2021-2022学年广东省信宜市第二中学高二下学期月考一数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省信宜市第二中学高二下学期月考一数学试题

一、单选题

1．设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线//平面，则实数z的值为（       ）

A．-5 B．5 C．-1 D．1

【答案】B

【解析】根据线面平行的向量关系，可得，根据，可得结果.

【详解】由直线//平面,知向量与垂直，

则有，

解得.

故选：B

【点睛】本题主要考查线面平行的向量表示，属基础题.

2．经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线方程一般式化为标准方程，找出圆心，根据直线平行假设直线方程，把圆心坐标代入即可求解.

【详解】圆，

，

圆心为，

所求直线与直线平行，

可设直线方程为，

把圆心代入得，

解得，

故所求直线方程为．

故选：A.

3．抛物线的焦点到准线的距离（       ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】写出抛物线的标准方程，即可确定焦点到准线的距离.

【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则，

∴焦点到准线的距离为4.

故选：A.

4．函数 －12+16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（            ）

A．6，0 B．32, 0 C．25, 6 D．32,   16

【答案】B

【详解】函数求导得：.

函数单调递增；

函数单调递减；

函数单调递增.

时，

时，

时，

时，

所以函数的最大值为32，最小值为0，

故选B.

5．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（　　）

A． B． C．10 D．0

【答案】D

【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，

∴=a1•（a1+3×2），

化为2a1=-16，

解得a1=-8．

∴则S9=-8×9+ ×2=0，

故选D．

【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有                      

A．140种 B．84种 C．70种 D．35种

【答案】C

【分析】通过算没有限制时的总数，减去全是男生或全是女生的情况数即可得解.

【详解】从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有种情况.

若全为男生，共有种情况；若全为女生，共有种情况.

所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有

故选C.

【点睛】本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题.

7．在的展开式中，x的系数为（　　）

A．32 B．﹣40 C．﹣80 D．80

【答案】C

【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．

【详解】的展开式的通项为

，

令，得r＝1．

∴x的系数为，

故选C．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．

8．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（       ）

A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65

【答案】C

【分析】【详解】用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.026 25.

二、多选题

9．设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有A． B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【分析】先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值.

【详解】因为，所以，故A正确；

又，

，故C正确；因为，所以，，故D正确.

故选ACD.

【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，.

10．已知等比数列中，满足，则

A．数列是等差等列 B．数列是递减数列

C．数列是等差数列 D．数列是递减数列

【答案】BC

【分析】根据已知条件可知，，然后逐一分析选项，得到正确答案.

【详解】

A. ，，是公比为的等比数列，不是等差数列，故不正确；

B．由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故正确；

C. ， ，所以是等差数列，故正确；

D.由C可知是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D不正确.

故选BC

【点睛】本题考查判断数列是否是等差和等比数列，以及判断函数的单调性，意在考查理解两个基本数列，会用最基本的方法判断，属于基础题型.

11．给出如下四个命题不正确的是（       ）

A．方程表示的图形是圆 B．椭圆的离心率

C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的渐近线方程是

【答案】ABD

【分析】对于A选项，配方得其表示点，故错误；对于B选项，直接求解离心率，故错误；对于C选项，化标准形式，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得，再求解即可判断；

【详解】解：对于A选项，，故，表示点，故错误；

对于B选项，由题知，所以，所以离心率，故错误；

对于C选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故正确；

对于D选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故错误.

故选：ABD

12．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（       ）

A．展开式中奇数项的二项式系数和为256

B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含项的系数为45

【答案】BCD

【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.

【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,

又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,

所以二项式为,

则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；

由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,

因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；

若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；

由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,

故选: BCD

【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.

三、填空题

13．若的展开式共有12项，则________.

【答案】

【分析】根据二项式展开式的性质即可求解.

【详解】因为的展开式共有项，

所以，可得，

故答案为：.

14．某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为____________.

【答案】

【分析】利用条件概率的计算公式即可得出.

【详解】设事件A表示某动物活到20岁，则；

事件B表示该动物活到25岁，则，

所以.

故答案为：.

15．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围.

【详解】，

由于函数有三个单调区间，

所以有两个不相等的实数根，所以.

故答案为：

四、双空题

16．若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则_____，的面积______.

【答案】         

【详解】根据双曲线的概念得到若，则，因为，而当P点落在ｙ轴上时才会有，故舍掉．最终因为三角形 是直角三角形，故

故答案为(1).        (2). .

五、解答题

17．已知数列的前n项和为,,．

(1)求数列的通项公式；

(2)设的前项和为,求证．

【答案】（1）．（2）证明见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出结果；（2）根据题意可得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论．

【详解】解：（1）,

当时,,

又满足上式,

．

（2）证明：,

,

．

,,

．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、裂项求和,考查了推理能力与计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题．

18．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切.

（1）求圆的标准方程.

（2）求直线：与圆相交的弦长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程.

（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.

【详解】（1）令圆心为且，

∴由圆与相切，有，即可得.

∴圆的标准方程为.

（2）由（1）知：，，

∴到直线的距离为，

∴直线与圆相交的弦长为.

19．从名女生和名男生中任选人参加英语演讲比赛，设随机变量表示所选人中男生的人数．

(1)求的分布列；

(2)求的均值与方差．

【答案】(1)分布列见解析

(2)，

【分析】（1）按照超几何分布求概率即可，根据取值和求出的概率列出分布列即可；

（2），，代入求值即可.

【详解】(1)可能取的值为，，，

且，

，

，

所以的分布列为

(2)，

．

20．如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点

(1)证明：平面．

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即证明；

（2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接，．

因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点，

又因为为的中点，所以．

又平面，平面．

所以平面 ．

(2)以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．

所以，，，

设平面的法向量为，

则

令，得

记与平面所成角为，

则．

21．设函数，其中．

(1)若是的一个极值点，求；

(2)若在区间上不存在零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据极值点处导数为0即可求解；

（2）分类讨论的取值范围，利用函数单调性讨论函数最值，从而确定函数是否存在零点即可.

【详解】(1)

，

若是的一个极值点，则，

得，

解得．

当时，，有增有减有极值，显然符合题意，

．

(2)

①当 时，函数在单调递增，

则在区间 上有

即，

所以要使在区间 上不存在零点，必有

 ，

解得，

.

②当函数在单调递减，在 单调递增，

又，

同时必有，

则.

③当时，函数在 单调递减，

又，

函数在不存在零点.

综上的取值范围为.

22．已知椭圆的离心率为，上顶点为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．

【详解】(1)由离心率，则，

又上顶点，知，又，可知，，

∴椭圆E的方程为；

(2)设直线l：，设，，

则，整理得：，

，即，

∴，，

∴，

即，解得：或（舍去）

∴