x）＝x3e3x；
（2）由题意，g（x）＝xe3x﹣mx﹣lnx≥1在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
令，
所以m≤[φ（x）]min，
因为，
令h（x）＝3x2e3x+lnx，
则，故h（x）在（0，+∞）单调递增，
又，，
由零点存在性定理可知，存在唯一，使h（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增；
所以，
由h（x0）＝0，可得，
所以，
所以，即，
故3x0＝﹣lnx0，且，
所以，
故所求m的取值范围（﹣∞，3]．
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