2021-2022学年广西南宁市第三中学五象校区高二下学期开学考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年广西南宁市第三中学五象校区高二下学期开学考试数学（文）试题

一、单选题

1．设全集为，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合B的补集，再根据集合的交集运算求得答案.

【详解】因为，所以，

故，

故选:B.

2．某大学共有名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（       ）

（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）

A．众数为 B．平均数为

C．中位数为 D．该校读书不低于本的人数约为人

【答案】B

【分析】对于A，由图可知众数在中，对于B，利用加权平均数公式求解即可，对于C，由图知中位数在，然后列方程可求得结果，对于D，由频率分布直方图求出该校读书不低于本的频率之和，从而可求出该校读书不低于本的人数

【详解】A：由图知：众数在，故众数为，错误；

B：平均数为，正确；

C：由图知：中位数在，所以，解得，错误；

D：由图知：该校读书不低于本的频率之和为，所以该校读书不低于本的人数约为人.

故选：.

3．已知平面向量、满足：，，，（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】由题意可得.

故选：A.

4．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神州十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神州十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：)和燃料的质量(单位：)、火箭的质量(除燃料外)(单位：)的函数关系是．当火箭的最大速度达到时，则燃料质量与火箭质量之比约为（       ）(参考数据：)

A．314 B．313 C．312 D．311

【答案】B

【分析】根据题意将代入即可得解.

【详解】由题意将代入，可得，，.

.

故选：B.

5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据渐近线与直线垂直得到，从而求出离心率.

【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线垂直，所以.

故选：A.

6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（   ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】C

【分析】由三视图得到该几何体为一个四棱锥，其中底面为直角梯形，结合三视图中的数量关系和几何体的结构特征，即可求解.

【详解】由三视图可知，该几何体为一个四棱锥，其中底面为直角梯形，

侧棱底面，且，如图所示，

在直角中，可得，所以，

所以四棱锥最长的棱为.

故选：C.

7．设等比数列的公比为q，则“”是“数列为递增数列”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分、必要性的定义，结合特殊数列判断题设条件间的充分、必要性是否成立，即可得答案.

【详解】等比数列，，，，满足公比，但不是递增数列，充分性不成立．

为递增数列，但不成立，即必要性不成立，

所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，

故选：D．

8．实数x，y满足条件则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出不等式组所表示的平面区域，由目标函数的几何意义可得选项．

【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，

由，解得，目标函数化为，当目标函数过点A时，z取得最小值，

所以的取值范围是，

故选：C．

9．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，进而求出，再利用二倍角公式计算可得.

【详解】联立， 解得，

故选：C

10．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出图形，求得的最小值，进而可求得四边形面积的最小值.

【详解】解：如下图所示：

由已知得圆心，圆的半径为，由圆的几何性质可得，

由勾股定理得，当取最小值时，最小，

的最小值为点到直线的距离，

，

由切线长定理得，又，，，

所以，四边形面积.

故选：C.

11．四面体的四个顶点都在球O上且，，则球O的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，根据题中的数据证明平面平面，并找出球心的位置，列出等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果.

【详解】

取的中点，连接，设和的外心分别为，分别过点作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心.

由题意可知，和都是边长为4的等边三角形.

为的中点，,且

平面

平面,平面平面

易得，，

平面,平面∥AM

同理可得∥DM，则四边形为菱形，

，菱形为正方形，

平面，平面

所以外接圆半径为，

因此，四面体的外接球的表面积为.

故选：B

【点睛】这个题目考查了外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算外接球的半径是解答的关键，考查推理能力与计算能力.

12．已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，由已知得在区间单调递减， 为偶函数，且在区间单调递增，由此可将不等式等价转化为，求解即可.

【详解】解：令，则当时，，所以在区间单调递减，

又，所以为偶函数，且在区间单调递增，

又，即，所以，即，

得或，

故选：C.

二、填空题

13．函数的图象在点处的切线方程是______．

【答案】

【分析】由函数解析求出斜率及切点，再由点斜式求解即可.

【详解】由，则，，，所以切线方程为．

故答案为：

14．已知平面向量，，若，则k的值为___________.

【答案】

【分析】依题意可得，根据平面向量数量积的运算律，及数量积的坐标运算得到方程，解得的值即可．

【详解】解：平面向量，，所以，，，

若，则，

即，

，解得，

故答案为：．

15．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．

【答案】．

【分析】根据椭圆定义得出，进而对进行化简，结合基本不等式得出的最小值，并求出的值，进而求出面积.

【详解】由椭圆定义可知，，所以，

，当且仅当，即时取“=”.

又，所以.

所以，由勾股定理可知：，所以.

故答案为：.

16．把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若函数在上的值域是，则______.

【答案】

【解析】根据平移关系求出，结合函数图象求解.

【详解】由题知，

作出函数大致图象

函数在上先增后减，且，

若函数在上的值域是，

必，结合图象：

则，.

故答案为：

【点睛】此题考查根据三角函数平移得到新函数，根据值域求定义域端点，数形结合利于解题.

三、解答题

17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝12，S4＝40.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列{}的前n项和Tn.

【答案】（1）an＝4n；（2）Tn＝2－－.

【解析】（1）假设公差d，然后根据等差数列的通项公式以及前项和，得到a1，d，然后可得结果.

（2）根据（1）的条件，可得，进一步可得，然后使用错位相减法求和即可.

【详解】（1）设{an}的首项为a1，公差为d，

由a3＝12，S4＝40

则，解得a1＝4，d＝4，

∴an＝4＋4(n－1)＝4n.

（2），.

∴，①

，②

①－②得

∴Tn＝2－－.

【点睛】本题主要考查错位相减法求和，掌握常用的求和方法：错位相减，裂项相消法，公式法等，属基础题.

18．设函数

(1)求的最小正周期和的最大值；

(2)已知锐角的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且，求的面积.

【答案】(1)的最小正周期为，的最大值为1

(2)

【分析】（1）直接根据的表达式和正弦函数的性质可得到的最小正周期和最大值；

（2）先根据求得角的大小为，然后在中利用余弦定理求得，最后根据三角形的面积公式即可

【详解】(1)已知

则的最小正周期为：

则的最大值为：

(2)由可得：（）或（）

又为锐角，则可得：.

在中，由余弦定理可得：，即

又，

解得：

则的面积为：

19．为防控新冠疫情，某市组织市民打疫苗，经统计，该市在某一周接种人数预约情况（单位：万人）如下表所示：

规定星期一为第1天，设该周第天第一针接种人数为，这周样本数据算术平均数为，方差为，第二针接种人数为，这周样本数据算术平均数为，方差为.

(1)若，计算、（保留1位小数），、（保留2位小数）；

(2)在（1）的条件下，若每天疫苗接种预约人数超过6万人，则称该日“接种繁忙”，现随机在该周选择一天去接种疫苗，求接种日为“接种繁忙”的概率；

(3)若关于具有线性相关关系，且回归方程为，试预测周日第一针的接种人数（保留1位小数）.

附：（其中为前6天第一针接种人数的平均值）

【答案】(1)

(2)

(3)11.0

【分析】（1）直接根据题中数据套用平均数和方差的公式即可算出答案.

（2）分析出接种繁忙与不繁忙即可算出概率

（3）先算出，求出回归方程，代入数据可预测周日第一针的接种人数

【详解】(1)由，故：

则：

由：

则：

；

(2)由题意，在周四、周五、周六、周日均为“接种繁忙”、

在周一、周二、周三均不是“接种繁忙”，故所求概率为：

(3)由题意，可设对应线性回归方程为：

由，又前6项对应的平均数，

由即：

故：故关于i的线性回归方程为：

故：故a的值估计为11.0.

20．如图，在直三棱柱中，D，E分别为AB，AC的中点.

(1)求证：；

(2)若平面平面，求证：.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据线面平行的判定定理并结合中位线定理即可证明问题；

（2）在平面内，过A作于F，然后根据面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，然后根据线面垂直的判定定理证明DE⊥平面，最后得到线线垂直.

【详解】(1)在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以BC.在中，D，E分别为AB，AC的中点，故BC∥DE，所以.

又平面，平面，所以平面.

(2)如图，在平面内，过A作于F，因为平面平面，平面平面＝，所以平面.

又平面，所以.

在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以.

又，所以DE⊥平面，则.

21．已知抛物线：，点在抛物线上.

(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；

(2)若直线：交抛物线于M､N两点，交直线：于点P，记直线AM，AP，AN的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.

【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为

(2)证明见解析

【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程中求出，从而可求出焦点坐标和准线方程；

（2）两直线方程联立求出点P的坐标，设，，再将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，再结合斜率公式化简证明

【详解】(1)将代入，得，

所以焦点坐标为，准线方程为.

(2)由得：.

设，，

由得：，则，

所以

.

又，

所以，

所以，即，，成等差数列.

22．已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)当时，，求的取值范围.

【答案】(1)，无极大值

(2)

【分析】（1）根据题意求出函数的导数，并判断导数的正负，从而求得函数极值；

（2）求出函数的导数，由零点存在定理可知其在区间上存在零点，根据其单调性，判断其正负，确定函数的最小值，令最小值大于等于 ，求得答案.

【详解】(1)当时，，，( ),

显然在上是递增的，且，

故时，，时，，

∴在上递减，上递增，

∴，无极大值.

(2)由可知： ，

而，在上单调递增，

且，，

（这是因为 ,） ，

∴存在唯一的使，即，

且当时，，递减；当时，，递增，

∴

令 ,解得或，

∴.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值以及用导数解决不等式成立时的参数的范围问题，一般思路是求导，判断导数的正负，从而求得极值或最值，难点在于用导数求解不等式成立时的参数范围时，要巧妙的应用零点满足的方程进行整体代换，这样就可以求出零点的范围，进而解决问题.